D´ etermination d’une formule explicite

ECS1 H. Boucher 18/12/2020 Devoir surveill´e n^o4 (dur´ee : 4 heures)

Les calculatrices et les documents sont interdits.

Les r´esultats devront ˆetre encadr´es .

Si le candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il l’indique sur sa copie et poursuit en expliquant les initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.

Exercice 1

Soient E et F deux ensembles non vides etf :E →F une application.

On d´efinit l’image r´eciproque d’une partie B⊂F par la fonctionf :←−

f(B) ={x∈E, f(x)∈B}.

Autrement dit, pourx∈E, x∈←−

f(B)⇔f(x)∈B . C’est cette caract´erisation qu’on utilisera.

1. (a) Soit Aune partie deE. Montrer que A⊂←−

f(f(A)).

(b) Montrer quef est injective si et seulement si ∀A⊂E,←−

f(f(A)) =A.

(c) SoientA1 etA2 deux parties deE. Sif est injective, montrer que f(A1∩A2) =f(A1)∩f(A2).

(d) SoientB₁ et B₂ deux parties deF. Montrer que ←−

f(B₁∩B₂) =←−

f(B₁)∩←− f(B₂).

2. On note I l’ensemble des parties A⊂E v´erifiant ←−

f(f(A)) =A.

(a) ∅ appartient-il `a l’ensembleI?

(b) SoientA1,A2∈ I. Montrer queA1∩A2 ∈ I.

(c) SoientA1,A2∈ I. Montrer queA1∪A2 ∈ I.

3. Soient A ∈ I et S une partie de E tels que A et S soient disjoints (A∩S = ∅). Montrer que A et

←−

f(f(S)) sont disjoints.

4. SoientA1,A2∈ I tels que A1 ⊂A2. Montrer que A2\A1 appartient `a I.

Probl`eme 1

Soit I un intervalle deR.

Etant donn´´ eef :R→R fonction continue, on appelle (un) la suite d´efinie par

(u₀ ∈I

∀n∈N, un+1 =f(un) . Le but de ce probl`eme est d’´etudier une telle suite. Dans la partie A, on ´etablit des propri´et´es de (un)n∈N

en fonction des informations que l’on a sur la fonctionf. Dans la partie B, on examine deux exemples.

A Propri´ et´ es g´ en´ erales

On suppose dans toute cette partie que f(I) ⊂ I. On dit que I est un intervalle stable par f. On se convaincra ais´ement que cela revient `a la formulation ´equivalente suivante : pour toutx∈I,f(x)∈I.

1. On suppose u0 ∈I. Montrer que pour toutn∈N,un∈I. 2. On suppose dans cette question que f est croissante.

(a) Si u0 6 u1, montrer que pour tout n ∈ N, un 6 un+1. En d´eduire le sens de variation de (un).

Qu’en est-il si u₀ >u₁?

1

(b) Dans le cas o`u I = [a,b] est born´e (avec a,b ∈ R tels que a < b), avec u0 ∈ I et toujours f croissante, justifier que (un) est convergente.

(c) Sous les hypoth`eses pr´ec´edentes, si on appelle alors `sa limite, montrer que `=f(`).

3. On suppose dans cette question quef est d´ecroissante. On pose, pour toutn,v_n=u_2netw_n=u_2n+1. (a) Montrer queI est aussi un intervalle stable par f◦f.

(b) Montrer quef ◦f est croissante.

(c) ´Etablir une relation de r´ecurrence v´erifi´ee par (v_n) et (w_n).

(d) En d´eduire que (v_n) et (w_n) sont monotones de monotonies contraires.

(e) Montrer que si `= lim

n→+∞vn, alors on a `=f(f(`)).

On admettra qu’il en est de mˆeme pour lim

n→+∞w_n. On admettra ´egalement pour la suite la propri´et´e :

si (u2n) et (u2n+1) tendent vers la mˆeme limite`, alors (un) tend vers `´egalement.

Etude de deux exemples ´

Dans un souci de gain de temps et d’espace, on s’efforcera dans cette partie d’appliquer les r´esultats des questions pr´ec´edentes, plutˆot que de tout refaire dans les cas particuliers.

4. On posef :x7→√ x+ 2.

(a) Effectuer l’´etude de f en pr´ecisant notamment son domaine de d´efinition et ses variations. En d´eduire que [0,2[ et ]2,+∞[ sont deux intervalles stables parf.

(b) R´esoudref(x) =x et pr´eciser le signe de f(x)−x en fonction de x.

(c) On d´efinit (un)n∈N par

(u₀∈[0,2[

∀n∈N, un+1 =f(un) . Montrer que (un) converge et d´eterminer sa limite. On pr´ecisera son sens de variation.

(d) ´Etudier (u_n) si maintenant u₀∈]2,+∞[.

5. On poseg:x7→cos(x) etI = h

0,π 2 i

.

(a) Justifier queI est un intervalle stable par g et parg◦g.

(b) Montrer queg(x) =xadmet une unique solutionα∈Ipuis que [0,α] et h

α,π 2 i

sont des intervalles stables par g◦g.

(c) On d´efinit (x_n)n∈N par

(x0 ∈[0,α[

∀n∈N, x_n+1=g(x_n) . `A l’aide de la question 3, d´ecrire le compor- tement des suites (v_n) = (x_2n) et (w_n) = (x_2n+1) (sens de variation, convergence et limite

´eventuelles) et enfin celui de la suite (xn).

Probl`eme 2

Le club de lecture de Bouquigny-sur-Page organise des soir´ees d’´echanges : tous les membres (npersonnes avec n > 2) viennent avec un livre, on les met en commun (ils sont tous diff´erents) et on les redistribue (un par personne), si bien que tout le monde repart avec un des livres amen´es. Le but de ce probl`eme est d’´etudier le nombre de distributions possibles, et en particulier dans le cas o`u tout le monde repart avec un livre diff´erent de celui qu’il a amen´e.

On n’h´esitera pas `a admettre la relation de r´ecurrence ´etablie `a la question 3 afin de poursuivre le probl`eme si on n’a pas r´eussi `a la d´emontrer enti`erement.

2

Une relation de r´ ecurrence

Soit nun entier sup´erieur ou ´egal `a 2, on noted<sub>n</sub>le nombre de mani`eres de distribuer les livres pour que tout le monde ait un livre diff´erent de celui qu’il a amen´e.

1. D´eterminer d2 etd3.

2. Supposons n >4 ; on examine un scenario favorable, c’est-`a-dire o`u tous les participants repartiront avec un livre diff´erent de celui qu’ils ont amen´e. Parmi les membres du groupe, on appellecle pr´esident de l’association. Soit a la personne qui repartira avec le livre amen´e par c. Soit b la personne qui repartira avec le livre amen´e para. Vos r´eponses aux questions suivantes devront d´ependre de n,dn−1

etdn−2.

(a) Combien y a-t-il de mani`eres de choisira?

(b) Sib=c, combien y a-t-il de mani`eres de distribuer les nlivres ?

(c) Sib6=c, combien y a-t-il de mani`eres de distribuer lesnlivres ?(indication : on pourra comparer avec une distribution o`u ane participe pas et b r´ecup`ere directement le livre amen´e par c) 3. En d´eduire que pour toutn>4,d_n= (n−1)(dn−1+dn−2).

4. En d´eduired4 etd5.

D´ etermination d’une formule explicite

Le but de cette partie est d’obtenir d_n en fonction den. On noteu_n le nombre de mani`eres de distribuer les livres sans contrainte (i.e.on peut repartir avec son propre livre).

5. Donner l’expression de u_n en fonction de n.

6. Soit 26k6n.

(a) Combien y a-t-il de mani`eres de distribuer les livres en faisant en sorte qu’exactement kpartici- pants repartent avec un livre diff´erent de celui qu’ils ont amen´e ?

(b) En d´eduire que pour toutn>2,un= 1 +

n

X

k=2

n k

d_k.

7. Soitn>2. Le but de cette question est (`a l’inverse de la formule pr´ec´edente) d’exprimerd_nen fonction desu_k.

(a) Compl´eter le r´esultat d’interversion de sommes suivant : pour toute famille (A_j,k) de nombres (d´ependant de j etk entiers),

n

X

k=2





k

X

j=2

A_j,k



= .

(b) Montrer que

n

X

k=2

n k

(−1)^n−k=−n(−1)ⁿ⁻¹−(−1)ⁿ.

(c) Soit j,k∈J2,nK. Montrer que n

k k

j

= n

j

n−j n−k

. (d) En d´eduire que∀j ∈J2,nK,

n

X

k=j

n k

k j

(−1)^n−k =

(1 sij=n 0 sij < n . 3

(e) En d´eduire que

n

X

k=2





k

X

j=2

n k

k j

(−1)^n−kdj



=dn. (f) ´Etablir finalement que d_n=n(−1)ⁿ⁻¹+ (−1)ⁿ+

n

X

k=2

n k

(−1)^n−ku_k.

8. `A l’aide de la question 5, d´emontrer que pour toutn>2,d_n=n!

n

X

k=0

(−1)^k k! .

Un avant-goˆ ut de 2021

Parmi toutes les distributions possibles des livres, au nombre de un, celles o`u personne ne repart avec son propre livre sont au nombre de dn. On s’int´eresse `a la proportion que cela repr´esente et on appelle pn= dn

u_n =

n

X

k=0

(−1)^k

k! . En particulier, le but de cette partie est l’´etude du comportement de la suite (pn)_n>2. 9. Montrer que la suite (p2n)n∈N^∗ est d´ecroissante et que (p2n+1)n∈N^∗ est croissante.

10. Pour tout n ∈ N^∗, comparer p2n et p2n+1. En d´eduire que la suite (p2n)n∈N^∗ est minor´ee et que (p_2n+1)n∈N^∗ est major´ee.

11. ´Etudier la limite de (p2n+1−p2n)n∈N^∗.

12. On admet que tout cela donne la convergence de (p2n), (p2n+1) et (pn) vers la mˆeme limite not´ee `.

Montrer que`∈ 1

3,1 2

.

13. Les ´el´ements de programmation devront ˆetre donn´ees en langage Scilab.

(a) ´Ecrire une fonction factqui prend en entr´ee un nombre entiern et qui renvoien!

(b) On suppose la fonctionfact construite. Examiner `a pr´esent la fonction Scilab ci-dessous.

function S = toto(n) S = 0

for k = 2:n

S = S + (-1)^k/fact(k) end

endfunction Que calcule-t-elle ?

(c) ´Ecrire la fonctiontiti qui r´ealise la mˆeme chose que la fonction totomais `a l’aide d’une boucle while.

(d) Transformer ce code en une fonction approx qui prend en entr´ee N et qui renvoie une valeur approch´ee de ``a 10^−N pr`es.

(e) ´Ecrire la fonctiontutu qui r´ealise la mˆeme chose que la fonction toto mais sans avoir recours `a la fonctionfact.

Nous dirons en 2021 que (p_2n) et (p_2n+1) sont adjacentes, que p_n repr´esente une probabilit´e. Nous verrons aussi que `= 1

e. Tout cela nous rendra heureux, souhaitons-le.

4