Probl` eme 1

Licence de Math´ematiques1.

Universit´e d’Artois.

P. Lef`evre

Probl` eme 1

Autour du th´eor`eme de Ces`aro

Partie I.

Pour toute suite (u_n)_n∈N de r´eels, on d´efinit : C_n = 1 n+ 1

n

X

k=0

u_k.

1) ´Etudier la nature de (C_n)_n∈N lorsque u_n = (−1)ⁿ pour toutn ∈N.

2) On suppose que la suite (un)n∈N est convergente vers `. On veut montrer que la suite (C<sub>n</sub>)n∈N est aussi convergente vers `.

Soit ε >0

(i) Justifier qu’il existe n₀ ≥1 tel que: ∀n≥n₀,|u_n−`| ≤ ε 2· (ii) En d´eduire que : ∀n≥n<sub>0</sub>,|C<sub>n</sub>−`| ≤ ε

2 + 1 n+ 1

n0−1

X

k=0

|u_k−`|.

(iii) Justifier qu’il existe n₁ ≥1 tel que ∀n ≥n₁, 1 n+ 1

n0−1

X

k=0

|u_k−`|< ε 2· (iv) Conclure.

3) Est-ce que r´eciproquement la convergence de la suite (C_n)n∈Nimplique que la suite (u_n)n∈N

est convergente ?

4) On suppose que la suite (un)n∈N est croissante et la suite (Cn)n∈Nest convergente vers `.

(i) Montrer que pour tout n∈N, u_n≥C_n.

(ii) Montrer que pour tousn, p∈N, avec n≥1 (p+ 1)u_n≤(n+p+ 1)C_n+p−nCn−1. (iii) En d´eduire que pour tout n ∈N,u_n ≤`.

(iv) Conclure.

Partie II.

On d´efinit la suite (r_n)n∈N par r₀ = 1 et r_n+1 =r_n+ e^−rn. 1) (i) Quelle est la monotonie de la suite (r_n)n∈N ?

(ii) Montrer que cette suite ne peut ˆetre convergente. Conclure.

On d´efinit alors pour toutn ∈N: u_n = e^rn+1−e^rn.

2) Montrer que la suite (u_n)_n∈N est convergente et pr´eciser sa limite.

3) En d´eduire `a l’aide de I.2. que e^rn

n

n∈N

est convergente vers 1.

4) En d´eduire quer_n∼ln(n) quandn−→+∞, c’est `a dire que r_n ln(n)

n∈N

est convergente vers 1.

Partie III.

On souhaite g´en´eraliser le th´eor`eme de Ces`aro:

Soit (α_n)_n∈(R^∗+)^N. Pour toute suite (u_n)n∈N de r´eels, on d´efinit :

A_n=

n

X

k=0

α_ku_k

n

X

k=0

α_k

·

On veut montrer que

[pour toute suite (u_n)n∈N convergente vers une limite `, la suite (A<sub>n</sub>)n∈N ainsi d´efinie converge vers `]

si et seulement si

n→+∞lim

n

X

k=0

α_k= +∞.

1) En testant le membre de gauche pour une suite (u_n)n∈N convergente vers 0 bien choisie, montrer que la condition lim

n→+∞

n

X

k=0

α_k = +∞ est n´ecessaire.

2) En se basant sur les techniques de I.2., montrer que la condition lim

n→+∞

n

X

k=0

α_k= +∞est suffisante.

3) Application: Stolz-Ces`aro.

Soient (a_n)n∈Net (b_n)n∈Ndeux suites r´eelles avec (b_n)n∈Nstrictement croissante, non major´ee.

On suppose que la suite u_n = an+1−an

b_n+1−b_n est convergente vers `. Montrer que an

b_n est aussi convergente vers `.

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