UNIVERSIT´E DE ROUEN
Maˆıtrise de math´ematiques Unit´e MM5/MIM1
Ann´ee 2001–2002
Examen du 4 septembre 2002 Dur´ee : 3 heures
Aucun document n’est autoris´e. Il sera tenu compte de la pr´ecision des raisonnements, ainsi que de la clart´e de la pr´esentation des calculs.
Probl`eme I
1) Soit{ϕn}une suite de fonctions dansD(R), `a support dans un mˆeme compactK. Rappeller d’abord la notion de convergence de la suite{ϕn} dansD(R). Donner ensuite la d´efinition d’une distribution sur R.
2) Montrer que pour toutϕdansD(R) la quantit´e
∞
X
p=1
1
2p ϕ(1 + 1
p) +ϕ0(1 +1 p) est finie.
3) D´emontrer que l’application :
T : ϕ∈ D(R)→
∞
X
p=1
1
2p ϕ(1 +1
p) +ϕ0(1 + 1 p) est une distribution sur R.
4) Est-ce-que
T1 : ϕ∈ D(R)→
∞
X
p=1
1
pϕ(1 +1 p) d´efinit une application surD(R) ? (bien justifier la r´eponse)
Probl`eme II
Soit Ω un ouvert r´egulier de R2 et n = (n1, n2) le vecteur unit´e de la normale ext´erieure `a ∂Ω. On introduit la matrice de fonctionsA(x) = (aij(x))1≤i,j≤2d´efinie par
A=
2 + sin2x −1 3−cosx 4−sin2x
et on consid`ere le probl`eme de Neumann
(1)
−div (A∇u) +u=f in Ω
∂u
∂νA
= 0 on∂Ω, o`u
(2) ∂
∂νA
=
2
X
i,j=1
aij(x)ni
∂
∂xj
.
Pour f donn´ee dans (H1(Ω))0, on introduit la formulation variationnelle de ce probl`eme
(3)
(Trouveru∈H1(Ω) telle que
a(u, v) = hf, vi(H1(Ω))0,H1(Ω), ∀v∈H1(Ω), o`u
(4) a(u, v) =
Z
Ω
A∇u∇v dx+ Z
Ω
u v dx, ∀u, v∈H1(Ω).
1. D´emontrer qu’il existe un nombre αstrictement positif tel que
2
X
i,j=1
aij(x)λiλj≥α|λ|2, pour toutλ∈R2et pour toutx∈Ω.
2. Montrer que le probl`eme (3) admet une solution unique.
Probl`eme III On consid`ere le probl`eme variationnel
(1)
Trouveru∈H01(]0,1[) telle que Z 1
0
u0(x)v0(x)dx+ 2 Z 1
0
u0(x)v(x)dx= Z 1
0
v(x)dx ∀v∈H01(]0,1[).
1. Formulation variationnelle a. Montrer queR1
0 u0(x)u(x)dx= 0 pour toutu∈H01(]0,1[).
b. D´emontrer qu’alors le probl`eme variationnel (1) admet une unique solutionu.
c. La solution du probl`eme variationnel est-elle solution d’un probl`eme de minimisation?
d. Montrer que uest solution d’une ´equation diff´erentielle avec des conditions aux limites en 0 et 1. On admettra queu∈C∞([0,1]).
2. Formulation variationnelle approch´ee
PourN ∈N∗ eth= N1+1, on consid`ere le maillage uniformexi=ih, 0≤i≤N+ 1. On noteVhl’espace d’approximation associ´e constitu´e des fonctions continues sur [0,1], affines sur chaque intervalle [xi, xi+1], 1≤i≤N−1 et nulles au points 0 et 1. On munitVh de sa base canonique{ωi|1≤i≤N}caract´eris´ee parωi(xj) =δij. On note enfin uh la solution du probl`eme variationnel approch´e etAhξ =bh le syst`eme satisfait par les coordonn´eesξdeuhdans la base{ωi}.
a. Calculer la matriceAh. b. Calculer le vecteurbh.
c. Comment peut-on estimerku−uhkH1 en fonction deh?