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Probl`eme I 1) Soit{ϕn}une suite de fonctions dansD(R), `a support dans un mˆeme compactK

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

UNIVERSIT´E DE ROUEN

Maˆıtrise de math´ematiques Unit´e MM5/MIM1

Ann´ee 2001–2002

Examen du 4 septembre 2002 Dur´ee : 3 heures

Aucun document n’est autoris´e. Il sera tenu compte de la pr´ecision des raisonnements, ainsi que de la clart´e de la pr´esentation des calculs.

Probl`eme I

1) Soit{ϕn}une suite de fonctions dansD(R), `a support dans un mˆeme compactK. Rappeller d’abord la notion de convergence de la suite{ϕn} dansD(R). Donner ensuite la d´efinition d’une distribution sur R.

2) Montrer que pour toutϕdansD(R) la quantit´e

X

p=1

1

2p ϕ(1 + 1

p) +ϕ0(1 +1 p) est finie.

3) D´emontrer que l’application :

T : ϕ∈ D(R)→

X

p=1

1

2p ϕ(1 +1

p) +ϕ0(1 + 1 p) est une distribution sur R.

4) Est-ce-que

T1 : ϕ∈ D(R)→

X

p=1

1

pϕ(1 +1 p) d´efinit une application surD(R) ? (bien justifier la r´eponse)

Probl`eme II

Soit Ω un ouvert r´egulier de R2 et n = (n1, n2) le vecteur unit´e de la normale ext´erieure `a ∂Ω. On introduit la matrice de fonctionsA(x) = (aij(x))1≤i,j≤2d´efinie par

A=

2 + sin2x −1 3−cosx 4−sin2x

et on consid`ere le probl`eme de Neumann

(1)

−div (A∇u) +u=f in Ω

∂u

∂νA

= 0 on∂Ω, o`u

(2) ∂

∂νA

=

2

X

i,j=1

aij(x)ni

∂xj

.

(2)

Pour f donn´ee dans (H1(Ω))0, on introduit la formulation variationnelle de ce probl`eme

(3)

(Trouveru∈H1(Ω) telle que

a(u, v) = hf, vi(H1(Ω))0,H1(Ω), ∀v∈H1(Ω), o`u

(4) a(u, v) =

Z

A∇u∇v dx+ Z

u v dx, ∀u, v∈H1(Ω).

1. D´emontrer qu’il existe un nombre αstrictement positif tel que

2

X

i,j=1

aij(x)λiλj≥α|λ|2, pour toutλ∈R2et pour toutx∈Ω.

2. Montrer que le probl`eme (3) admet une solution unique.

Probl`eme III On consid`ere le probl`eme variationnel

(1)





Trouveru∈H01(]0,1[) telle que Z 1

0

u0(x)v0(x)dx+ 2 Z 1

0

u0(x)v(x)dx= Z 1

0

v(x)dx ∀v∈H01(]0,1[).

1. Formulation variationnelle a. Montrer queR1

0 u0(x)u(x)dx= 0 pour toutu∈H01(]0,1[).

b. D´emontrer qu’alors le probl`eme variationnel (1) admet une unique solutionu.

c. La solution du probl`eme variationnel est-elle solution d’un probl`eme de minimisation?

d. Montrer que uest solution d’une ´equation diff´erentielle avec des conditions aux limites en 0 et 1. On admettra queu∈C([0,1]).

2. Formulation variationnelle approch´ee

PourN ∈N eth= N1+1, on consid`ere le maillage uniformexi=ih, 0≤i≤N+ 1. On noteVhl’espace d’approximation associ´e constitu´e des fonctions continues sur [0,1], affines sur chaque intervalle [xi, xi+1], 1≤i≤N−1 et nulles au points 0 et 1. On munitVh de sa base canonique{ωi|1≤i≤N}caract´eris´ee parωi(xj) =δij. On note enfin uh la solution du probl`eme variationnel approch´e etAhξ =bh le syst`eme satisfait par les coordonn´eesξdeuhdans la base{ωi}.

a. Calculer la matriceAh. b. Calculer le vecteurbh.

c. Comment peut-on estimerku−uhkH1 en fonction deh?

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