Orsay,Octobre2010 S.Mazevet Introduction`alaphysiquedesplasmascours9:Magn´etohydrodynamique

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R ´esistivit ´e MHD Diffusion Eq.

Hydromag Diffusion de B

Introduction `a la physique des plasmas

cours 9:

Magn ´etohydrodynamique

S. Mazevet

Laboratoire de Structure Electronique D´epartement de Physique Th´eorique et Appliqu´ee

Commissariat `a l’Energie Atomique Bruy`eres-Le-Chˆatel,France

Orsay, Octobre 2010

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R ´esistivit ´e MHD Diffusion Eq.

Hydromag Diffusion de B

Table of contents

1 R ´esistivit ´e d’un plasma compl `etement ionis ´e

2 Magn ´etohydrodynamique

3 Diffusion dans un plasma compl `etement ionis ´e

4 Equilibre hydromagn ´etique

5 Diffusion d’un champ magn ´etique dans un plasma

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R ´esistivit ´e d’un plasma compl ´etement ionis ´e

Lorsqu’un plasma est compl´etement ionis´e, toutes les collisions sont coulombiennes et entre particules charg´ees.

Les ´equations fluides incluant les collisions entre particules charg´ees est de la forme

M ndvi

dt = en(E+vi×B)− ∇pi− ∇.πi+Pie (1) mndve

dt = −en(E+Ve×B)− ∇pe− ∇.πe+Pei (2) Les termesP_ie etP_eirepr´esentent le gain de moment pour le fluide ionique du aux collisions avec les ´electrons et vice versa Le tenseur de stressPj est s´epar´e en deux parties: une partie isotropiquep_j et un terme de viscosit´e anisotropiqueπ_j πj repr´esente les collisions entre particules identiques Ce terme peut ˆetre ignor´e lorsque l’on consid`ere la diffusion La conservation de moment entre les deux fluides implique

Pie=−Pei (3)

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R ´esistivit ´e d’un plasma compl ´etement ionis ´e

On peut d´efinir

P_ei=ηe²n²(v_i−v_e) =mn(v_i−v_e)ν_ei (4) η est une constante de proportionalit´e et repr´esente la r´esistivit´e sp´ecifique du milieu

ν_ei= ne²

m η (5)

Pour un plasma compl´etement ionis´e les collisions sont coulombiennes et la fr´equence de collision est donn´ee par

ν_ei=nσv=ne⁴/16π²₀m²v³ (6) En consid´erant une distribution de Maxwell-Boltzmann, la

r´esistivit´e est donn´ee par

η≡ πe²m^1/2

(4π0)²(kBTe)^3/2 (7)

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R ´esistivit ´e d’un plasma compl ´etement ionis ´e II

En incluant les collisions `a angle faible on obtient l’expression donn´ee par Spitzer

η≡ πe²m^1/2

(4π0)²(kBTe)^3/2lnΛ (8) AveclnΛle logarithme Coulombien variant de 10 `a 30 pour l’ensemble des plasmas

Dans l’approximation quasi-statique, si l’on applique un champE dans un plasma o`uB= 0etkBTe= 0, l’´equation du mouvement pour les ´electrons se r´eduit `a

enE = Pei=ηen(en(vi−ve)) =ηenj (9)

E = ηj (10)

o`u l’on retrouve la loi d’Ohm

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Magn ´eto-hydrodynamique

Pour traiter le probl`eme de la diffusion dans un plasma

compl`etement ionis´e, il est plus simple de travailler avec v_i−v_e comme inconnue.

Avec cette approximation, le plasma se d´ecrit comme un fluide simple poss´edant une densit´eρet une conductivit´e1/η

Pour un plasma quasi-neutre compos´e d’une seule esp`ece ionique on a

ρ ≡ niM +nem≈n(M+n) (11) v ≡ 1

ρ(niMvi+nemve)≈ Mvi+mve

M +m (12) j ≡ e(n_iv_i−n_ev_e)≈ne(v_i−v_e) (13) On ajoute un terme gravitationnelM ngaux ´equations du

mouvement

Ce terme peut ˆetre utilis´e pour repr´esenter toute force qui n’est pas ´electromagn´etique

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Magn ´eto-hydrodynamique II

En n´egligeant le terme quadratique et la viscosit´e les ´equations du mouvement pour les ´electrons et les ions sont

M n∂vi

∂t = en(E+vi×B)− ∇pi+M ng+Pie (14) M n∂v_e

∂t = −en(E+ve×B)− ∇pe+mng+Pei (15) Par sommation, nous obtenons

n∂

∂t(Mv_i+mv_e) =en(v_i−v_e)×B− ∇p+n(M+m)g (16) On remarque que le champ ´electrique et le terme de collision disparaitP_ei=−Pie.

Nous avons introduitp=pi+pepour la pression totale

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Magn ´eto-hydrodynamique III

En utilisant les variables introduites pr´ec´edement on obtient ρ∂v

∂t =j×B− ∇p+ρg (17) C’est l’´equation d’un fluide simple

Une autre ´equation peut ˆetre obtenue en prenant une autre combinaison lin´eaire

En multipliant l’´equation du mouvement des ions parm et des

´electrons parM et en effectuant la diff´erence, on obtient M mn∂

∂t(v_i−v_e) =en(M +m)E+en(mv_i+Mv_e)×B

−m∇pi+M∇pe−(M+m)Pei

(18) En introduisant les grandeurs d’un fluide simple on obtient

M mn e

∂

∂t j

n

=eρE−(M +m)neηj−m∇p_i+M∇p_e +en(mvi+Mve)×B

(19)

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Magn ´eto-hydrodynamique IV

Le dernier terme peut ˆetre simplifi´e de la mani`ere suivante

mv_i+Mv_e = Mv_i+mv_e+M(v_e−v_i) +m(v_i−v_e(20))

= ρ

nv−(M −m) j

ne (21)

En divisant pareρ, on obtient E+v×B−ηj= 1

eρ (22)

M mn e

∂

∂t j

n

+ (M −m)j×B+m∇pi−M∇pe

Pour des d´eplacements lents la d´eriv´ee peut ˆetre n´eglig´ee Dans la limitem/M →0on obtient

E+v×B=ηj+ 1

en(j×B− ∇pe) (23) Cette seconde ´equation est la loi d’Ohm g´en´eralis´ee

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Magn ´eto-hydrodynamique V

Le termej×Brepr´esente l’effet Hall

Les ´equations de continuit´e pour la masseρet la chargeσ s’obtient en prenant la somme et la diff´erence des ´equations de continuit´e pour les ´electrons et les ions

L’ensemble complet des ´equations de la MHD est donc ρ∂v

∂t = j×B− ∇p+ρg (24)

E+v×B = ηj (25)

∂ρ

∂t +∇.(ρv) = 0 (26)

∂σ

∂t +∇j = 0 (27)

Avec les ´equations de Maxwell, cet ensemble d’´equations est souvent utilis´e pour d´ecrire un plasma `a l’´equilibre.

Cette formulation peut ´egalement ˆetre utilis´ee pour d´ecrire les ondes dans un plasma mais elle reste moins precise qu’une formulation s’appuyant sur une description de deux fluides

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Diffusion dans un plasma compl `etement ionis ´e

En l’absence de champ gravitationnel et pour un plasma en

´equilibre quasi-statique le syst`eme d’´equations devient

j×B = ∇p (28)

E+v×B = ηj (29) La composante parall´ele au champ est simplement la loi d’Ohm

E_k=η_kj_k (30) La composante perpendiculaire est trouv´ee en prenant la×B

E×B+ (v_⊥×B)×B = η_⊥j×B=η_⊥∇p (31) E×B−v_⊥B² = η_⊥∇p (32)

v_⊥ = E×B B² −η_⊥

B²∇p (33) Le premier terme est la d´erive due `a E×Balors que le second repr´esente la diffusion dans la direction−∇p

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Diffusion dans un plasma compl `etement ionis ´e II

Par example, dans un plasma cylindrique pour lequelE et∇psont dans la direction radiale

v_θ=−E_r

B v_r=−η_⊥ B²

∂p

∂r (34)

Le flux associ´e `a la diffusion est donc

Γ_⊥=nv_⊥=−η_⊥n(k_BT_i+k_BT_e)

B² ∇n (35)

On retrouve ainsi la loi de Fick avec pour coefficient de diffusion D_⊥ =η_⊥nPkBT

B² (36)

On remarque queD⊥ est proportionnel `a1/B² comme dans le cas d’un d’un gas faiblement ionis´e

Contrairement `a un plasma faiblement ionis´eD_⊥ d´epend de la densit´en

La diffusion est n´ecessairement ambipolaire dans un plasma compl´etement ionis´e (lorsque l’on n´eglige les collisions entre particules semblables)

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Diffusion dans un plasma compl `etement ionis ´e III

CommeD⊥ n’est pas constant dans un plasma compl`etement ionis´e on d´efinit

A≡ηk_BT /B² (37) L’´equation de continuit´e peut maintenant s’´ecrire

∂n

∂t = ∇.(D⊥∇n) =A∇.(2n∇n) (38)

∂n

∂t = A∇²n² (39)

Nous avons une ´equation non-lin´eaire pour laquelle il n’existe pas de solution simple

En utilisant une s´eparation de variable du type

n=T(t)S(r) (40)

On obtient

1 T²

dT dt =A

S∇²S²=−1

τ (41)

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Diffusion dans un plasma compl `etement ionis ´e IV

la partie temporelle admet une solution du type 1

T = 1 T0

+ t

τ (42)

Dans le cas g´en´eral, il est difficile d’obtenir une solution pour la partie radiale

Il existe un cas pour lequel l’´equation de la diffusion peut ˆetre resolue de mani`ere simple

On consid`ere une colonne de plasma pour lequel une source maintient un ´etat quasi-statique en injectant des particules pour remplacer celles perdues par la diffusion

L’´equation de continuit´e en dehors de la r´egion o`u la source injecte des particules donne

−A∇²n²=−αn² (43)

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Diffusion dans un plasma compl `etement ionis ´e V

De consid´erer les recombinaisons en dehors de la source permet de retrouver une ´equation lin´eaire en n²

∂²n²

∂x² = α

An² (44)

Cette ´equation admet des solutions du type

n²=n²₀exp[−(α/A)^1/2x] (45) La distance caract´eristique est

l= (A/α)^1/2 (46)

Comme A change en fonction deB, de mesurer la variation del avecB repr´esente un test pour la th´eorie de la diffusion classique

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Diffusion dans un plasma compl `etement ionis ´e VI

La v´erification exp´erimentale de la d´ependance de D_⊥ en 1/B² s’est faite `a la fin des ann´ees 60 plusieurs ann´ees apr´es le d´eveloppement de la th´eorie

Dans beaucoup d’exp´eriences une d´ependance enB⁻¹´etait observ´ee ainsi qu’une valeur plus ´elev´ee pour la diffusion

Une loi empirique connue sous le nom de diffusion de Bohm a ´et´e propos´ee en 1946

D_⊥= 1 16

k_BT_e

eB ≡D_B (47)

La difficult´e a consist´e `a ´eliminer les oscillations, assymmetries possibles ainsi que les d´erives donnant lieu `a une d´ependence en B⁻¹

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Equilibre hydromagn ´etique

En ne consid´erant que le mouvement individuel des particules, il semble a priori simple de confiner un plasma `a l’aide d’un champ magn´etique

D’un point de vue fluide, le point de vue est diff´erent car un plasma g´en´ere ses champs internes qui peuvent `a leur tour affecter son mouvement

Le probl`eme de confinement d’un plasma peut ˆetre divis´e en deux parties, le probl`eme de l’´equilibre et le probl`eme de la stabilit´e La diff´erence entre l’´equilibre et la stabilit´e peut ˆetre illustr´ee par une analogie avec la m´ecanique

Un ´equilibre est stable ou instable suivant qu’une faible perturbation est att´enu´ee ou amplifi´ee

De l’´equilibre et la stabilit´e, le dernier est plus simple `a traiter Pour la stabilit´e, on lin´earise les ´equations du mouvement pour de petites perturbations comme pour les ondes plasmas

Le probl`eme de l’´equilibre est comme la diffusion un probl`eme non-lin´eaire est donc plus difficile `a traiter

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Equilibre hydromagn ´etique II

Bien que le probl`eme g´en´eral de l’´equilibre est compliqu´e, les

´equations de la MHD permettent de d´egager quelques concepts simples

Pour une situation quasi-statique∂/∂t= 0et en l’absence de champ gravitationnelg= 0, les ´equations de la MHD donnent

ρ∂v

∂t = j×B− ∇p+ρg (48)

∇p = j×B (49)

Cette ´equation montre qu’il y a un ´equilibre entre le gradient de pression dans le plasma et la force de Lorentz

Pour en comprendre l’origine, consid´erons un plasma cylindrique avec ungradient de pression dirig´e vers le centre

Pour contrer l’expansion vers l’ext´erieur, un courant azimutal est n´ecessaire

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Equilibre hydromagn ´etique III

L’amplitude de ce courant azimutal est

∇p = j×B (50)

B× ∇p = B×j×B (51)

B× ∇p = B²j_⊥ (52)

j⊥ = B× ∇p

B² = (kBTi+kBTe)B× ∇n

B² (53) o`u nous avons utilis´ej_⊥.B= 0

Ceci repr´esente l’expression du courant diamagn´etique

D’un point de vue particulaire, le courant diamagn´etique provient des orbites de Larmor qui ne s’annulent pas entre les ions et les

´electrons lorsqu’il y a un gradient de densit´e

D’un point de vue de la MHD, le courant diamagn´etique est produit par le gradient de pression et le champ magn´etique Ce courant permet d’´equilibrer les forces sur chaque ´el´ement du fluide et emp´echer ainsi son mouvement

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Equilibre hydromagn ´etique IV

L’´equation du mouvement hydromagn´etique dit ´egalement quejet Bsont chacunes perpendiculaires `a∇p

En prenant la composante le long du champ, on obtient∂p/∂s= 0 L’´equation du mouvement hydromagn´etique impose donc

´egalement que la densit´e soit constante le long d’un ligne de force lorsque la temp´erature est constante

En utilisant l’´equation de Maxwell

∇ ×B=µ0j (54) L’´equation du mouvement magn´etohydrodynamique devient

∇p = j×B (55)

∇p = µ⁻¹₀ (∇ ×B)×B (56)

∇p = µ⁻¹₀

(B.∇)B−1 2∇B²

(57)

∇(p+ B²

2µ₀) = 1

µ₀(B.∇)B (58)

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Equilibre hydromagn ´etique V

Dans de nombreux cas, tels que pour un cylindre avec un champ axial, le terme de droite est nul ou tr`es faible

p+ B² 2µ0

=cste (59)

On trouve donc que la somme de la pression du champ magn´etique B²/2µ0 et de la pression particulaire est une constante.

Dans un plasma poss´edant un gradient de densit´e, le champ magn´etique doit ˆetre faible lorsque la densit´e est ´elev´ee est vice versa.

La d´ecroissance du champ magn´etique `a l’int´erieur du plasma provient du courant diamagn´etique

L’importance de l’effet diamagn´etique est d´efinit parβ β=

Pnk_BT B²/2µ0

= Pression particulaire

Pression du champ magn´etique (60)

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Equilibre hydromagn ´etique VI

Nous avons jusqu’`a pr´esent consid´er´e des plasma o`uβ´etait faible entre10⁻³ et10⁻⁶.

Dans ce cas l’effet diamagn´etique est faible et nous avons pu, par exemple, consid´erer un champ uniformeB₀ dans le traitement des ondes plasmas

Lorsqueβ est faible, le d´enominateur peut ˆetre le champ dans le vide ou en pr´esence du plasma

Lorsqueβ est ´elev´e, la valeur locale du champB peut ˆetre fortement r´eduite par le plasma. Dans ce cas, on utilise la valeur deB dans le vide pour la d´efinition de β

Les plasmas avecβ ´elev´e sont tr`es communs en astrophysique En principe on peut avoir un plasma avecβ = 1c’est `a dire o`u le courant g´en´ere un champ exactement ´egale et oppos´e au champ ext´erieur

On peut ainsi consid´erer qu’il existe une r´egion avec plasma et sans champ et une r´egion avec champ et sans plasma

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Diffusion deBdans un plasma

Un probl`eme courant en astrophysique est la diffusion d’un champ magn´etique dans un plasma

Si on a une r´egion avec un plasma et sans champ magn´etique et une r´egion avec champ magn´etique et sans plasma, les deux r´egions restent s´epar´ees si le plasma n’a pas de r´esistivit´e

Si la r´esistivit´e du plasma est finie, le plasma peut se d´eplacer dans la r´egion o`u le champ est pr´esent et vice versa

Le temps de diffusion s’obtient en utilisant la loi d’Ohm g´en´eralis´ee

∇ ×E = −∂B

∂t (61)

E×v×B = ηB (62) On consid`ere le plasma au reposv= 0 avec les lignes de champ le p´en´etrant

∂B

∂t =−∇ ×ηj (63)

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Diffusion deBdans un plasma II En utilisant

∇ ×B=µ0j (64) On obtient

∂B

∂t = −η

µ₀∇ ×(∇ ×B) (65)

= −η µ0

∇(∇.B)− ∇²B

(66) Avec l’approximation∇.B= 0, on obtient une ´equation de diffusion pour le champ magn´etique

∂B

∂t = η µ0

∇²B² (67) Les solutions de cette ´equation s’obtient en utilisant une

s´eparation de variable

En supposant que la variation spatialle deB soit telle que

∂B

∂t = η

µ₀L²B (68)

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Diffusion deBdans un plasma III

Les solutions sont donc du type

B = B0e^±t/τ (69) avec τ =µ0L²/η (70) Le tempsτ peut donc aussi ˆetre interpr´et´e comme le temps n´ecessaire pour l’annihilation du champ magn´etique dans le plasma Alors que les lignes de champ se d´eplacent dans le plasma, les courants induits produisent un ´echauffement du plasma.

Cette ´energie provient de l’´energie du champ

L’´energie perdue parm³ durant le tempsτ est donn´ee par ηj²τ = η

B µ0L

²µ0L²

η (71)

= B² µ0

= 2 B²

2µ0

(72) τ est le temps n´ecessaire pour que l’´energie du champ soit dissip´ee par effet Joule