Universit´e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths
Equations Diff´erentielles 2012-2013
Travaux Dirig´es no. 3 Syst`emes Diff´erentiels Lin´eaires Syst`emes diff´erentiels lin´eaires d’ordre 1
Exercice 1
On consid`ere le syst`eme X0=AX o`u A∈ MN×N(K). D´ecrire les solutions lorsque 1. A2 = 0,
2. Aest un projecteur.
Exercice 2
Soit t7→A(t) une application continue de Rdans L(RN,RN), et soit X(t) une solution de l’´equation
X0(t) =A(t)◦X(t).
On suppose que la matriceA(t) est antisym´etrique pour toutt∈R. Quelle est l’´equation diff´erentielle satisfaite partX◦X? En d´eduire que si X(t0) est une matrice orthogonale, alorsX(t) est une matrice orthogonale pour tout t.
Exercice 3
R´esoudre les syst`emes diff´erentiels suivants :
x0= 2x+y+ 2z y0 = −2x−y−4z z0= x+y+ 3z
x0= x−y+ 1 y0 = 2x+ 4y+et
x0 = x−y y0= 3x+ 4y Exercice 4
Trouver la r´esolvante du syst`eme diff´erentiel x0 = x+y
y0 = 2x . En d´eduire l’expression de la matrice
exp(tA) pour A=
1 1 2 0
.
Exercice 5 Soit le syst`eme
(S)
(x0(t) =−x−y y0(t) =−2x−2y.
1. D´eterminer toutes les “positions d’´equilibre” du syst`eme, c’est-`a-dire les solutions constantes. Les repr´esenter sur un dessin et tracer les vecteurs
x0 y0
.
2. R´esoudre le syst`eme (S). Qu’obtient-on lorsquet tend vers +∞ ? Exercice 6
1. Donner la forme g´en´erale des solutions du syst`eme diff´erentiel X0 =AX avec
A=
1 0 0 0 1 1 0 0 1
2. En d´eduire la matrice R´esolvante associ´ee, v´erifier que det(R(t,0)) =etr(A)tet trou- ver exp(A).
3. Mˆemes questions avec les matrices suivantes
1 1 1
−1 2 1
1 0 1
;
1 0 1
0 −1 −1
0 2 1
.
Exercice 7
On consid`ere la matrice M et les vecteurs X0,B suivants :
M =
7 8 4
−4 −5 −2
−2 −3 0
, X0 =
x0
y0
z0
, B=
1 0 0
1. D´eterminer la solution g´en´erale du syst`eme X0=M X.
2. D´eterminer l’unique solution valantX0 en t= 0.
3. Trouver la solution g´en´erale du syst`eme (avec second membre) X0=M X+B.
Exercice 8
Int´egrer les trois syst`emes diff´erentiels suivants (x, y, z, ud´esignant des fonctions d´erivables de la variablet) :
(S)
x0 =x+y+z+ 1 y0 =−x+ 2y+z+t z0 =x+z+t2et
(S0)
x0 =x−y+ 2u y0=−3x+ 2y+z+u z0 =−2x+ 2z+ 2u u0 =−3x+y+z+ 2u
(S00)
x0= 2x−y+u y0 =−x+y+z+u z0=−2x+ 2y+ 2z−2u u0=−2x+y+z+u Equations diff´´ erentielles lin´eaires d’ordre N
Exercice 9
Soit `a r´esoudre, surR+∗, l’´equation diff´erentielle
x2y00+ 2xy0−2y=x−1.
1. Montrer que l’´equation homog`ene admet une base de solutions de la formex7→xα. 2. Trouver une solution particuli`ere par la m´ethode de variation des constantes.
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3. Trouver la solution v´erifiant y(1) = 1, y0(1) = 0.
Une ´equation de la forme P
akxky(k) = 0, o`u les ak sont des constantes, est appel´ee
´equation d’Euler. Elle admet toujours des solutions de la formexα et dans certains cas, une base de solutions de cette forme. On peut se ramener aux ´equations lin´eaires `a coefficients constants en posant x=et.
Exercice 10
Donner la forme g´en´erale des solutions du syst`eme diff´erentiel r´eel suivant:
(u0 =−v v00=u Exercice 11
Trouver toutes les solutions des ´equations diff´erentielles suivantes : (1) y(3)+y00−y0−y= 1 + 2ch(x) (2) y(4)+y=−x4+ 1 (3) y(4)+ 16y = sin(2x) cos(4x) Trouver l’unique solution du probl`eme de Cauchy suivant.
(y(4)−2y00+y=x
y(0) = 0, y0(0) = 1, y00(0) = 0, y000(0) = 4.
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