Probl` eme 1

Licence de Math´ematiques3.

Universit´e d’Artois.

P. Lef`evre

Probl` eme 1

Autour d’outils classiques d’analyse

Remarque: les deux premi`eres parties sont ind´ependantes.

Partie I.

Soit n ∈N.

1) Justifier l’existence de In = Z π/2

0

sin(t)

n

dt et montrer que 0< In+1 ≤In. 2) (i) Montrer que (n+ 1)

Z π/2

0

cos²(t)

sin(t)n

dt =I_n+2. (ii) En d´eduire que (n+ 2)I_n+2 = (n+ 1)I_n.

3) Montrer que n+ 1

n+ 2In≤In+1 ≤In et en d´eduire queIn∼In+1 quand n tend vers l’infini.

4) D´eterminer les valeurs de I_2n etI_2n+1 en fonction n.

Partie II.

Soit (b_j)_j∈N une suite de r´eels strictement positifs telle que la s´erie P

b_j diverge et telle que la s´erie enti`ere P

b_nxⁿ ait un rayon de convergence ´egal `a 1.

On se donne aussi (a_k)k∈N une suite de r´eels v´erifiant lim

k→+∞

a_k

b_k =L∈R. 1) Montrer que la s´erie enti`ere P

a_nxⁿ a un rayon de convergence ´egal au moins `a 1.

2) (i) Justifier que x∈[0,1[7−→

+∞

X

n=0

b_nxⁿ est croissante.

(ii) On suppose qu’il existe une limite finie ` `a

+∞

X

n=0

bnxⁿ quand x→1⁻. Montrer que

`≥

N

X

n=0

b_n pour toutn ∈N. (iii) En d´eduire que lim

x→1⁻ +∞

X

n=0

bnxⁿ= +∞.

On fixe ε >0.

3) (i) Montrer qu’il existe N₀ ∈N tel que pour toutx∈[0,1[:

+∞

X

n=N0

(a_n−Lb_n)xⁿ ≤ε

+∞

X

n=N0

b_nxⁿ.

(ii) En d´eduire que lim

x→1⁻ +∞

X

n=0

(a_n−Lb_n)xⁿ

+∞

X

n=0

bnxⁿ

= 0.

4) Quelle comparaison de comportement asymptotique obtient-on entre

+∞

X

n=0

a_nxⁿet

+∞

X

n=0

b_nxⁿ

quand x→1⁻? Partie III.

On souhaite obtenir un ´equivalent dex∈[0,1[7−→

Z 1

0

1

p(1−t²)(1−xt²) dtquandx→1⁻. 1) Soit x∈[0,1[, montrer que l’int´egrale I(x) =

Z 1

0

1

p(1−t²)(1−xt²) dt est bien d´efinie.

2)(i) Pourx∈[0,1[, exhiber le d´eveloppement en s´erie enti`ere det ∈[0,1] 7−→ 1 p(1−xt²)· (ii) Justifier que

Z 1

0

t²ⁿ

p(1−t²) dt est bien d´efinie et vaut I_2n. (iii) En d´eduire que I(x) =

Z 1

0

1

p(1−t²) dt+

+∞

X

n=1

I_2n

(2n+ 1)I_2n+1xⁿ. 3) Conclure que I(x)∼ −1

2ln(1−x) quand x→1⁻.

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