Seconde 6 Correction DST5 22 janvier 2015 Exercice 1 : ´Equations et in´equations (1) S={0;−1}
(2) S=]− ∞; 2[∪]52; +∞[
(3) S= [2;112]
Exercice 2 : Statistique (1) a. Sans difficult´e.
b.
Note (xi) 1 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Effectif (ni) 1 1 1 2 5 5 8 7
Effectif cumul´e 1 2 3 5 10 15 23 30
Fr´equence 301 301 301 302 16 16 154 307 Fr´equence cumul´ee 301 151 101 16 13 12 2330 1 c. En utilisant la formule, on a ¯x= 4
d. Avec le tableau, on aQ1= 3,5,Me= 4,25 et Q3= 4,5 (2) a. Sans difficult´e.
b. On remarque que la classe 1 a un ´ecart interquartile plus petits que la classe 2. La classe 1 est donc plus homog`ene.
Exercice 3 : Repr´esentation analytique de vecteur (1) a. On a−−→
AB 83 et −−→
CD 31
. 8×1−3×3 =−16= 0 donc les vecteurs ne sont pas colin´eaires.
b. On en d´eduit que (AB) et (CD) ne sont pas parall`eles.
(2) a. On a−−→ EF −22
et−−→
CD −66
. 2×(−6)−(−2)×6 = 0 donc les vecteurs sont colin´eaires.
b. On en d´eduit queE, F, Gsont align´es.
(3) SoitM un point de (AB) de coordonn´ees (x;y).
−−→ AB 83
et −−→
AM x+3y−1 .
A,B etM sont align´es donc−−→ ABet −−→
AM sont colin´eaires donc :
8(y−1) = 3(3 +x) et doncy= 38x+178 est l’´equation r´eduite de (AB) (4) S’il existextel que~uet~vsont colin´eaires alors (x−3)(x+3)−(1+√
7)(1−√
7) = 0 c’est-`a-direx2−9−1+7 =x2−3 = 0 et doncx=√
3 ou x=−√ 3
Oui, il existe unxv´erifiant tel que~uet~v sont colin´eaires.
Exercice 4 : D´emonstration vectorielle d’un alignement
(1)
A
B C
I
J
L
d
(2) −→ IJ=−→
IB+−→
BJ =12−−→ AB+35−−→
BC= 12−−→ AB−35−−→
AB+35−→
AC=
−101−−→
AB+35−→
AC
−→J L = −→
J B +−−→ BA + −→
AL = 35−−→ CB −−−→
AB + 3−→
AC =
−35−→
AC+35−−→ AB−−−→
AB+ 3−→
AC=−25−−→
AB+125−→
AC (3) On remarque que −→
J L = 4−→
IJ donc I, J et L sont align´es.
Exercice 5 : Question ouverte
Avec la figure, on conjecture queIJ KL est un parall´elogramme.
Montrons que−→ IJ =−−→
−→ LK.
IJ=−→
IB+−→
BJ = 12−−→
AB+12−−→
BC=12−→
AC.
−−→ LK=−→
LD+−−→
DK =12−−→
AD+12−−→
DC= 12−→
AC.
Donc les vecteurs sont ´egaux doncIJ KLest un parall´elogramme.
