Le syst`eme homog`ene (S 0 ) Y � = AY admet pour base de solutions les fonctions

VII – Syst` emes diff´ erentiels lin´ eaires 209

Le syst`eme homog`ene (S 0 ) Y ^� = AY admet pour base de solutions les fonctions

V 1 =







 v 1

v ₁ ^� .. . v ₁ ^{(p − 1)}









V 2 =







 v 2

v ₂ ^� .. . v ^(p ₂ ^{− 1)}









. . . V p =









 v p

v _p ^� .. . v ^(p p ^{− 1)}









 .

On cherche alors une solution particuli`ere de (S) sous la forme Y (t) = α 1 (t)V 1 (t) + . . . + α p (t)V p (t).

Comme V _j ^� = AV j , il vient Y ^� (t) = �

α j (t)V _j ^� (t) + �

α ^� _j (t)V j (t)

= AY (t) + �

α ^� _j (t)V j (t).

Il suffit donc de choisir les α j tels que �

α ^� _j (t)V j (t) = B(t), c’est-`a-dire



 

 



 

 



α ^� ₁ (t)v 1 (t) + . . . + α ^� _p (t)v p (t) = 0 . . .

α ^� ₁ (t)v ₁ ^{(p − 2)} (t) + . . . + α ^� _p (t)v ^(p p ^{− 2)} (t) = 0 α ^� ₁ (t)v ₁ ^{(p − 1)} (t) + . . . + α ^� _p (t)v ^(p p ^{− 1)} (t) = _a ¹

p

b(t).

On obtient ainsi un syst`eme lin´eaire de p ´equations par rapport aux p inconnues α <sup>�</sup> <sub>1</sub> (t), . . . , α <sup>�</sup> <sub>p</sub> (t). Le d´eterminant de ce syst`eme est non nul pour tout t ∈ R (les vecteurs V 1 (t), . . . , V p (t) sont lin´eairement ind´ependants, car si une combinaison lin´eaire Y = β 1 V 1 + . . . + β p V p est telle que Y (t) = 0, alors Y ≡ 0 d’apr`es le th´eor`eme d’unicit´e, donc β 1 = . . . = β p = 0).

La r´esolution de ce syst`eme permet de calculer α <sup>�</sup> <sub>1</sub> , . . . , α <sup>�</sup> <sub>p</sub> , puis α 1 , . . . , α p par int´egration, d’o` u la solution particuli`ere cherch´ee :

y(t) = α 1 (t)v 1 (t) + . . . + α p (t)v p (t).

Exemple – (E) y ^�� + 4y = tan t, avec t ∈ �

− π 2 , π

2

� .

• On commence par r´esoudre l’´equation sans second membre

(E 0 ) y ^�� + 4y = 0.

Le polynˆ ome caract´eristique est P (λ) = λ ² + 4, et poss`ede deux racines simples 2i et −2i. L’´equation (E 0 ) admet pour base de solutions les fonctions t �→ e ^2it , t �→ e ^{− 2it} , ou encore :

t �→ cos 2t, t �→ sin 2t.

• On cherche ensuite une solution particuli`ere de (E) en posant

y(t) = α 1 (t) cos 2t + α 2 (t) sin 2t.

210 Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles

Ceci conduit ` a r´esoudre le syst`eme

� α ^� ₁ (t) cos 2t + α ^� ₂ (t) sin 2t = 0

α ^� ₁ (t) · (−2 sin 2t) + α ^� ₂ (t) · (2 cos 2t) = tan t.

Le d´eterminant du syst`eme ´etant ´egal `a 2, on obtient



 



 



α ^� ₁ (t) = − 1

2 tan t sin 2t = − sin ² t = − 1

2 (1 − cos 2t) α ^� ₂ (t) = 1

2 tan t cos 2t = 1

2 tan t(2 cos ² t − 1) = sin 2t − 1 2 tan t,



 



 



α 1 (t) = − t 2 + 1

4 sin 2t α 2 (t) = − 1

4 cos 2t + 1

2 ln (cos t), d’o` u la solution particuli`ere

y(t) = − t

2 cos 2t + 1

2 sin 2t ln (cos t).

La solution g´en´erale est donc y(t) = − t

2 cos 2t + 1

2 sin 2t ln (cos t) + α 1 cos 2t + α 2 sin 2t.

�� ����

�

��������

�

������������

�

������

�

�������������

���������

L’objet de ce paragraphe (avant tout th´eorique) est de g´en´eraliser les r´esultats du

§ 2 au cas des syst`emes lin´eaires `a coefficients variables.

����

��

��������� ����

�����

���

����

�����

Consid´erons une ´equation lin´eaire sans second membre

(E 0 ) Y ^� = A(t)Y

o` u A : R ⊃ I → M m (K) est une matrice m × m sur K `a coefficients continus.

Soit S l’ensemble des solutions maximales de (E 0 ). Pour tout t 0 ∈ I, on sait que Φ t

: S −→ K ^m , Y �−→ Y (t 0 )

est un isomorphisme K-lin´eaire. Pour tout couple (t, t 0 ) ∈ I ² , on d´efinit R(t, t 0 ) = Φ t ◦ Φ ⁻ _t

¹ : K ^m Φ ⁻ _t

¹

−→ S Φ t

−→ K ^m

V �−→ Y �−→ Y (t).