Analyse II (Calcul Différentiel et Equations Différentielles)

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Analyse II (Calcul Différentiel et Equations Différentielles)

HAIRER, Ernst

Abstract

Polycopies du cours "Analyse II (Calcul Différentiel et Equations Différenteielles)": Chapitre I.

Calcul différentiel dans les espaces de Banach, Chapitre II. Maxima et minima relatifs et calcul de variations, Chapitre III. Equations différentielles ordinaires, Chapitre IV. Equations différentielles linéaires d'ordre 2, Chapitre V. Sous-variétés de R^n

HAIRER, Ernst. Analyse II (Calcul Différentiel et Equations Différentielles). 1999, 100 p.

Available at:

http://archive-ouverte.unige.ch/unige:12686

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Analyse II

Partie B

Calcul Diff´erentiel Equations Diff´erentielles

Ernst Hairer

Universit´e de Gen`eve Octobre 1999

Section de math´ematiques Case postale 240

CH-1211 Gen`eve 24

(3)

I Calcul diff´erentiel dans les espaces de Banach 1

I.1 Rappel sur la diff´erentiabilit´e dansIRⁿ . . . 1

I.2 Espaces de Banach et de Hilbert . . . 2

I.3 Applications lin´eaires . . . 4

I.4 Différentiabilité dans les espaces normés . . . 8

I.5 Th´eor`eme des accroissements finis . . . 10

I.6 Th´eor`eme du point fixe de Banach . . . 12

I.7 Th´eor`eme d’inversion locale . . . 17

I.8 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . 19

I.9 Applications bilin´eaires et multilin´eaires . . . 21

I.10 Dérivées d’ordre supérieur . . . 23

I.11 Exercices . . . 26

II Maxima et minima relatifs et calcul de variations 32 II.1 Maxima et minima relatifs . . . 32

II.2 Multiplicateurs de Lagrange . . . 34

II.3 Calcul de variations . . . 37

II.4 Problèmes isopérimétriques . . . 41

II.5 G´eod´esiques des surfaces . . . 42

II.6 Exercices . . . 46

III Equations diff´erentielles ordinaires 49 III.1 Terminologie et quelques exemples . . . 49

III.2 Existence et unicit´e du probl`eme de Cauchy . . . 52

III.3 Th´eor`eme de Peano . . . 54

III.4 Prolongement des solutions et existence globale . . . 57

III.5 Inégalités différentielles et solutions approchées . . . 59

III.6 Systèmes d’équations différentielles linéaires . . . 62

III.7 Systèmes linéaires à coefficients constants . . . 65

III.8 Diff´erentiabilit´e par rapport aux valeurs initiales . . . 66

III.9 Stabilit´e . . . 70

III.10 Exercices . . . 75

2

(4)

IV.2 La fonction de Green . . . 84

IV.3 Probl`emes adjoints et auto-adjoints . . . 86

IV.4 Le probl`eme de Sturm–Liouville . . . 89

IV.5 Th´eor`eme de comparaison de Sturm . . . 91

IV.6 Equations diff´erentielles avec des singularit´es . . . 94

IV.7 Exercices . . . 98

V Sous-variétés deIRⁿ 102 V.1 Théorème du rang . . . 102

V.2 Définition des sous-variétés deIRⁿ . . . 104

V.3 Espace tangent . . . 106

V.4 Equations différentielles sur des sous-variétés . . . 107

V.5 Exercices . . . 108

Bibliographie 110

Avant-propos

Cette brochure est une version corrigée des polycopiés distribués pendant le cours “Anal- yse II, Partie B” (2 heures par semaine) donné en 1998/99. Plusieurs parties ont profité des notes de cours de Pierre de la Harpe. Les portraits sur la page de couverture (S. Banach (1892–

1945) et D. Hilbert (1862–1943) à gauche, G. Peano (1858–1932) et C.-F. Sturm (1803–1855) à droite) ont été copiés sur Internet par les soins de Stéphane Cirilli (site http://www-groups.dcs.st- and.ac.uk/_∼history/Mathematicians/). Quelques figures (surtout celles avec un flair artistique) ont été produites en utilisant des programmes de Gerhard Wanner. Je remercie ces collègues sincèrement.

En ce lieu, j’aimerais remercier Luc Rey-Bellet et Stéphane Cirilli pour leur aide dans la préparation des exercices et pour leur lecture soigneuse d’une version préliminaire. Je tiens aussi

à remercier mon fils Martin pour avoir vérifié l’orthographe de ces polycopiés.

(5)

Calcul diff´erentiel dans les espaces de Banach

Le calcul différentiel dans IRet dans IRⁿ était un des sujets traités au cours ‘Analyse I’ (voir le livre [HW95]). Le premier chapitre du cours ‘Analyse II’ a comme but d’étendre ce calcul aux espaces plus généraux. Ceci nous permet non seulement d’obtenir des résultats plus généraux avec des applications intéressantes, mais nous obtenons en même temps une meilleure compréhension du calcul différentiel dansIRⁿ.

Après un rappel sur la différentiabilité dansIRⁿ, nous donnons la définition d’un espace de Ba- nach et nous discutons les différences essentielles entreIRⁿet les espaces de Banach de dimension infinie. Nous étendons ensuite la notion d’application différentiable aux espaces de Banach, nous donnons plusieurs exemples, et nous abordons les sujets suivants: le théorème des accroissements finis, le théorème du point fixe de Banach, le théorème d’inversion locale, ainsi que le théorème des fonctions implicites.

I.1 Rappel sur la diff´erentiabilit´e dans IR

ⁿ

Pour une fonction à une variablef : (a, b)→IR, la dérivée au pointx0est définie par f^′(x0) = lim

x→x0

f(x)−f(x₀) x−x0

. (1.1)

De toute évidence, cette définition n’a pas de sens pour des fonctions à plusieurs variables.

Pour une fonctionf : U → IR^m(U étant un ouvert deIRⁿ), on dit quef(x)est différentiable enx0 ∈U, s’il existe une application linéairef^′(x0) :IRⁿ →IR^m, telle que

f(x) =f(x₀) +f^′(x₀)(x−x₀) +r(x)kx−x₀k, (1.2) où la fonctionr :U → IR^m (qui depend du paramètrex0) satisfaitr(x) →0pourx →x0. On a vue dans [HW95, IV.3] que cette définition ne dépend pas de la norme choisie et que l’application linéaire est donnée par la matrice jacobienne

f^′(x0) =







∂f1

∂x1(x0) . . . _∂x^∂f¹_n(x0)

... ...

∂fm

∂x1(x0) . . . ^∂f_∂x^m

n(x0)





, (1.3)

oùx = (x1, . . . , xn)^T etf(x) = (f1(x), . . . , fm(x))^T. L’exemple suivant montre qu’il n’est pas toujours avantageux de représenter l’application linéairef^′(x)à l’aide de la matrice jacobienne.

(6)

Exemple 1.1 Identifions l’espace IRⁿ^·ⁿ avec l’ensemble des matrices carrées de dimensionn, et considérons l’applicationf : IRⁿ^·ⁿ → IRⁿ^·ⁿ définie parf(X) = X². La propriété (X0 +H)² = X₀²+X₀H+HX₀ +H² suggère la définition

f^′(X0)H =X0H+HX0, r(X) = (X−X0)²/kX−X0k. (1.4) Pour démontrer que l’application linéairef^′(X0)de (1.4) est vraiment la dérivée def(X), il faut voir quer(X) →0siX → X0. Ceci découle du fait que, pour la norme euclidienne dansIRⁿ^·ⁿ, on ak(X−X₀)²k ≤ kX−X₀k².

I.2 Espaces de Banach et de Hilbert

Essayons d’étendre la définition (1.2) de la différentiabilité à une fonctionf : E → F. Dans les espacesE etF il faut savoir additionner, soustraire, multiplier avec un nombre réel et il faut avoir

à disposition une norme. Rappelons qu’une norme sur un espace vectorielE est une application k · k:E →IRqui vérifie les trois propriétés:

(N1) kxk ≥0 et kxk= 0⇔x= 0, (N2) kλxk=|λ| · kxk,

(N3) kx+yk ≤ kxk+kyk (in´egalit´e du triangle).

Un cas particulier important d’une norme est

kxk:=^qhx, xi, (2.1)

o`u h·,·i:E ×E →IR est un produit scalaire, c.-`a-d.,

(PS1) hx, xi ≥0 et hx, xi= 0⇔x= 0 (d´efinie positive), (PS2) hx, yi=hy, xi (sym´etrique),

(PS3) hλx₁+µx₂, yi=λhx₁, yi+µhx₂, yi (lin´eaire).

Comme pour la norme euclidienne dans IRⁿ on vérifie que k · k, donné par (2.1), satisfait les propriétés (N1), (N2), (N3) d’une norme (Exercice 3).

Dès qu’on a donné une norme sur E, on peut définir la convergence de suites (voir [HW95, IV.1]). On dit qu’une suite{x_n}à valeurs dansEconverge versa∈E, si

∀ε >0 ∃N ≥1 ∀n≥N kx_n−ak< ε. (2.2) Elle est une suite de Cauchy, si

∀ε >0 ∃N ≥1 ∀n, m≥N kxn−xmk< ε. (2.3) D´efinition 2.1 Un espace vectorielE muni d’une normek · ks’appelle espace vectoriel norm´e.

Il est complet si chaque suite de Cauchy dansE est convergente. Un espace vectoriel norm´e et complet s’appelle un espace de Banach.

Un espace de Banach, dont la norme est donn´ee par un produit scalaire, s’appelle un espace de Hilbert.

(7)

Le premier exemple d’un espace de Hilbert est l’espace IRⁿ avec comme norme la norme euclidienne. La complétude est une conséquence du Théorème IV.1.8 de [HW95]. Avec la norme kxk1 = ^Pⁿ_i=1|x_i| (ou kxk∞ = max_i|x_i|) l’espace IRⁿ n’est pas un espace de Hilbert (Exer- cice 4), mais il est un espace de Banach, car toutes les normes sont équivalentes dansIRⁿ([HW95, Théorème IV.2.4]).

Proposition 2.2 Soit C([0,1]) :={f : [0,1]→IR; f est continue}. Avec la norme kfk∞ = sup

t∈[0,1]|f(t)|, (2.4)

C([0,1])est un espace de Banach. Par contre, avec une des normes kfk1 =

Z ₁

0 |f(t)|dt ou kfk2 =

sZ ₁

0 |f(t)|²dt, (2.5) l’espaceC([0,1])n’est pas complet.

Remarque. La norme kfk² est d´efinie `a partir du produit scalairehf, gi = ^R₀¹f(t)g(t)dt, mais C([0,1])avec cette norme n’est pas un espace de Hilbert.

Démonstration. Comme dansIRⁿ, en remplaçant la somme finie par une intégrale, on vérifie que kfk1,kfk2 etkfk∞sont des normes surC([0,1]).

a) Soit{fn}ⁿ≥1une suite de Cauchy pour la normekfk∞. Alors, la propri´et´e

|fn(t)−fm(t)| ≤ kfn−fmk∞< ε pour n, m≥N (2.6) implique que {fn(t)}n≥1 est une suite de Cauchy dans IR. Comme IR est complet ([HW95, Théorème III.1.8]), la suite {fn(t)}n≥1 converge vers un élément de IR, qu’on dénote par f(t).

Il reste donc à démontrer que la fonctionf(t), définie de cette manière, est continue. En passant à la limitem→ ∞dans (2.6), nous obtenons

|fn(t)−f(t)| ≤ε pour n≥N,

oùN dépend de ε >0mais pas det∈ [0,1]. Alors, la suite{fn}converge uniformément versf, et la continuité def est une conséquence de [HW95, Théorème III.4.2].

b) Considérons la suite {fn}dansC([0,1]), oùfn(t) est linéaire par morceaux, 0sur [0,1/2−1/n] et1 sur [1/2 + 1/n,1](voir le dessin, n = 4,8,16). Pourm ≥ non a que kfn−fmk1 < 1/n etkfn−fmk2 < 1/√

n. La suite{fn} est alors une suite de Cauchy. Comme la fonction limitef(t) n’est pas continue sur[0,1], cette suite ne converge pas dans

C([0,1]). .5 1.0

.5 1.0

Proposition 2.3 Pour un ensemble arbitraireAconsid´erons l’espace

B(A) :={f :A→IR; fest born´ee} avec kfk∞ = sup

t∈A|f(t)|. (2.7) B(A)est un espace de Banach.

La démonstration de cette proposition est presque la même que pour la partie (a) de la Proposi- tion 2.2. Nous omettons les détails.

(8)

Toutes les notions et définitions des paragraphes IV.1 et IV.2 de [HW95] peuvent être étendues aux espaces de Banach:

• Deux normesk · kp etk · kq sont ´equivalentes, s’il existe des constantes positivesC₁ etC₂ pour lesquelles C1kxk^p ≤ kxk^q≤C2kxk^p pour tout x∈E.

• Une boule de centreaet de rayonrest l’ensemble Br(a) ={x∈E; kx−ak< r}.

• Un ensembleV ⊂Eest un voisinage dea∈E, s’il existe unε >0tel queBε(a)⊂V.

• Un ensemble U ⊂ E est ouvert, si U est voisinage de chacun de ses éléments, c.-à-d.,

∀x∈U ∃ε >0 Bε(x)⊂U.

• Un ensembleV ⊂E est ferm´e, si la limite de chaque suite convergente{xn}avecxn∈ V, est dansV.

• Un ensembleK ⊂Eest compact, si chaque suite{xn}avecxn ∈Kpossède une sous-suite qui converge vers un élément deK.

• SoientE etF deux espaces norm´es et U ⊂ E. Une fonctionf : U → F est continue en x0 ∈U si ∀ε >0 ∃δ >0 ∀x∈U : kx−x0k< δ kf(x)−f(x0)k< ε.

• Soient E un espace norm´e. L’application x 7→ kxk est continue (car |kxk − kx0k| ≤ kx−x₀k).

La majorité des résultats de [HW95, IV.1 et IV.2] reste vraie si l’on remplaceIRⁿet IR^m par des espaces de Banach. Neanmoins, il faut faire attention, car certaines propriétés sont perdues si la dimension de l’espace de Banach est infinie (comme c’est le cas pour les exemples des Proposi- tions 2.2 et 2.3). A l’aide de contre-exemples, nous démontrons que:

• La boule ferm´ee {x∈E; kxk ≤1} n’est pas forc´ement compacte.

• Deux normes dans le mˆeme espace ne sont pas toujours ´equivalentes.

• Le théorème de Bolzano-Weierstrass “chaque suite bornée possède une sous-suite conver- gente” n’est plus vrai.

• La caractérisation “K compact ⇔ Kfermé et borné ” n’est plus valable.

Considérons l’espace B(IR) de (2.7) et définissonsfn ∈ B(IR)par fn(t) = 1 sit ∈ [n, n+ 1) et par fn(t) = 0si t 6∈ [n, n+ 1). La suite {fn} est bornée (on a kfnk∞ ≤ 1) et elle satisfait kf_n −f_mk∞ = 1 pour n 6= m. Par conséquent, cette suite ne peut pas avoir une sous-suite convergente. Ce contre-exemple montre en même temps que la boule fermée n’est pas compacte, que le théorème de Bolzano-Weierstrass n’est pas vrai surB(IR), et que la caractérisation ci-dessus de la compacticité n’est pas valable.

La Proposition 2.2 montre que dans l’espace C([0,1]) les normeskfk∞ et kfk¹ ne sont pas

´equivalentes. Au cas contraire, la suite{fn} de la partie (b) de la d´emonstration serait aussi une suite de Cauchy pour la normek·k∞, ce qui impliquerait la convergence de{fn}vers une fonction continuef ∈ C([0,1]).

I.3 Applications lin´eaires

Les applications linéaires jouent un rôle important dans la définition (1.2) de la différentiabilité.

DansIRⁿ, elles sont toujours continues, même uniformement continues ([HW95, Théorème IV.2.6]).

Nous verrons dans ce paragraphe que ceci n’est pas toujours le cas si la dimension de l’espace vectoriel est infinie.

(9)

Proposition 3.1 Pour une application linéaire A : E → F (E et F sont des espaces vectoriels normés), les conditions suivantes sont équivalentes:

(a) Aest continue en tout point deE;

(b) Aest continue `a l’origine0∈E;

(c) kA(x)kest born´ee sur la boule-unit´e {x∈E; kxk ≤1}.

Démonstration. Il est clair que (a) ⇒ (b). Montrons que (b) ⇒ (c): la continuité de A(x) à l’origine implique que pourε= 1il existe unδ >0tel quekA(y)k ≤1pourkyk ≤δ. En utilisant la linéarité deA, on obtient alors

kA(x)k=A1

δδ x= 1

δ kA(δx)k ≤ 1

δ pour kxk ≤1.

On vient donc de prouver quekA(x)kest born´ee sur la boule-unit´e.

Pour démontrer (c)⇒(a), nous fixons arbitrairement unx0 ∈ Eet nous supposons quekA(x)k est bornée parM sur la boule-unité. Alors, on a pourx6=x₀

kA(x)−A(x0)k=kA(x−x0)k=kx−x0k ·A x−x0

kx−x0k

≤Mkx−x0k,

ce qui implique la continuit´e deAenx₀.

Surtout dans les espaces de dimension infinie, nous appelons une application linéaire aussi opérateur linéaire. Nous écrivons souvent Ax au lieu de A(x) et nous disons aussi application bornée pour une application continue (à cause de la propriété (c) dans la proposition précédente).

Une application linéaire Ade IRⁿ dans IR^m est représentée par une matrice, qu’on dénote par la même lettreA. L’expressionAxpeut donc être interprétée comme la valeur de l’applicationAau pointx, ou bien comme le produit de la matriceAavec le vecteurx.

Exemple 3.2 Il existe des opérateurs linéaires non-continus. Considérons l’espaceC([0,1])avec la normekfk¹de (2.5) et les fonctionsfn ∈ C([0,1])données parfn(t) =n−n²t/2sit∈[0,2/n]

et fn(t) = 0si t ≥ 2/n. L’application A : C([0,1]) → IRdéfinie par A(f) = f(0)est linéaire mais non-bornée, car|A(f_n)|=netkf_nk1 = 1pour toutn.

Définition 3.3 Soient E etF des espaces vectoriels normés. On dénote parL(E, F)l’ensemble des applications linéaires continues deE dansF. Pour un élémentA∈ L(E, F), on définit

kAk= sup

kxk≤1kAxk= sup

x6=0

kAxk

kxk . (3.1)

PourE =F, on ´ecrit aussiL(E) `a la place deL(E, E).

Cette d´efinition signifie quekAkest le plus petit nombre r´eel tel que

kAxk ≤ kAk · kxk pour tout x∈E. (3.2) L’inégalité (3.2) est fondamentale pour tous les calculs avec des applications linéaires.

Proposition 3.4 L’espaceL(E, F)muni de (3.1) est un espace vectoriel norm´e. SiF est complet, alorsL(E, F)est aussi complet.

(10)

Démonstration. Les propriétés (N1) et (N2) d’une norme sont faciles à vérifier. Démontrons (N3): pourA, B ∈ L(E, F)nous avons

k(A+B)xk ≤ kAxk+kBxk ≤(kAk+kBk)kxk.

En divisant cette relation parkxket en prenant le supremum, nous obtenons l’in´egalit´e du triangle kA+Bk ≤ kAk+kBk.

La démonstration de la complétude est similaire à celle de la partie (a) de la Proposition 2.2.

Soit{An}une suite de Cauchy dansL(E, F). Pourkxk ≤1on obtient

kAnx−Amxk ≤ kAn−Amk · kxk ≤ε· kxk ≤ε pour n, m≥N, (3.3) ce qui implique que {Anx} est une suite de Cauchy dansF. Cet espace étant complet, la suite {A_nx} possède une limite qu’on dénote par Ax. De cette manière, on obtient une application linéaireA:E →F. En passant à la limitem → ∞dans (3.3) et en divisant parkxk, on voit que An−A(et alors aussiA) est bornée et queAest la limite de{An}.

Proposition 3.5 Soit I ∈ L(E) l’identité (c.-à-d., Ix = x) et considérons des applications linéairesA∈ L(E, F)etB ∈ L(G, E). Alors, on a

kIk= 1, kABk ≤ kAk · kBk. (3.4) Démonstration. La propriétékIk = 1est évidente. Pour démontrer l’estimation dekABk, nous appliquons deux fois l’inégalité fondamentale (3.2),

k(AB)xk ≤ kAk · kBxk ≤ kAk · kBk · kxk.

Ensuite, nous divisons cette relation parkxket nous prenons le supremum surx6= 0.

Exemple 3.6 SoitAune matricem×n, c.-`a-d.,A∈ L(IRⁿ, IR^m), et notons par kAkp = sup

x6=0

kAxkp

kxk^p (3.5)

l’expression (3.1) si l’on utilise la mˆeme norme dans les deux espacesIRⁿetIR^m. Alors, on a les formules explicites

kAk1 = max

j=1,...,n

Xm

i=1

|aij|

, kAk∞ = max

i=1,...,m

Xn

j=1

|aij|

, kAk2 = ^qplus grande valeur propre deA^TA.

D´emonstration. Pour la normekxk¹, on a kAxk1 =

Xm i=1

Xn j=1

a_ijx_j≤

Xm i=1

Xn j=1

|a_ij| · |x_j|=

Xn j=1

Xm

i=1

|a_ij|

|x_j| ≤ max

j=1,...,n

Xm

i=1

|a_ij|

· kxk1.

On en déduit quekAk1 ≤max_j(^P_i|a_ij|). Pour montrer l’égalité, on choisit unj₀avecmax_j(^P_i|a_ij|) =

P

i|aij0|et on posex = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0)^T, où1est à la positionj0. Avec ce choix de x, on a égalité dans l’estimation ci-dessus, ce qui démontre que kAk1 ne peut pas être plus petit que max_j(^P_i|a_ij|). La formule pour la normekxk∞se démontre de la même manière.

(11)

La matriceA^TA étant symétrique et semi-définie positive (x^TA^TAx = kAxk²2 ≥ 0), il existe une matrice orthogonale U (U^TU = I) telle que U^TA^TA U = diag(λ1, . . . , λn), où λi ≥ 0 sont les valeurs propres deA^TA. On obtient alors avec la transformationx = Uy et en utilisant kxk² =kyk²que

kAxk²2 =x^TA^TAx=y^TU^TA^TA Uy =

Xn i=1

λi|yi|² ≤λmaxkyk²2 =λmaxkxk²2. Ceci impliquekAk2 ≤ √

λmax. Pour montrer l’égalité, on posex égal au vecteur propre deA^TA qui correspond à la valeur propreλmax.

Exemple 3.7 Pour la matrice

A=





4 3

−2 5 4 1



 on a

kAk¹ = max (10,9) = 10 kAk² =. . .=^q(71 +√

145)/2≈6.4437 kAk∞= max (7,7,5) = 7.

Exemple 3.8 Soitk : [0,1]×[0,1]→ IRune fonction continue à deux variables. Nous considérons l’opérateur linéaireA:C([0,1])→ C([0,1]), défini par

(Af)(t) =

Z ₁

0 k(t, s)f(s)ds, (3.6)

et les normes de la Proposition 2.2. Avec la notation (3.5) nous avons kAk¹ = max

s∈[0,1]

Z ₁

0 |k(t, s)|dt, kAk∞ = max

t∈[0,1]

Z ₁

0 |k(t, s)|ds, kAk² ≤

sZ 1 0

Z 1

0 |k(t, s)|²ds dt.

Les formules pour kAk¹ et kAk∞ sont obtenues comme dans l’Exemple 3.6, l’estimation pour kAk2 comme dans [HW95, Th´eor`eme IV.2.6].

Proposition 3.9 SoitE un espace de Banach et supposons que l’op´erateurA ∈ L(E)satisfasse kAk<1. Alors,I−Aest inversible,(I−A)⁻¹est continue, et on a

(I −A)⁻¹ =I+A+A²+A³+. . . (3.7) (série géométrique ou “série de Neumann”).

D´emonstration. Montrons d’abord queA_n := I +A+A² +. . .+Aⁿest une suite de Cauchy dansL(E). En utilisantkAⁿk ≤ kAkⁿ, on obtient pourm > nque

kAn−Amk=kAⁿ⁺¹+. . .+A^mk ≤ kAⁿ⁺¹k+. . .+kA^mk ≤ kAkⁿ⁺¹+. . .+kAk^m ≤ kAkⁿ⁺¹ 1− kAk (observons que kAkⁿ⁺¹ → 0sin → ∞). CommeL(E) est complet (voir la Proposition 3.4), la suite{An}converge vers unB ∈ L(E). En passant à la limiten → ∞dans l’identitéAn(I−A) = (I−A)An =I−Aⁿ⁺¹, nous obtenonsB(I−A) = (I−A)B =I, ce qui démontre l’inversibilité deI −Aet la formule (3.7).

(12)

I.4 Différentiabilité dans les espaces normés

Nous donnons maintenant une généralisation directe de la définition (1.2).

Définition 4.1 Soient E, F deux espaces vectoriels normés etU ⊂ E un ouvert. On dit que f : U → F est différentiable ena ∈ U s’il existe une application linéaire continuef^′(a) ∈ L(E, F) telle que

f(x) =f(a) +f^′(a)(x−a) +r(x)kx−ak, (4.1) o`u la fonctionr :U →F satisfaitr(x)→0pourx→a.¹

Par rapport à la définition usuelle dansIRⁿ, on demande en plus que l’application linéairef^′(a) soit continue. Ceci est important, car sinon une fonction différentiable pourrait ne pas être continue (voir les exemples ci-dessous).

Sif : E → F est linéaire et continue, on a f^′(a) = f quel que soit a ∈ E. Une application linéaire non-bornée n’est pas différentiable (e.g., l’opérateur de l’Exemple 3.2).

Exemple 4.2 SoientE =IR³,F =IR² etf :E →F donn´ee par f(x) = f1(x1, x2, x3)

f₂(x₁, x₂, x₃)

!

= x²₁+x²₂ +x²₃ x₁x₂x₃

!

.

Sa dérivée au pointa = (a1, a2, a3)^T est l’application linéairef^′(a) ∈ L(IR³, IR²)définie par la matrice

f^′(a) = 2a₁ 2a₂ 2a₃ a2a3 a1a3 a1a2

!

.

On vérifie aisément que l’application r(x)de (4.1) satisfait r(x) → 0six → a. Comme toutes les normes sont équivalentes surIRⁿ, il ne faut pas préciser la norme avec laquelle on travaille. De plus, une application linéaire deIRⁿdansIR^mest automatiquement continue.

Exemple 4.3 Considérons l’espaceC([0,1])avec la normek · k∞, notons ses éléments parx(t)ou a(t), et étudions l’applicationf :C([0,1])→ C([0,1]),

f(x)(t) =

Z ₁

0 k(t, s)g(x(s))ds, (4.2)

oùk : [0,1]×[0,1] →IRest continue etg : IR→ IRest2fois continûment différentiable. Pour une fonctiona∈ C([0,1])donnée, cherchons la dérivéef^′(a). Avech∈ C([0,1])on a

f(a+h)−f(a)(t) =

Z ₁

0 k(t, s)g(a(s) +h(s))−g(a(s))ds

=

Z ₁

0 k(t, s)g^′(a(s)) + 1

2g^′′(α(s))h(s)h(s)ds,

où α(s) est une valeur entre a(s) et a(s) + h(s). Ce calcul montre que l’application linéaire f^′(a) :C([0,1])→ C([0,1]), définie par

f^′(a)h(t) :=

Z ₁

0 k(t, s)g^′(a(s))h(s)ds,

est un bon candidat pour la dérivée de f. Cette application est continue (voir Exemple 3.8). De plus, le restekf(a+h)−f(a)−f^′(a)hk∞peut être estimé parConstkhk²_∞, carg^′′(x)est bornée dans l’intervalle contenanta(s)eta(s) +h(s)pour touts ∈[0,1]et pour toutehaveckhk∞≤1.

Ceci démontre que la fonction non-linéaire (4.2) est différentiable ena.

1Il est possible d’étendre la caractérisation de Carathéodory [HW95, Lemma IV.3.5], mais elle nécessite la con- naissance du Théorème de Hahn-Banach de l’analyse fonctionelle.

(13)

Définition 4.4 Une applicationA:E →F (oùE etF sont des espaces vectoriels normés) est un isomorphisme, siAest linéaire, bijective, continue et si l’inverseA⁻¹ est continu.² On dénote

GL(E, F) := {A∈ L(E, F) ; Aest un isomorphisme}. (4.3) PourE =F, on ´ecrit aussiGL(E)`a la place deGL(E, E).³

Lemme 4.5 SiEetF sont des espaces de Banach, l’ensembleGL(E, F)est ouvert dansL(E, F).

D´emonstration. PourA∈GL(E, F)l’applicationA+H est un isomorphisme pour toutHavec kHk ≤ 1/kA⁻¹k. Ceci d´ecoule deA+H =A(I +A⁻¹H), dekA⁻¹Hk ≤ kA⁻¹k kHk <1, et de la Proposition 3.9.

Exemple 4.6 Considérons l’applicationf(X) = X⁻¹ deGL(E)dansL(E)(oùE est un espace de Banach). Avec la série de Neumann (Proposition 3.9) nous obtenons

(A+H)⁻¹ = (I+A⁻¹H)⁻¹A⁻¹ =A⁻¹−A⁻¹HA⁻¹+^X

j≥2

(−A⁻¹H)^jA⁻¹, dont la partie lin´eaire est

f^′(A)H =−A⁻¹HA⁻¹. (4.4)

La continuité def^′(A)est une conséquence dekf^′(A)Hk ≤ kA⁻¹k²kHk(en utilisant la Proposi- tion 3.1). Le reste^P_j_≥₂(−A⁻¹H)^jA⁻¹peut être estimé parkHk²kA⁻¹k³/(1− kA⁻¹Hk). Divisé parkHk, il tend vers0sikHk → 0. Ceci démontre la différentiabilité def(X) =X⁻¹ ainsi que la formule (4.4).

Pour deux espaces vectorielsE1, E2de normes respectivesk · k1,k · k2, consid´erons le produit cart´esienE1×E2. Si on le munit de la norme

k(x₁, x₂)k:=kx₁k1+kx₂k2, (4.5) on obtient un espace vectoriel norm´e. C’est un espace de Banach si les espacesE1etE2 sont des espaces de Banach.

Exemple 4.7 SoitB :E1×E2 →F une application bilinéaire bornée, c.-à-d., elle satisfait kB(x₁, x₂)k ≤Mkx₁k1kx₂k2 pour tout (x₁, x₂)∈E₁ ×E₂. (4.6) Une telle application est différentiable et sa dérivée est donnée par

B^′(a1, a2)(h1, h2) =B(a1, h2) +B(h1, a2). (4.7) La continuité deB^′(a1, a2) résulte de kB^′(a1, a2)(h1, h2)k ≤ M(ka1k¹kh2k² +kh1k¹ka2k²) ≤ Mmax(ka1k¹,ka2k²)k(h1, h2)k. La différentiabilité deB est alors une conséquence de

B(a1+h1, a2+h2)−B(a1, a2)−B^′(a1, a2)(h1, h2) =B(h1, h2), carkB(h₁, h₂)k ≤Mkh₁k1kh₂k2 ≤M(kh₁k1+kh₂k2)²/4 =Mk(h₁, h₂)k²/4.

2La continuité deA⁻¹est une conséquence des hypothèses surA. La démonstration de ce résultat est difficile et utilise le “théorème sur les applications ouvertes” (analyse fonctionnelle).

3GLest une abr´eviation pour “general linear group”.

(14)

Résumons quelques règles du calcul différentiel:

• Linéarité de la dérivée. Soientf, gdeux applicationsU →F (Uun ouvert deE) différentiables ena ∈U, et soitλ∈IR. Alors, on a

(f +g)^′(a) =f^′(a) +g^′(a), (λf)^′(a) =λf^′(a). (4.8)

• Dérivée d’une fonction composée. Soient E, F, G trois espaces vectoriels normés, soit U un ouvert de E, et soit V un ouvert de F. On considère deux applications, f : U → F différentiable en a ∈ U et g : V → G différentiable en b = f(a) ∈ V (on suppose f(U)⊂V). Alors,g◦f est différentiable et on a

(g◦f)^′(a) =g^′(f(a))◦f^′(a). (4.9)

• Formule de Leibniz. Soient E, F1, F2, Gdes espaces vectoriels normés, U un ouvert deE, f : U →F₁ etg : U →F₂ des applications différentiables ena∈ U, etB :F₁×F₂ → G une application bilinéaire bornée (c.-à-d., elle satisfait (4.6)). Alors, la fonction p(x) :=

B(f(x), g(x))est diff´erentiable enaet on a

p^′(a)h=B(f(a), g^′(a)h) +B(f^′(a)h, g(a)). (4.10) La démonstration de (4.8) est triviale et celle de (4.9) est la même que pour des fonctions dansIRⁿ. La formule (4.10) est une conséquence de (4.7) et de (4.9), carp=B◦doùd:U →F1×F2 est donnée par

d(x) = (f(x), g(x)) avec pour d´eriv´ee d^′(x)h= (f^′(x)h, g^′(x)h).

I.5 Th´eor`eme des accroissements finis

La terminologie des ¡¡accroissements finis¿¿ s’explique par des raisons his- toriques: la notion d’accroissements ¡¡finis¿¿ s’oppose `a celle d’accroissements

¡¡infinit´esimaux¿¿. . . (H. Cartan 1967)

Pour une fonctionf : [a, b] → IR, le théorème des accroissements finis (ou théorème de Lagrange) affirme qu’il existe un ξ ∈(a, b)tel que

f(b)−f(a) =f^′(ξ)(b−a),

sif est continue sur[a, b]et différentiable sur(a, b). ââ ^b^b f (a)

f (a)

f (b) f (b)

Pour une fonctionf : [a, b]→ IR^m, l’affirmation sous cette forme n’est plus vraie. Un contre- exemple (déjà donné dans [HW95, IV.3]) est la fonctionf(x) = (f1(x), f2(x))^T oùf1(x) = cosx, f2(x) = sinx, et[a, b] = [0,2π]. On a quef(a) = f(b), mais il n’y existe pas deξavecf^′(ξ) = 0.

Par contre, on voit que l’in´egalit´ekf(b)−f(a)k ≤ kf^′(ξ)k · kb−akreste vraie dans cet exemple.

Dans un premier théorème, nous considérons des fonctionsf : [a, b] →F oùF est un espace vectoriel normé. La démonstration va être différente de celle de [HW95, Théorème IV.3.7], car nous n’avons pas de produit scalaire à disposition dansF. Ensuite, nous étendons le résultat à des fonctionsf :U →F, oùU ⊂E, etEest un autre espace vectoriel normé.

Lemme 5.1 Soienta < bdeux réels,F un espace vectoriel normé,f : [a, b]→F etg : [a, b]→IR deux applications continues sur[a, b]et différentiables sur(a, b). Supposons que kf^′(t)k ≤ g^′(t) poura < t < b. Alors,

kf(b)−f(a)k ≤g(b)−g(a).

(15)

Démonstration. Pour unε >0donné, considérons l’inégalité

kf(t)−f(a)k ≤g(t)−g(a) +ε(t−a) +ε. (5.1) Elle est satisfaite pour t = a et aussi, par continuit´e def etg, dans un voisinage de a. Donc, le supr´emum

c:= sup{t∈[a, b] ; (5.1) est satisfaite} existe et on a quec > a.

Montrons que l’inégalité (5.1) est satisfaite pourc. Par définition du suprémum, il existe une suite{t_n},t_n→c, telle quekf(t_n)−f(a)k ≤g(t_n)−g(a) +ε(t_n−a) +ε. En passant à la limite n→ ∞, la continuité def etgmontre l’inégalité (5.1) pourt=c.

Supposons quec < b. La diff´erentiabilit´e def etg au pointcimplique qu’il existe unη > 0 tel que

kf(t)−f(c)k ≤ kf^′(c)k(t−c) + ε

2(t−c) g(t)−g(c) ≥ g^′(c)(t−c)− ε

2(t−c) pour toutt∈[c, c+η]. L’hypoth`esekf^′(c)k ≤g^′(c)implique alors que

kf(t)−f(c)k ≤g^′(c)(t−c) + ε

2(t−c)≤g(t)−g(c) +ε(t−c).

Ceci, en plus de l’in´egalit´e (5.1) pourt =c, implique que

kf(t)−f(a)k ≤ kf(t)−f(c)k+kf(c)−f(a)k

≤ g(t)−g(c) +ε(t−c) +g(c)−g(a) +ε(c−a) +ε

= g(t)−g(a) +ε(t−a) +ε

pour toutt∈[c, c+η], ce qui contredit la définition dec. Alors, on ac=b. Si l’on laisse tendreε vers0dans (5.1) avect =b, on obtient l’affirmation du théorème.

Considérons maintenant la situation où f est définie sur un ouvert U d’un espace vectoriel norméE, qui n’est plus nécessairementIR. Poura, b∈E, on appelle segment d’extrémitésaetb l’ensemble des pointsx∈Ede la formex=a+t(b−a)avec0≤t ≤1.

Théorème 5.2 (Théorème des accroissements finis) Soient E, F des espaces vecto- riels normés et U ⊂ E un ouvert. Si f : U → F est différentiable dans U, et si le segment d’extrémitésaetbest contenu dansU, on a

kf(b)−f(a)k ≤ sup

0<t<1kf^′(a+t(b−a))k · kb−ak. (5.2) D´emonstration. L’applicationh(t) :=f(a+t(b−a))est une application diff´erentiable de[0,1]

dansF et on ah^′(t) =f^′(a+t(b−a))(b−a), donc

kh^′(t)k ≤ kf^′(a+t(b−a))k k(b−a)k.

Il suffit alors d’appliquer le Lemme 5.1, en remplac¸antapar0,bpar1,f parh, etg(t)parMto`u M = sup0<s<1kf^′(a+s(b−a))k kb−ak.

(16)

On dit qu’un sous-ensembleDd’un espace vectoriel est convexe si, quels que soienta, b∈D, le segment{a+t(b−a) ; t∈[0,1]}est dansD.

Corollaire 5.3 Soient E, F des espaces vectoriels norm´es, U ⊂ E un ouvert, f : U → F diff´erentiable dansU, etD⊂U un ensemble convexe. Alors,

kf(x)−f(y)k ≤sup

z∈Dkf^′(z)k · kx−yk pour x, y ∈D.

Démonstration. Conséquence immédiate du Théorème 5.2.

Un ouvert U d’un espace vectoriel normé est dit connexe, si deux points quelconques de U peuvent être joints par une ligne brisée dansU. Rappelons qu’une ligne brisée est l’union finie de segments∪^mi=1{ai−1+t(ai−ai−1) ; t∈[0,1]}.

Corollaire 5.4 SoientE, F des espaces vectoriels norm´es, U un ouvert connexe, etf : U → F une application diff´erentiable dansU. Sif^′(x) = 0pour toutx∈U, alorsf est constante.

Démonstration. Fixonsa ∈ U et prenonsx ∈ U arbitraire. CommeU est connexe, il existe une suite finie a = a₀, a₁, . . . , a_m = x telle que les segments{a_i₋₁ +t(a_i −a_i₋₁) ;t ∈ [0,1]} sont dansU. Le Théorème 5.2 implique alors que

kf(ai)−f(ai−1)k ≤ sup

0<t<1kf^′(ai−1+t(ai−ai−1))k · kai−ai−1k= 0.

Donc,f(ai) =f(ai−1)et par cons´equent aussif(x) =f(a).

I.6 Th´eor`eme du point fixe de Banach

Considérons le problème de résoudre une équation non linéaire dans un espace de Banach. Pour des fonctionsf etg deE dansE, le problème peut être formulé de la manière suivante:

• g(x) = 0, on cherche un z´ero deg, ou

• f(x) =x, on cherche un point fixe def.

En posant f(x) = x+ g(x) ou f(x) = x +Ag(x) avec A ∈ GL(E), on peut passer d’une formulation à l’autre. Le théorème suivant donne une condition suffisante pour l’existence et l’unicité d’une solution à ce problème.

Théorème 6.1 (Théorème du point fixe de Banach, 1922) Soient E un espace de Banach,D⊂E fermé, etf :D→Eune application satisfaisant

(a) f(D)⊂D,

(b) f est une contraction surD, c.-`a-d., il existe unα <1tel que

kf(x)−f(y)k ≤αkx−yk pour x, y ∈ D. (6.1) Alors,f poss`ede un unique point fixe dansD.

(17)

Remarques. La condition (6.1) implique quef est uniformément continue surD. Inversément, sif est différentiable dans un voisinage deD, siDest convexe, et sisup_x_∈_Dkf^′(x)k<1, alorsf est une contraction. Ceci est une conséquence du Corollaire 5.3.

Démonstration. Unicité. Soient x et y deux points fixes, c.-à-d., f(x) = x et f(y) = y. La contractivité implique que

kx−yk=kf(x)−f(y)k ≤αkx−yk avecα <1, ce qui est possible seulement six=y.

Existence. Prenonsx0 ∈ Darbitraire et considérons l’itérationxn+1 = f(xn). L’hypothèse f(D) ⊂ Dimplique quexn ∈ Dpour tout n ≥ 0. Montrons que {xn}est une suite de Cauchy.

On a que kxn+1−xnk = kf(xn)−f(xn−1)k ≤ αkxn−xn−1k et, en appliquant cette inégalité itérativement, on obtient que

kx_n+1−x_nk ≤αⁿkx₁−x₀k. Pourm ≥non en d´eduit que

kxm−xnk ≤ kxm−xm−1k+kxm−1−xm−2k+. . .+kxn+1−xnk

≤ α^m⁻¹ +α^m⁻²+. . .+αⁿkx₁−x₀k ≤ αⁿ

1−αkx₁−x₀k.

Alors, {x_n}est une suite de Cauchy (observons que αⁿ → 0). Comme l’espaceE est complet, cette suite converge vers unx∈ E. La limitexest dansD, carDest fermé. En prenant la limite n→ ∞dansxn+1 =f(xn)et en utilisant la continuité def, on obtientx=f(x), c.-à-d.,xest un point fixe def.

La démonstration du théorème du point fixe de Banach est constructive et nous conduit à l’algorithme suivant.

Méthode des approximations successives Pour résoudre un problèmex=f(x)dans un espace de Banach, cette méthode est définie par:

• on choisitx0arbitrairement,

• on applique l’it´erationxn+1 =f(xn).

Sous les hypothèses du théorème, cet algorithme converge vers la solution unique du problème.

Souvent, les hypothèses sont difficiles à vérifier, mais on peut quand même appliquer cet algorithme. Si on a convergence, on est sûr d’avoir trouvé une solution (sif est continue). Elle n’est pas nécessairement unique.

Exemple 6.2 Prenons la fonctionf(x) = cosxsurD= [0,1]. Cette fonction est une contraction, car|f^′(x)| =|sinx| ≤sin 1 <1pourx∈ D. Un autre exemple est la fonctionf(x) = e^x/4sur D = [0,1.1]. Pour cette fonction on a |f^′(x)| = e^x/4 ≤ e^1.1/4 < 1sur D. Les it´erations sont illustr´ees dans la Fig. 6.1.

Exemple 6.3 Considérons le système de deux équations non linéaires à deux inconnues x= 2 + (x²+y²)/20, y= 1−xy³/10.

(18)

.5 1.0

x₀ x₂ x₃ x₁

.5 1.0

x₀ x₁ x₂ x₃

Figure 6.1: Méthode des approximations successives pourf(x) = cosxetf(x) =e^x/4 Sans vérifier les hypothèses du théorème du point fixe de Banach, appliquons la méthode itérative avec comme valeurs initialesx0 = 2, y0 = 1. On obtient alors

x1 = 2.2500000, y1 = 0.8000000, x2 = 2.2851250, y2 = 0.8848000, x3 = 2.3002333, y3 = 0.8417129, x4 = 2.2999777, y4 = 0.8628284,

et on observe la convergence vers la solutionx= 2.3014505,y = 0.8557662du syst`eme.

Exemple 6.4 Considérons l’espace de Banach C([0,1]) avec la norme k · k∞, et le problème à point fixe

y(t) =f(t) +λ

Z 1

0 k(t, s)y(s)ds, (6.2)

o`uf etk sont donn´ees etλest tel que |λ| ·max0≤t≤1R1

0 |k(t, s)|ds < 1 (voir l’Exemple 3.8). La méthode des approximations successives s’écrit comme suit: on prend une approximation initiale, par exempley₀(t) =f(t), et on itère selon

yn+1(t) =f(t) +λ

Z ₁

0 k(t, s)yn(s)ds.

La suite{yn(t)}converge vers la solution unique de (6.2).

Considérons maintenant le problème de résoudre f(x) = ypour un vecteur donnéy, et cherchons des résultats sur l’existence et l’unicité (locale) d’une solution, c.-à-d., nous cherchons des résultats sur la bijectivité de la fonctionf. De plus, on aimerait savoir si la solution dépend con- tinûment du paramètrey. Ceci est résumé dans la définition suivante.

Définition 6.5 Soient E, F des espaces vectoriels normés, U ⊂ E et V ⊂ F. Une application f : U → V est un homéomorphisme de U sur V, si f est bijective, continue, et si l’inverse f⁻¹ :V →U est continue.

Méthode de Newton simplifiée Supposonsf(a) = bet considérons le problèmef(x) = ypour unydonné proche deb. Soitx₀ une approximation de la solution cherchée (par exemplex₀ =a).

L’idée est de linéariser le problème autour dex0 et de résoudre le problème linéarisé pour obtenir une meilleure approximationx1:

f(x0) +f^′(x0)(x1−x0) =y ou x1 =x0−f^′(x0)⁻¹(f(x0)−y).

En itérant cette procédure, on obtient la méthode de Newton x_n+1=x_n−f^′(x_n)⁻¹(f(x_n)−y)

(19)

(voir Fig. 6.2). Elle peut être interpre´tée comme la méthode des approximations successives ap- pliquée àx=g(x)oùg(x) =x−f^′(x)⁻¹(f(x)−y).

En pratique, on remplace souvent la dérivéef^′(x_n)par une approximationAqui ne dépend pas dexn. Ceci simplifie et le calcul numérique et la théorie (étude de convergence, voir le théorème suivant). Nous considérons alors la méthode de Newton simplifiée, qui s’écrit commexn+1 =g(xn) où

g(x) :=x−A⁻¹(f(x)−y). (6.3)

.5 1.0

x₀ x₁

x₂

.5 1.0

x₀ x₁

x₂

Figure 6.2: Méthode de Newton (gauche) et méthode de Newton simplifiée (droite) Proposition 6.6 SoientEetF des espaces de Banach,B :={x∈E;kx−ak ≤ρ},A:E →F un isomorphisme, et supposons quef :B →F satisfasse

kx−z−A⁻¹(f(x)−f(z))k ≤αkx−zk pour x, z∈B (6.4) avecα <1. Alors, on a

• f est un hom´eomorphisme deB surf(B),

• avecσ :=ρ(1−α)/kA⁻¹kon a {y∈F ; ky−f(a)k ≤σ} ⊂f(B),

• poury ∈ F satisfaisantky−f(a)k ≤ σ, l’itération x0 = a, xn+1 = g(xn) (méthode de Newton sim- plifiée) converge vers la solution def(x) =y.

6 f(a)

σ f(B)

Démonstration. a) L’applicationg(x)de (6.3) est une contraction surB par notre hypothèse. La continuité def(x)est donc une conséquence de

kf(x)−f(z)k=kA(x−z)−A(g(x)−g(z))k ≤ kAk(1 +α)kx−zk.

De la d´efinition deg(x), nous d´eduisons x−z =g(x)−g(z)+A⁻¹(f(x)−f(z)) et nous obtenons l’estimation kx−zk ≤αkx−zk+kA⁻¹k kf(x)−f(z)k. On a donc

kx−zk ≤ kA⁻¹k

1−α kf(x)−f(z)k pour x, z∈B. (6.5)

La fonction f : B → f(B) est surjective par définition. La propriété (6.5) démontre qu’elle est injective et donc aussi bijective. En posantu=f(x)etv =f(z)dans (6.5), on obtient

kf⁻¹(u)−f⁻¹(v)k ≤ kA⁻¹k

1−α ku−vk, (6.6)

ce qui d´emontre la continuit´e def⁻¹surf(B).

b) Consid´erons maintenant uny ∈ F avec ky−f(a)k ≤ σ. Montrons que g(B) ⊂ B. Ceci d´ecoule de g(x)−a =g(x)−g(a) +g(a)−a=g(x)−g(a)−A⁻¹(f(a)−y), car

kg(x)−ak ≤αkx−ak+kA⁻¹k · kf(a)−yk ≤αρ+kA⁻¹kσ =ρ

pourx∈B. CommeB est fermé, on peut appliquer le théorème du point fixe de Banach. Pour un telyil existe donc unx∈B satisfaisantg(x) =x, c.-à-d.,f(x) =y.

(20)

Si f(x)est différentiable en a (le centre de la boule B), il est naturel de choisir A = f^′(a) pourvu que cette application soit un isomorphisme. Mais la différentiabilité au pointane garantit pas que l’estimation (6.4) soit vérifiée avec unα <1. Nous considérons alors une condition plus forte que la différentiabilité.

Définition 6.7 Soient E, F des espaces vectoriels normés, U ⊂ E un ouvert et a ∈ U. On dit que f : U → F est strictement différentiable en a s’il existe une application linéaire continue A:E →F telle que

f(x)−f(z) =A(x−z) +r(x, z)kx−zk, (6.7) o`u la fonctionr :U ×U →F satisfaitr(x, z)→0si(x, z)→(a, a).

En posantz =adans (6.7) on retrouve (4.1) avecA=f^′(a). Ainsi “strictement différentiable ena” entraˆıne “différentiable ena”, ce qui est heureux pour la terminologie choisie. On voit aussi de (6.7) qu’une fonction strictement différentiable enaest continue dans tout un voisinage dea.

Exemple 6.8 Il existe des fonctions qui sont différentiables ena, mais pas strictement différentiables ena. On peut prendre une fonction qui est différentiable en a, mais qui n’est continue dans au- cun voisinage de a (exemple 5 de [HW95, III.6]). Un autre exemple est la fonction f(x) = x²cos(1/x)ena = 0. Les suitesxn = (2nπ)⁻¹ etzn = ((2n+ 1)π)⁻¹ convergent vers 0, mais (f(x_n)−f(z_n))/(x_n−z_n) = (x²_n+z_n²)/(x_n−z_n)ne converge pas versf^′(0) = 0sin→ ∞. Proposition 6.9 Soient E, F des espaces vectoriels normés, U ⊂ E un ouvert et a ∈ U. Si f :U →F est différentiable dansU et si l’applicationf^′ :U → L(E, F)est continue au pointa, alorsf est strictement différentiable au pointa.

Démonstration. Appliquons le théorème des accroissements finis à g(x) := f(x) −f^′(a)x.

Comme la d´eriv´ee deg(x)estg^′(x) =f^′(x)−f^′(a), on a kf(x)−f(z)−f^′(a)(x−z)k ≤ sup

0<t<1kf^′(z+t(x−z))−f^′(a)k · kx−zk.

La continuit´e def^′(x)au pointaimplique que l’expressionsup0<t<1kf^′(z+t(x−z))−f^′(a)k tend vers0si(x, z)→(a, a).

Exemple 6.10 Reprenons la fonctionf(X) =X⁻¹de l’Exemple 4.6, pour laquelle la dérivée est f^′(X)H =−X⁻¹HX⁻¹. Montrons que cette fonction est strictement différentiable dansGL(E).

Commef(X)est continue enA ∈ GL(E), on a que pour toutε > 0 il existe unδ > 0tel que kX⁻¹−A⁻¹k< εsikX−Ak< δ. En ´ecrivant

f^′(X)H−f^′(A)H =−X⁻¹HX⁻¹+A⁻¹HA⁻¹ =−X⁻¹H(X⁻¹−A⁻¹)−(X⁻¹−A⁻¹)HA⁻¹, on obtient k(f^′(X)−f^′(A))Hk ≤ ε(kX⁻¹k+kA⁻¹k)kHk. On en d´eduit kf^′(X)−f^′(A)k ≤ ε(kX⁻¹k+kA⁻¹k)et donc la continuit´e def^′(X)au point A. Ceci nous permet d’appliquer la Proposition 6.9.

Pour toutes les fonctions des exemples du paragraphe I.4, on peut démontrer sans difficulté que f^′(x), considérée comme fonction de x, est continue. Alors, la Proposition 6.9 implique qu’elles sont strictement différentiables.

(21)

I.7 Th´eor`eme d’inversion locale

Nous poursuivons l’étude de la résolution d’équations non linéairesf(x) = 0(ouf(x) = y pour unydonné) dans un espace de Banach.

Exemple 7.1 Considérons le système non linéaire

x²₁ +x³₂−3x₁ =y₁, x⁴₁−x²₁x₂+ 2 =y₂. (7.1) Pour(x1, x2) = (1,2)on obtient(y1, y2) = (6,1). La question `a laquelle on aimerait trouver une r´eponse est la suivante: pour(y₁, y₂)proche de(6,1), existe-t-il une solution(x₁, x₂)de (7.1) qui est proche de(1,2)? Est-elle localement unique?

Nous disons qu’une applicationf : U → F (où E, F sont des espaces vectoriels normés et U ⊂Eest un ouvert) est un homéomorphisme local près dea∈U, s’il existe un voisinage ouvert U^′ ⊂U deaet un voisinage ouvertV^′def(a)tels que la restrictionf|U^′ est un homéomorphisme deU^′ surV^′ (voir la Définition 6.5).

Lemme 7.2 Soient E, F des espaces de Banach, U ⊂ E un ouvert et a ∈ U. Sif : U → F est strictement différentiable en a et si f^′(a) est un isomorphisme de E sur F, alors f est un homéomorphisme local près dea. De plus, l’application inversef⁻¹est strictement différentiable enb =f(a)et on a

(f⁻¹)^′(b) =f^′(a)⁻¹. (7.2) Démonstration. L’idée est d’appliquer la Proposition 6.6 avec A = f^′(a). La fonction f est strictement différentiable ena. Ceci signifie que pour toutε >0il existe unδ >0tel que

kf(x)−f(z)−f^′(a)(x−z)k ≤εkx−zk pour x, z ∈B, (7.3) o`uB ={x∈E; kx−ak ≤δ}. Alors, on a aussi

kx−z−f^′(a)⁻¹(f(x)−f(z))k ≤εkf^′(a)⁻¹k · kx−zk pour x, z ∈B. (7.4) On fixeε > 0 tel que εkf^′(a)⁻¹k ≤ 1/2. Pour le δ correspondant, f est un homéomorphisme de B sur f(B) (Proposition 6.6) et f(B) contient l’ouvert V^′ = {y ∈ F; ky −bk < σ} où σ :=δ/(2kf^′(a)⁻¹k). Donc,f est aussi un homéomorphisme de l’ouvertU^′ :=f⁻¹(V^′)surV^′.

Pour montrer que f⁻¹ est strictement diff´erentiable en b = f(a), nous posonsx = f⁻¹(u)et z =f⁻¹(v)dans (7.4). Ceci donne pouru, v ∈V^′ que

kf⁻¹(u)−f⁻¹(v)−f^′(a)⁻¹(u−v)k ≤εkf^′(a)⁻¹k · kf⁻¹(u)−f⁻¹(v)k ≤2εkf^′(a)⁻¹k²ku−vk (ici on a utilisé l’estimation (6.6) avec A = f^′(a) et α = 1/2). Donc f⁻¹ est strictement différentiable enbet la dérivée est donnée par (7.2).

Exemple 7.3 Pour le probl`eme de l’Exemple 7.1 nous avons f^′(a) = 2a₁−3 3a²₂

4a³₁−2a1a2 −a²₁

!

= −1 12 0 −1

!

.

Pour la norme euclidienne, on calculekf^′(a)⁻¹k ≈12.1. Si l’on poseε= 0.04, on peut trouver un δ >0tel que (7.3) est vérifié. Pour touty∈IR²avecky−bk ≤2δ/12.1le système (7.1) possède alors une solutionxqui satisfait kx−ak ≤ δ. Dans cette boule de rayon δ, il n’y a pas d’autre solution. De plus, la démonstration du Lemme 7.2 montre que la méthode de Newton simplifiée converge vers cette solution.