9 EQUATIONS DIFF ´´ ERENTIELLES ORDINAIRES 35
9 Equations diff´ ´ erentielles ordinaires
9.1 Solution fondamentale
Consid´erons un op´erateur diff´erentiel d’ordrem:
L= dm dxm +a1
dm−1
dxm−1 +· · ·+am, aj∈C.
D´efinition 9.1. On dit que la distributionE ∈ D′(R) est une solution fonda- mentale pourLsiLE =δ(x).
Th´eor`eme 9.2. Tout op´erateur diff´erentiel poss`ede une solution fondamentale.
De plus, toute solution fondamental estC∞ surR\ {0}.
Lemme 9.3. Soit I⊂Run intervalle etu∈ D′(R)une solution de l’´equation
Lu= 0. (9.1)
Alorsu∈C∞(R). De plus, si
u(x0) =u′(x0) =· · ·=u(m−1)(x0) = 0, o`u x0∈I, alors u≡0.
9.2 Probl` eme de Cauchy pour l’´ equation non homog` ene
Consid´erons le probl`eme
Lu=f, (9.2)
u(0) =u0, . . . , u(m−1)(0) =um−1, (9.3) o`u f ∈ D′(R), supp ∈ R+, uj ∈ C. Comme on cherche une solution dans l’espaceD′(R), il faut donner un sens aux conditions initiales (9.3).
Sif ∈C(R+) etu∈Cm(R+) est une solution du probl`eme (9.2), (9.3), alors la fonction
˜ u(x) =
u(x), x≥0, 0, x <0, v´erifie l’´equation
Lu= ˜f , f˜(x) =f(x) +
m
X
j=1
m−j X
k=1
ak−1um−k
δ(j−1)(x), (9.4)
o`u a0 = 1. R´eciproquement, si u(x) est une fonction d´efinie sur R telle que u∈Cm(R+), u(x) = 0 pour x <0 et uv´erifie (9.4), alors la restriction de u
`aR+ est l’unique solution du probl`eme (9.2), (9.3).
D´efinition 9.4. On dit que la distribution u ∈ D′(R) est une solution du probl`eme (9.2), (9.3) surR+ siu(x) = 0 pourx <0 et la relation (9.4) a lieu.
Th´eor`eme 9.5. Soit f ∈ D′(R) une distribution telle suppf ⋐R+. Alors le probl`eme (9.2),(9.3)poss`ede une unique solution surR+.
