Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI − 2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚6
Vendredi 4 avril de 13h `a 16h
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Exercice 1
R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(E) : y′′+ 4y= sin(2x) d’inconnue y:R→R une fonction deux fois d´erivable.
Exercice 2
Soit (un)n∈N la suite d´efinie par
u0 = 1 u1 = 2
un+2 = 4un+1+ 5un valable pour tout n∈N. 1. Expliciter le terme g´en´eral de la suite (un)n∈N.
2. D´eterminer le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N.
Probl` eme 1
On noteM2(Z) l’ensemble des matrices de format 2×2 `a coefficients dans Z, i.e.
M2(Z) = a b c d
a, b, c, d sont des entiers relatifs
.
Une matrice A∈ M2(Z) est dite inversible dans M2(Z) s’il existe une matrice B appartenant
`a M2(Z) telle que A×B =B ×A=I2.
1
Partie A − Multiplicativit´e du d´eterminant Le d´eterminant d’une matrice M =
a b c d
∈ M2(Z) est le nombre entier relatif d´efini par det(M) :=ad−bc.
1. Soient M1 etM2 deux matrices de M2(Z). Montrer que det(M1×M2) = det(M1)×det(M2).
2. Calculer det(I2).
3. Soit une matrice A ∈ M2(Z) qui est inversible dans M2(Z). D´emontrer que det(A) ∈ {−1,1}.
Partie B − Un crit`ere d’inversibilit´e dans M2(Z) portant sur le d´eterminant Soit A=
a b c d
∈ M2(Z). On introduit la matrice A′ :=
d −b
−c a
∈ M2(Z).
1. Calculer les produits matricielsA×A′ etA′×A. On exprimera les r´esultats en fonction de det(A) et de la matrice I2.
2. En d´eduire que la matrice A est inversible dans M2(Z) si et seulement si det(A) ∈ {−1,1}.
Partie C − Construction de matrices de M2(Z) inversibles dans M2(Z) 1. ´Enoncer le th´eor`eme de B´ezout.
2. Soientaetb des entiers naturels non nuls. D´emontrer qu’il existe des entiers relatifscet dtels que la matrice A=
a b c d
∈ M2(Z) est inversible dansM2(Z) si et seulement sia et b sont premiers entre eux.
3. Construire une suite (An)n∈N∗ de matrices de M2(Z) inversibles dansM2(Z) et deux `a deux distinctes.
4. Que d´eduire de la question pr´ec´edente quant `a l’ensemble des matrices de M2(Z) inver- sibles dans M2(Z) ?
Partie D − Etude d’un exemple´
1. Donner l’algorithme d’Euclide permettant de calculer le PGCD de deux entiers naturels non nuls quelconques.
2. Calculer le PGCD de 3001 et de 121.
3. ´Enoncer et d´emontrer le lemme de Gauß.
4. R´esoudre l’´equation
(E) : 3001x+ 121y= 1 d’inconnue (x, y)∈Z2.
2
5. En d´eduire quatre couples d’entiers relatifs (c1, d1),(c2, d2),(c3, d3),(c4, d4) deux `a deux distincts tels que les matrices deM2(Z)
3001 121 c1 d1
3001 121 c2 d2
3001 121 c3 d3
3001 121 c4 d4
soient inversibles dans M2(Z).
Probl` eme 2
On fixe pour tout le probl`eme une constante α r´eelle et strictement plus grande que 1.
Partie A − R´esolution d’un probl`eme de Cauchy lin´eaire d’ordre 1
1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(EH) : y′− 1 xy= 0
d’inconnue une fonction y: ]0,+∞[→R d´erivable sur ]0,+∞[.
2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(E) : y′− 1
xy=−2α x2
d’inconnue une fonction y: ]0,+∞[→R d´erivable sur ]0,+∞[.
3. D´eterminer l’unique solution du probl`eme de Cauchy
y′− 1
xy=−2α x2 y(1) = 2α.
d’inconnue une fonction y: ]0,+∞[→R d´erivable sur ]0,+∞[.
Partie B − Etude d’une fonction´ Soit f la fonction d´efinie par
f : ]0,+∞[ → R x 7→ αx+α
x.
Un rep`ere du plan ´etant fix´e, on note Cf la courbe repr´esentative def.
1. ´Etudier la limite ´eventuelle def(x) quandx tend vers 0+ et en donner une cons´equence g´eom´etrique.
2. ´Etudier la limite ´eventuelle def(x) quand x tend vers +∞.
3. D´eterminer une droite D asymptote oblique `a Cf au voisinage de +∞, puis pr´eciser la position relative de D etCf.
3
4. ´Etudier les variations de f et en d´eduire les extrema globaux ´eventuels de f.
5. ´Etudier la position relative de la droite ∆ d’´equation y=xet de la courbe Cf. 6. Justifier que f(α)> α.
7. D´emontrer que l’intervalle [α,+∞[ est stable par f, i.e. quef( [α,+∞[ )⊂[α,+∞[.
Partie C − Etude d’une suite r´´ ecurrente
Soit (un)n∈N la suite d´efinie par
u0 =α
un+1 =α un+ α
un pour tout n∈N.
1. D´emontrer que pour tout n∈N, un est bien d´efini et sup´erieur ou ´egal `a α.
2. D´emontrer que la suite (un)n∈N est strictement croissante.
3. ´Enoncer le th´eor`eme de la limite monotone pour les suites, puis d´emontrer l’un des quatre r´esultats (au choix).
4. D´emontrer que la suite (un)n∈N diverge.
5. Pr´eciser enfin le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N.
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