Polynôme de Poincaré virtuel d une formule

(1)

Polynˆ ome de Poincar´ e virtuel d’une formule semi-lin´ eaire g´ en´ erique

R´emy Nguyen

30 juin 2021

(2)

Introduction

Vari´et´es quadratiques diagonales

Calcul en dimension arbitraire

R´esultats en petite dimension

(3)

Introduction

(4)

D´efinition (Ensemble semi-alg´ebrique)

Soitd ∈N^∗. Un sous-ensembleX ⊂R^d de la forme X =[

i∈I

\

j∈J

x ∈R^d :`_ij(x)ij 0 , avec I,J ensembles finis,

`_ij(x)∈R[X₁, . . . ,X_d], ij ∈ {>,=}, est dit semi-alg´ebrique.

Une application est semi-alg´ebrique lorsque son graphe est un ensemble semi-alg´ebrique.

(5)

D´efinition (Anneau de Grothendieck K₀(SA))

PourX ∈SA, la classe de X dansK0(SA) est not´ee [X].

I si X,Y ∈SA,X 'Y, alors [X] = [Y],

I si X,Y ∈SA,Y ⊂X, alors [X] = [Y] + [X\Y],

I si X,Y ∈SA, alors [X×Y] = [X][Y].

(6)

Théorème (Décomposition cellulaire)

Tout ensemble semi-alg´ebrique est une r´eunion finie de cellules.

Proposition

Il existe une caract´eristique d’Euler

χ: SA3X 7→χ(X)∈Z

qui est additive et multiplicative : elle induit un morphisme K0(SA)→Z.

(7)

Proposition

La caract´eristique d’Euler χ:K₀(SA)→Z est un isomorphisme.

D´emonstration.

NotonsLla classe de RdansK₀(SA). Observons que R= ]−∞,0[∪ {0} ∪]0,+∞[.

Ainsi,L+ 1 = 0. La classe d’une cellule de dimensiond ∈N^∗ est (−1)^d−1L. Par le théorème de décomposition cellulaire, l’anneau K₀(SA) est donc engendré en tant que groupe additif parL. Commeχ(L) =−1, le morphismeχ est surjectif et injectif.

(8)

Idée (G. Comte & G. Fichou, 2014) : remplacer les ensembles semi-algébriques par les formules semi-algébriques elles-mêmes.

Exemple (pour pr´eciser les notations) Formule en deux variablesX,Y :

f :X >0,Y >0

f(R) :=

(x,y)∈R² :f(x,y) =

(x,y)∈R²:x >0,y>0 .

(9)

D´efinition (Anneau de Grothendieck K0(FSA))

Pourf ∈FSA, la classe de f dans K₀(FSA) est not´ee [f].

I pour tout d ∈N^∗, pour toute formulef end variables X₁, . . . ,X_d et tout polynˆome `∈R[X₁, . . . ,X_d],

[f] = [f, `= 0] + [f, `6= 0], [f, `6= 0] = [f, ` >0] + [f, ` <0].

I pour tous d1,d2 ∈N^∗, pour toute formule f end1 variables X1, . . . ,X_d₁ et toute formuleg en d2 variablesY1, . . . ,Y_d₂ telles que les variablesX₁, . . . ,X_d₁,Y₁, . . . ,Y_d₂ sont deux `a deux distinctes,

[f,g] = [f][g],

o`u la conjonction f,g est vue comme une formule en les d₁+d₂ variablesX₁, . . . ,X_d₁,Y₁, . . . ,Y_d₂.

(10)

Rappelons que

K0(SA)→Z [X]7→χ(X) est un isomorphisme. Nous avons un morphisme

K₀(FSA)→Z

[f]7→χ(f) :=χ(f(R)).

Probl´ematique

La classe [f]∈K₀(FSA) rend-elle compte de la topologie, de la géométrie de l’ensemble semi-algébriquef(R), au-delà de la seule caractéristique d’Eulerχ(f(R)) ?

(11)

Proposition (G. Comte & G. Fichou, 2014) Il existe un morphisme

β :K₀(FSA)→Z 2⁻¹

[u]

[f]7→β(f),

appelé le polynôme de Poincaré virtuel des formules, qui est défini en termes de polynômes de Poincaré virtuels de variétés.

(12)

D´efinition (Anneau de Grothendieck K0(Var))

La classe d’une variété algébriqueX ∈Var est [X]∈K₀(Var).

I pour toutes vari´et´esX,Y telles que X 'Y, [X] = [Y],

I pour toute variété algébrique X, pour toute sous-variété Y ⊂X fermée, [X] = [Y] + [X \Y],

I pour toutes variétés algébriques X,Y, [X ×Y] = [X][Y].

(13)

Proposition (C. McCrory & A. Parusi´nski, 2003) Il existe un unique morphisme

β :K₀(Var)→Z[u],

appelé le polynôme de Poincaré virtuel des variétés algébriques, tel que pour toute variété algébrique X lisse et compacte,

β(X) :=β([X]) =

dimX

X

i=0

dim_Z_/2_ZH_i(X;Z/2Z)uⁱ.

(14)

Proposition (C. McCrory & A. Parusi´nski, 2003)

Pour toute variété algébrique X , le polynôme de Poincaré virtuel β(X)∈Z[u]satisfait les propriétés suivantes :

I X est vide si et seulement si β(X) = 0;

I si X n’est pas vide, degβ(X) = dimX ;

I β(X)(−1) =χ(X).

(15)

Heuristique : le polynôme de Poincaré virtuel β(f) d’une formule f est une combinaison linéaire de polynômes de Poincaré virtuels de variétés, choisie de sorte que

Z 2⁻¹

[u]3β(f)7→β(f)(−1) =χ(f(R))∈Z.

(16)

Exemple (Formule X >0)

x>0

(17)

Premier candidat :

1 2





 −







β([X >0]) := 1 2

β

Y²=X

−β([X = 0])

?

(18)

Deuxi`eme candidat :

−1 2





 −







β([X >0]) :=β([X 6= 0])

−1 2

β

Y² =−X

−β([X = 0])

?

(19)

β([X >0]) := 1 2

1 2

β

Y²=X

−β([X = 0])

! + 1

2 β([X 6= 0])−1 2

β

Y² =−X

−β([X = 0])

! .

(20)

β([X >0]) := 1 4β

Y² =X

− 1 4β

Y²=−X + 1

2β([X 6= 0]).

Plus g´en´eralement, pour toutd ∈N^∗, pour tout`∈R[X1, . . . ,X_d], β([` >0]) := 1

4β

Y²=`

− 1 4β

Y²=−` +1

2β([`6= 0]).

(21)

β([X >0]) := 1 4β

Y² =X

− 1 4β

Y²=−X + 1

2β([X 6= 0]).

Plus g´en´eralement, pour toutd ∈N^∗, pour tout`∈R[X1, . . . ,X_d], β([` >0]) := 1

4β

Y²=`

− 1 4β

Y²=−`

+1

2β([`6= 0]).

(22)

Proposition (G. Comte & G. Fichou, 2014) Il existe un unique morphisme

β :K0(FSA)→Z 2⁻¹

[u],

appelé le polynôme de Poincaré virtuel des formules, tel que

I pour toute formulef sans in´egalit´es,β(f) =β(f(R)).

I pour tout d ∈N^∗, pour toute formulef en d variables X₁, . . . ,X_d,

β([f, ` >0]) =1 4β

f,U²=`

−1 4β

f,U²=−`

+1

2β([f, `6= 0]), o`u U est une nouvelle variable qui ne figure pas parmi

X1, . . . ,Xd.

(23)

Introduction

(24)

D´efinition (Forme quadratique diagonale) Soitk ∈N. Une forme quadratique de la forme

c₀U₀²+· · ·+c_kU_k² ∈R[U₀, . . . ,U_k] est dite diagonale.

Définition (Variété quadratique diagonale)

Soientk,n ∈N^∗. Soientq₁, . . . ,q_n∈R[U₀, . . . ,U_k] des formes quadratiques diagonales. Alors la variété algébrique

Q =

u ∈P^k :q₁(u) = 0, . . . ,q_n(u) = 0 est appelée une variété quadratique diagonale.

(25)

Exemple SoitQ :=

[u0 :u1:u2:u3]∈P³:u₁²+u₂²+u₃² =u²₀ . Q 'S²:=

(u1,u2,u3)∈R³:u²₁+u₂²+u₃² = 1 . Consid´erons l’application

θ:S²→R² (u₁,u₂,u₃)7→(u₁²,u²₂).

L’image deθest le polytope

θ(S²) =P_R(X,Y,1−X −Y) :={(x,y)∈R²,x>0,y>0,1−x−y>0}.

(26)

−→θ

Pour tout orthantO ⊂R³,θinduit un hom´eomorphisme O ∩S² 'θ(S²) =P_R(X,Y,1−X −Y).

(27)

SoitQ ⊂P^k une vari´et´e quadratique diagonale. Alors il existe

I un entierd ∈N,

I des formes lin´eaires ˜`0, . . . ,`˜k ∈R[X0, . . . ,Xd],

I et une certaine application r´eguli`ere θ:Q ⊂P^k →P^d

dont l’image est le poly`edreP_P(˜`₀, . . . ,`˜_k)⊂P^d. Proposition (2.19, p. 28)

Dans une carte affine appropri´ee,P_P(˜`₀, . . . ,`˜_k)⊂P^d est un polytope deR^d.

(28)

Proposition (2.23, p. 31)

Pour tout point u= [u₀ :· · ·:u_k]∈Q et tout i ∈ {0, . . . ,k}, u_i = 0 ⇐⇒ θ(u)∈ H_P(˜`_i).

Pour tout orthantO ⊂P^k,θinduit un hom´eomorphisme P^k ⊃Q∩ O ' P_P(˜`0, . . . ,`˜k)⊂P^d.

(29)

−→θ

La décomposition cellulaire de P_P(˜`₀, . . . ,`˜_k) induit une décomposition cellulaire sur Q, par l’intermédiaire de θ⁻¹.

(30)

Soit k∈N. Soit Q ⊂P^k une variété quadratique diagonale. Alors le nombre de composantes connexes de Q est2^max(0,k^−|V^|), où

V :={i ∈ {0, . . . ,k}:Q∩ H_P(U_i)6=∅}.

(31)

Proposition (construction inverse, p. 37)

Soient d,k ∈N^∗. Soient `˜0, . . . ,`˜k ∈R[X0, . . . ,Xd]des formes linéaires telles quedim Vect(˜`0, . . . ,`˜_k) =d+ 1. Alors il existe une variété quadratique diagonale Q(˜`₀, . . . ,`˜_k) et une application

θ:Q(˜`₀, . . . ,`˜_k)→ P_P(˜`₀, . . . ,`˜_k) au sens de la construction mentionnée précédemment.

Exemple (surface de degr´e 4 dans P^k)

Soitk ∈N,k>3. Alors il existe une surface dansP^k avec 2^k−3 composantes connexes.

(32)

Exemple (k = 5)

`1, `2, `3, `4, `5∈R[X,Y],

`˜0 :=H,`˜1,`˜2,`˜3,`˜4,`˜5∈R[X,Y,H], b₀(Q(˜`₀,`˜₁,`˜₂,`˜₃,`˜₄,`˜₅)) = 2⁵⁻³ = 4.

(33)

Introduction

(34)

Définition (Formule semi-linéaire générique)

f :`1>0, . . . , `_k >0,

où d ∈N, où `1, . . . , `k ∈R[X1, . . . ,Xd] sont des polynômes de degré 1 tels que l’arrangement d’hyperplans

H_R `1

=

x ∈R^d :`1(x) = 0 , . . . , H_R `k

=

x ∈R^d :`k(x) = 0 deR^d est g´en´erique.

(35)

Exemple (G. Comte & G. Fichou, 2014)

β([X >0,X <1]) = 1 16β

U₁² =X,U₂² = 1−X

−1 16β

U₁²=−X,U₂²= 1−X

− 1 16β

U₁²=X,U₂²=−(1−X) + 1

16β

U₁² =−X,U₂² =−(1−X) +1

8β

U₁² =X,1−X 6= 0

−1 8β

U₁² =−X,1−X 6= 0 + 1

8β

X 6= 0,U₂² = 1−X

−1 8β

X 6= 0,U₂² =−(1−X) +1

4β([X 6= 0,1−X 6= 0])

= 5u−11 16 ∈Z

2⁻¹ [u].

(36)

Proposition (approche inductive, 3.4, p. 45)

Soient d,k ∈N^∗. Soient `₁, . . . , `_k ∈R[X₁, . . . ,X_d]. Alors β(f) = Λ(f)− X

E,F,I partition de

{1,...,k}, I({1,...,k}

1 2

|E|

−1 2

|F|

β

`i>0, `e= 0,i∈I,e∈E ,

Λ(f) := 1 4^k

X

ε1,...,ε_k∈{−1,1}

k

Y

i=1

ε_i

!

β h

U₁²=ε₁`₁, . . . ,U_k² =ε_k`_ki

! .

(37)

Proposition (calcul de Λ(f), cas sp´ecial, 3.5, p. 48) Si k 6d , alors la partie principale

Λ(f) := 1 4^k

X

ε₁,...,ε_k∈{−1,1}

k

Y

i=1

ε_i

!

β h

U₁²=ε₁`₁, . . . ,U_k² =ε_k`_ki

! .

est nulle.

(38)

Proposition (calcul de Λ(f), cas g´en´eral, p. 50) Pour tousε0, . . . , ε_k ∈ {−1,1}, il existe un isomorphisme

(X1, . . . ,Xd,U1, . . . ,Uk)∈R^d+k :U₁²=ε1`1, . . . ,U_k² =εk`k

↓ Q(˜`0, ε1`˜1, . . . , εk`˜k)∩

[U0:· · ·:Uk]∈P^k :U06= 0 . Autrement dit,

β h

U₁² =ε1`1, . . . ,U_k² =ε_k`_ki

!

= β(Q(˜`0, ε1`˜1, . . . , εk`˜k))

−β(Q(˜`0, ε1`˜1, . . . , ε_k`˜_k)∩

[U0 :· · ·:U_k]∈P^k :U0 = 0 ).

(39)

Proposition (p. 39)

Pour tousε0, . . . , εk ∈ {−1,1}, les deux vari´et´es Q(˜`₀, ε₁`˜₁, . . . , ε_k`˜_k), Q(˜`0, ε1`˜1, . . . , εk`˜k)∩

[U0:· · ·:Uk]∈P^k :U0 = 0 sont compactes et lisses.

Corollaire

Chaque terme de la partie principaleΛ(f)s’obtient en calculant le complexe de chaˆınes cellulaires de deux variétés pour lesquelles on dispose d’une structure de CW-complexe régulier explicite.

(40)

Impl´ementation OCaml (400 lignes).

Exemple (en dimension trois)

`1 = 1−X + 3Y, `2= 2X+ 3

4Y + 5Z,

`3 = 5 + 2X+1 2Y +5

6Z, `4 =−1−1 3X +1

2Y +1 3Z,

`5 = 5−5X+Y +2

3Z.

(41)

Impl´ementation OCaml (400 lignes).

Entr´ee : print_poly (compute_beta

[

["1"; "-1"; "3"; "0"];

["0"; "2"; "3/4"; "5"];

["5"; "2"; "1/2"; "5/6"];

["-1"; "-1/3"; "1/2"; "1/3"];

["5"; "-5"; "1"; "2/3"];

] );

Sortie : -315/512 59/256 -1/8 15/512 %

β([`₁>0, `₂>0, `₃>0, `₄>0, `₅>0]) = 15 512u³−1

8u²+ 59

256u−315 512.

(42)

Introduction

(43)

Th´eor`eme (4.2, p. 60)

Soit k∈N avec k >1. Soient `₁, . . . , `_k ∈R[X] des polynômes de degré un tels que les points p1, . . . ,pk ∈Rsatisfaisantì pi

= 0, i ∈ {1, . . . ,k} sont deux `a deux distincts. Supposons que

l’intervallef(R)d´efini par la formule

f :`1 >0, . . . , `_k >0 est non born´e. Alors

β(f) = 3u+ 3

2^k⁺² +u−7 8 .

(44)

Th´eor`eme (4.3, p. 64)

Soit k∈N. Soient `₁, . . . , `_k ∈R[X]des polynômes de degré un tels que les points p1, . . . ,pk ∈R satisfaisantì pi

= 0, i ∈ {1, . . . ,k} sont deux `a deux distincts. Supposons que l’intervallef(R)d´efini par la formule

f :`1 >0, . . . , `_k >0 est born´e et non vide. Alors

β(f) = 3u+ 3

2^k+2 −1.

(45)

Th´eor`eme (4.4, p. 65)

Soit k∈N. Soient `₁, . . . , `_k ∈R[X]des polynômes de degré un tels que les points p1, . . . ,pk ∈R satisfaisantì pi

= 0, i ∈ {1, . . . ,k} sont deux `a deux distincts. Supposons que l’intervallef(R)d´efini par la formule

f :`1 >0, . . . , `_k >0 est vide. Alors

β(f) = 3u+ 3

2^k+2 .

(46)

β(f) =











u si f(R) =R,etk = 0, 3u+ 3

2^k+2 +u−7

8 si f(R)( R est un intervalle non born´e, 3u+ 3

2^k+2 −1 si f(R) est un intervalle born´e non vide, 3u+ 3

2^k+2 si f(R) est vide.

(47)

Th´eor`eme (4.6, p. 84)

Soit k∈N avec k >1. Soient `₁, . . . , `_k ∈R[X,Y] des polynˆomes de degr´e un. Supposons que l’arrangement de droites

H_R(`₁), . . . ,H_R(`_k) est g´en´erique. Supposons que la formule f :`1 >0, . . . , `k >0

définit un polygonef(R)⊂R² non borné. Notons n∈N le nombre de côtés def(R). Alors nous avons

β(f) =−3k+ 4

2^k+2 (u+ 1) + 2n+ 1

8 (u+ 1)−u mod (u+ 1)².

(48)

Th´eor`eme (4.7, p. 89)

H_R(`₁), . . . ,H_R(`_k) est g´en´erique. Supposons que la formule f :`1 >0, . . . , `k >0

définit un polygonef(R)⊂R² borné, non vide. Notons n∈Nle nombre de côtés def(R). Alors nous avons

β(f) =−3k+ 4

2^k+2 (u+ 1) +2n

8 (u+ 1)−u mod (u+ 1)².

(49)

Th´eor`eme (4.8, p. 91)

H_R(`1), . . . ,H_R(`k) est générique. Supposons que l’ensemble f(R)⊂R² défini par la formule

f :`1 >0, . . . , `k >0 est vide. Alors nous avons

β(f) =−3k+ 4

2^k+2 (u+ 1) mod (u+ 1)².

(50)

β(f) =











u² sif(R) =R²,etk= 0,

−3k+ 4

2^k+2 (u+ 1) +2n+ 1

8 (u+ 1)−u mod (u+ 1)² sif(R) est non born´e, etk>1,

−3k+ 4

2^k+2 (u+ 1) +2n

8(u+ 1)−u mod (u+ 1)² sif(R) est born´e et non vide,

−3k+ 4

2^k+2 (u+ 1) mod (u+ 1)² sif(R) est vide.