Déterminer une formule explicite

Vdouine – Terminale S – Chapitre 1 – Suites numériques et comportement asymptotique

Travaux pratiques Page 1

Déterminer une formule explicite

On considère la suite de premier terme u ₀  0 et telle que pour tout n  IN , u _{n  1}   u _n 2 n  11 . 1. En utilisant un tableur, calculer et représenter les 20 premiers termes de la suite.

2. Le nuage de points obtenu a-t-il une particularité ? Si oui laquelle ? Oui, le nuage de points est parabolique de sommet  ^{6; 36 }  .

On cherche à déterminer une formule explicite de u _n c'est-à-dire l’expression de u _n en fonction de n pour n’importe quel n (on parle aussi de l’expression du terme général).

3. A l’aide des observations faîtes dans la première partie de l’étude, conjecturer une formule puis la tester en utilisant une autre colonne du tableur.

La formule que nous pouvons conjecturer à l’aide du tableur est : u n   n  ⁶  ²  ³⁶ (penser à la forme canonique d’un trinôme du second degré) c’est-à-dire u _n  n ²  12 n . En la testant sur une autre colonne du tableur nous obtenons les mêmes termes que ceux obtenus à l’aide de la relation de récurrence.

4. Démontrer le résultat conjecturé à l’aide d’un raisonnement par récurrence.

Initialisation : u ₀  0 et 0 ²    12 0 0 donc la relation est vraie au rang 0.

Hérédité : supposons que u _p  p ²  12 p et démontrons que u _{p } 1   p  1  ²  12  p  1  . Pour cela utilisons la relation de récurrence :

2 2

1 2 11 12 2 11 10 11

p P

u _  u  p   p  p  p   p  p  , or :

 ^{p  1}  ^{2  12}  ^{p   1}  ^{p 2  2 p   1 12 p  12  p 2  10 p  11} , donc nous pouvons affirmer que

  ²  

1 1 12 1

u p _  p   p  et par conséquent l’hérédité est démontrée.

Conclusion : nous venons de démontrer que pour tout n  0 on a u _n  n ²  12 n .

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Travaux pratiques Page 2

Somme des cubes d’entiers consécutifs

On considère la suite u _n définie pour tout entier naturel n  1 par u _n  n ³ . On considère la suite S n définie pour tout entier naturel n  1 par ₁ ³

1

...

n

n n

k

S u u k



     ^{. On note V n} la somme des n premiers entiers naturels, c’est-à-dire

1

1 ...

n n

k

V n k



     ^.

1. En utilisant un tableur, calculer et représenter les valeurs de V _n et de S _n pour 1   n 20 .

2. En déduire une conjecture sur la formule explicite de la suite S _n .

Il semblerait que la somme des cubes corresponde systématiquement au carré de la somme des entiers, c’est- à-dire qu’il semblerait que 2 ²  1  ²

n n 4

n n

S V 

  .

3. Démontrer le résultat conjecturé à l’aide d’un raisonnement par récurrence.

Initialisation : S ₁  1 et ^{1 1 1 2}   ²

4 1

  donc la relation est vraie au rang 1.

Hérédité : supposons que ²  ¹  ²

p 4

p p

S 

 et démontrons que    ²  ²

1

1 2

p 4

p p

S _  

 .

Pour cela utilisons la relation de récurrence :

  ^{3 2}       ^{2 3 2 2}    ²  ²

1

1 4 4

1 1 2

1 1

4 4 4

p p

p p p

p p p p

S _  S  p     p             Conclusion : pour tout n  1 on a ²  ¹  ²

n 4

n n

S 

 .

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Somme des impairs

On considère la suite S _n définie pour tout entier n  1 par la formule suivante :

 

1

2 1

n n

k

S k



  

1. Ecrire un algorithme pour qu’il affiche tous les termes de la suite pour 1   n 20 .

2. A l’aide des premiers termes de la suite, conjecturer la formule explicite de la suite.

Il semblerait que la somme des impairs donne systématiquement les carrés parfaits.

C’est-à-dire que S _n  n ² . 3. Calculer S _{n  1}  S _n

Nous savons que 1 ¹      

1

2 1 1 3 5 ... 2 1 2 1

n

n n

k S

S k n n







          

Donc S _{n  1}  S _n  2 n  1 et par conséquent S _{n  1}  S _n  2 n  1 .

4. Démontrer le résultat conjecturé à l’aide d’un raisonnement par récurrence.

Initialisation : S ₁  1 et 1 ²  1 donc la relation est vérifiée au rang 1.

Hérédité : supposons que S p  p ² et démontrons que S _{p } 1   p  1  ² . Pour cela utilisons la relation de récurrence élaborée à la question précédente.

  ²

2 1 2 2 1 1

p p

S _  S  p   p  p   p  l’hérédité est donc vérifiée.

Conclusion : pour tout n  1 S _n  n ² .

Une suite de sommes

On considère la suite S _n définie par

 

1 n n

k

S k n k



    pour tout entier naturel 1

n  .

1. A l’aide d’un algorithme calculer S ₂₀ .

20 1330

S 

2. Modifier l’algorithme pour qu’il affiche tous les termes de la suite pour 1   n 20 .

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Travaux pratiques Page 4

3. Modifier l’algorithme pour qu’il affiche la première valeur de n telle que S _n  2500 .

On cherche à déterminer une formule explicite de S _n c'est-à-dire l’expression de S _n en fonction de n pour n’importe quel n (on parle aussi de l’expression du terme général de la suite).

4. Montrer que pour tout n  1 on a ₁

1 n

n n

k

S _ S k



   ^.

Pour démontrer cette relation calculons la différence S _{n  1}  S _n .

         

         

       

   

1 1 1 2 1 2 ... 1 1 1 1

1 1 2 2 ... 1 1

1 2 1 ... 1 0 1 1 2 2 ... 1 1 0

1 2 ... 2 1

n n n n n n n n

n n n n n n n n

n n n n n n n n

n n n

                

              

                     

       

5. A l’aide d’un logiciel de calcul formel on peut obtenir l’expression de S _n en fonction de n . Démontrer la relation fournie par le logiciel.

Nous proposerons un raisonnement par récurrence. Initialisation : 1 ¹    

1

1 1 1 1 0

k

S k k



        et

1 3 1 6 0

  donc la relation est vraie au rang 1. Hérédité : supposons que

3 p 6

p p S   et

démontrons que    ³ 

1

1 1

p 6

p p

S _   

 c’est-à-dire démontrons que

3 2

1

3 2

p 6

p p p

S _    et

pour cela utilisons le résultat   ³   ^{3 2}

1

1 3 1 3 2

2 6 6 6

p p

p p p p p p p p p

S _  S          .

Par conséquent nous pouvons conclure que la relation fournie par le logiciel est vraie pour tout n non nul.