Chapitre III Equations Diff´erentielles Ordinaires

(1)

Chapitre III

Equations Diff´erentielles Ordinaires

Ce chapitre est consacré à la résolution numérique d’un système d’équations différentielles ordi-

naires

...

(0.1) En notation vectorielle, ce syst`eme s’´ecrit

!

(0.2)

o`u^" ^# ^%$ et^'&)(^*,+-(^*

/.

(*

. Voici quelques livres qui traitent de ce sujet.

Bibliographie sur ce chapitre

K. Burrage (1995): Parallel and sequential methods for ordinary differential equations. The Clarendon Press, Oxford University Press. [MA 65/369]

J.C. Butcher (1987): The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons. [MA 65/276]

J.C. Butcher (2003): Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons. [MA 65/470]

M. Crouzeix & A.L. Mignot (1984): Analyse Num´erique des Equations Diff´erentielles. Masson. [MA 65/217]

P. Deuflhard & F. Bornemann (1994): Numerische Mathematik II. Integration gew¨ohnlicher Differential- gleichungen. Walter de Gruyter. [MA 65/309]

E. Hairer, S.P. Nørsett & G. Wanner (1993): Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems.

Springer Series in Comput. Math., vol. 8, 2nd edition. [MA 65/245]

E. Hairer & G. Wanner (1996): Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems. Springer Series in Comput. Math., vol. 14, 2nd edition. [MA 65/245]

E. Hairer, C. Lubich & G. Wanner (2002): Geometric Numerical Integration. Structure-Preserving Algo- rithms for Ordinary Differential Equations. Springer Series in Comput. Math., vol. 31, 2nd edition in preparation. [MA 65/448]

P. Henrici (1962): Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons. [MA 65/50]

A. Iserles (1996): A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations. Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge University Press.

J.D. Lambert (1991): Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons. [MA 65/367]

A.M. Stuart & A.R. Humphries (1996): Dynamical Systems and Numerical Analysis. Cambridge Univ.

Press. [MA 65/377]

(2)

III.1 Quelques exemples typiques

Pour des équations différentielles d’un intérêt pratique on trouve rarement la solution exprimée avec une formule exacte. On est alors obligé d’utiliser des méthodes numériques.

Exemple 1.1 (modèle de Lorenz) Une équation très celèbre est celle de Lorenz (1979)

,0213

54

176

98

,0:

6

,0;

<

4-=

0-76 6

98

>:

<

?

76@0BAC7< <

98

=

0ED

(1.1)

avec ^1FGD ⁸ ,⁼ ÎH7: etÂJE:K7L . La solution est chaotique et ne devient jamais périodique. Voici

la composante comme fonction de sur l’intervalle ^M⁸ ^D ^88N.

0 20 40 60 80 100

−10 0 10

Les méthodes classiques comme les méthodes de Runge–Kutta (voir le paragraphe III.2) ou les méthodes multipas (paragraphe III.5) nous permettent de trouver sans difficultés des bonnes approximations.

La solution Ô ⁶ ^< ^$ peut aussi être interprétée comme une courbe para- métrique dans l’espace ⁽^*

<

(avec param`etre ). Leurs projections sur le plan des composantes

76 et ^< sont dessinées dans la figure III.1. L’intervalle d’intégration est ^M⁸ ^HP ^N. La valeur initiale est marquée par un point noir épais.

−20 −10 0 10 20

10 20

−20

−10

−20 −10 0 10 20

30 40

10

valeur initiale

6

7<

FIG. III.1: Deux vues de la solution QRSUT5V?RWQ

RSUTCXYQ

6

RSZTCXYQ

<

RSUTCT

$ du probl`eme de Lorenz (1.1)

(3)

When the equations represent the behaviour of a system containing a number of fast and slow reactions, a forward integration of these equations becomes difficult. (H.H. Robertson 1966) Exemple 1.2 (réactions chimiques) L’exemple suivant de Robertson (1966) est devenu célèbre comme équation test pour des études numériques (Willoughby 1974): la réaction chimique

[

\C]

0^0

. _

(lente)

_ 4 _

<`

a

0^0

. b 4 _

(tr`es rapide)

_ 4 b

Zc

0^0

. [ 4 b

(rapide) conduit au système d’équations différentielles raides

[ & d0

88e f4

D 8 ] 67<

g8

hD

_ &

6

8i8e

0ED 8 ]

76<20jLlk)D 8nm

6

6 g8

8

b &

<

Llk)D

8nm

6

<

g8

8

(1.2) Si on utilise une méthode classique (par exemple, la méthode de Runge–Kutta DOPRI5) on est obligé de prendre des pas d’intégration très petits pour obtenir une approximation correcte (voir la figure III.2). Dans le paragraphe III.9 nous étudierons des méthodes numériques adaptées à ce type de problèmes (dont un représentant est RADAU5). Elles donnent une grande précision avec des grands pas d’intégration.

.0 .1 .2 .3 .4 .5

.000032 .000034 .000036

6

transient

solution DOPRI5: 345 steps, Tol^oD ^8np

6

337 steps, Tol^hD ⁸ ^p

<

solution RADAU5: 14 steps, Tol^oD ^8np

6

FIG. III.2: Solution numérique pour (1.2) obtenue par une méthode classique (DOPRI5) et par une méthode pour des équations différentielles raides (RADAU5)

Exemple 1.3 (intégration à long terme du système planétaire) Comme dernier exemple, consi- dérons le problème à ^q corps qui est important aussi bien dans l’astronomie (mouvement des planètes) que dans la biologie moléculaire (mouvement des atomes). Les équations sont

r

s tuv

rw

t t

0x

r

y t

0j

r y <

(1.3) o`u ^r{z ⁽^*

<

est la position du ^| `eme corps,

w r

sa masse, et ^s la constante gravitationnelle.

En introduisant la vitesse^} ^r ^~ ^r comme nouvelle variable, on obtient un système d’équations différentielles pour les ^r et^} ^r de dimension^q où^q est le nombre des corps considérés.

Comme exemple concret, considérons le mouvement de cinq planètes extérieures autour du soleil (^q corps).¹ La figure III.3 montre la différence entre une méthode classique (méthode d’Euler explicite) et une méthode adaptée à ce problème; voir le paragraphe III.10 pour une expli- cation.

1La constante , les masses est les valeurs initiales pour les positions et vitesses sont donn´ees dans le para- graphe I.2.3 du livre Geometric Numerical Integration de Hairer, Lubich & Wanner (2002).

(4)

J S U

N P

explicit Euler, ^hD ⁸

J S

U N P

symplectic Euler, ^oD ⁸⁸

FIG. III.3: Solution numérique pour (1.3) obtenue par une méthode classique (méthode d’Euler explicite) et par une méthode étudiée au paragraphe III.10

Avant de discuter la résolution numérique des équations différentielles, nous rappelons un théo- rème sur l’existence et l’unicité de la solution (pour une démonstration, voir le cours d’Analyse II).

Théorème 1.4 Soit une fonction continûment différentiable dans un voisinage de . Alors, il existe ⁸ tel que le problème , ^! possède exactement une solution sur l’intervalle ⁰ ^#4 .

III.2 M´ethodes de Runge-Kutta

Pour calculer une approximation de la solution de

)d

!

(2.1)

sur l’intervalle ^M^#N, on procède comme suit: on subdivise^M^#N en sous-intervalles d’extrémités

OBI B

, on d´enote ⁰ et on calcule l’approximation par une formule de type

4

n

(2.2)

Une telle formule s’appelle “m´ethode `a un pas”, car le calcul de⁷ utilise uniquement les valeurs

et non ^p ^U# ^p ^p .

M´ethode d’Euler (1768). La m´ethode la plus simple est

!

@4

1

−1 0 1

U

6

76

V?

V

(pour simplifier la notation nous consid´erons uniquement le premier pas ( ⁸ dans (2.2)) et nous notons

). Elle est obtenue en remplaçant la solution par sa tangente au point . Le dessin à droite montre la solution numérique pour le problème

6 4 6

0D

P7d0D ie

et pour ^DK ^e , ^{D K7:} , etc. On peut observer la convergence vers une fonction qui, comme on verra dans le paragraphe III.3, est la solution du probl`eme.

(5)

Pour la dérivation d’autres méthodes numériques, intégrons (2.1) de à^@4

4

@4 W

¡

£¢

£ (2.3)

Si l’on remplace l’intégrale de (2.3) par , on obtient la méthode d’Euler. L’idée évidente est d’approcher cette intégrale par une formule de quadrature ayant un ordre plus élevé.

M´ethode de Runge (1895). On prend la formule du point milieu

4

@

4

@4o¤

¥ @4o¤

¥

1 1

¦

6 ¦ 6

et on remplace la valeur inconnue ^@4 ^K§H par la m´ethode d’Euler. Ceci nous donne

4

¨4©¤

¥ @4©¤

¥

M´ethode de Heun (1900). On prend une formule de quadrature d’ordre^L

4

@

4o¤

ª

4

L

¡¨4

¥ ¤

« 4

¥ ¤

«

(2.4)

et on remplace la valeur inconnue ⁴ ^H ^K7L par l’approximation de la m´ethode de Runge. Ceci nous donne

4o¤

ª

4

L

@4

¥ ¤

« 4

¥ ¤

«

@4©¤

« 4o¤

«

(2.5) En généralisant cette idée à une formule de quadrature plus générale et en introduisant la notation ^¦ ^r ^¬ pour les expressions de qui apparaissent, on est conduit à la définition suivante (Kutta 1901).

Définition 2.1 Une méthode de Runge-Kutta à^® étages est donnée par

¦

6¯

4±°

6 4

)² 6 ¦

¦

<¯

@4±°

< 4

² < ¦ f4

²

<C6

¦

6#

¦³

@4±°

³ 4

² ³ ¦

54± §4

²

³U´³ p

¦³

p

4

A ¦

f4±§4

A

³¦³

(2.6)

o`u^° ^r ^² ^r

t A t

sont des coefficients. On la représente à l’aide du schéma

° r ² rt

A r

Exemples. Les m´ethoded d’Euler, de Runge et de Heun sont donn´ees par les tableaux suivants:

8 D 8

D K7H D K7H

8 D 8

D K§L D K7L

HK§L

8

HK7L

D K

e 8

LK

e

Par la suite nous supposerons toujours que les^° ^r satisfont

°

8 ° r rp

tUv

² rt | dH

®

(2.7) Ceci signifie que ^¦ ^r ^µ ^4¶° ^r ^·4¶° ^r ^# ^4¶¸¹

6

. Nous étendons maintenant la notion de l’ordre (voir la Définition I.1.2 pour les formules de quadrature) aux méthodes de Runge-Kutta.

(6)

Définition 2.2 On dit que la méthode (2.6) a l’ordre ^º si, pour chaque problème ^» ,

(avec suffisamment diff´erentiable), l’erreur apr`es un pas satisfait

0j 4

¸¹

n¼

pour

.

8 (2.8)

La diff´erence (2.8) s’appelle erreur locale de la m´ethode.

La m´ethode d’Euler est une m´ethode d’ordre^º ^µD , car

4

@4

4¸F

6

! 4

4±¸¹

6

!

f4¸F

6

La m´ethode de Runge est bas´ee sur la formule du point milieu qui est une formule de quadrature d’ordre^H :

4

!

¨4

¨4 ¤¥ ½¨4 ¤¥

4¸F

<

En remplac¸ant ⁴ ^K7H7 par la valeur ^·4I ^K§HU de la m´ethode d’Euler, on ajoute un terme d’erreur qui est de^¸F

<

grâce au facteur devant . Ainsi, cette méthode a l’ordre^º ^dH . De la même manière on voit que la méthode de Heun a l’ordre^º ^,L .

Pour construire des méthodes d’ordre plus élevé, il faut développer la solution exacte ^f4 et la solution numérique ^¾ en série de Taylor autour de ⁸ . Une comparaison des coefficients de

r

pour ^| ^D ^º donne des conditions pour les param`etres ^² ^r

t

et Â ^r. L’idée est simple, mais l’exécution de ce plan est loin d’être triviale (^: conditions pour l’ordre ^º ê ,

H

88 pour^º ô: et ^DH ⁸ ^P pour^º ^¿D ⁸ ). Mais c’est de cette manière que Kutta (1901) a trouvé des méthodes d’ordreê . Les plus célèbres sont données dans le tableau III.1. Celle de gauche est basée sur la formule de Simpson, l’autre sur la formule de quadrature de Newton.

TAB. III.1: M´ethodes de Kutta (1901)

8

D K§H D K7H

D K§H

8

D K7H

D 8 8 D

D K

HK

D K

“La” m´ethode de Runge-Kutta

8

D K7L D K7L

HK7L 0ÀD K§L D

D D 0ÀD D

D K7: LK7: LK7: DK7:

r`egle 3/8

Les méthodes de Runge-Kutta, qui sont actuellement les plus utilisées, ont été construites autour de 1980 par Dormand et Prince (Angleterre). Pour des méthodes d’ordre^º ^P avec ^® et d’ordre^º ô: avec ^® ^¿DH , des programmes informatiques DOPRI5 et DOP853 sont disponibles sur la page internet http://www.unige.ch/^Á hairer .

Expérience numérique. Considérons les cinq méthodes vues jusqu’à maintenant (Euler, Runge, Heun et les deux méthodes du tableau III.1 de Kutta) et comparons leurs performances pour le problème (équation Van der Pol)

!76

98

,H i88

: DÂ:

8 :Ã

e : e

L)DL

P 8 Â e78

D::

6

D0j

6 96@0-

6 98

8 (2.9)

La valeur initiale est choisie pour que la solution soit p´eriodique de p´eriode

LH7:

:PÂ7LHL)DL

8

D:Â

ÂÂ

:H 8 L 8 P

Nous subdivisons l’intervalle ^M^82N en parties ´equidistantes et appliquons fois la m´ethode.

L’erreur à la fin de l’intervalle est alors dessinée en fonction du travail (nombre total d’évaluations de ) dans la figure III.4.

(7)

10² 10³ 10⁴ 10⁻⁹

10⁻⁶ 10⁻³

10² 10³ 10⁴

10⁻⁹ 10⁻⁶ 10⁻³

erreur pour

fe Euler

Runge Heun RK4

erreur pour⁶

fe Euler Runge

Heun RK4

RK classique (tableau III.1, à gauche) règle 3/8 de Kutta (tableau III.1, à droite) FIG. III.4: Erreur globale en fonction du travail numérique

Comme dans la fig. I.4 (intégration numérique), on peut constater que ^ÄiÅÆ err dépend liné- airement de^ÄiÅÆ fe et que cette droite est de pente⁰ ^º , où^º est l’ordre de la méthode. Il est donc important d’utiliser des méthodes d’ordre élevé.

III.3 Convergence des m´ethodes de Runge-Kutta

Dans la figure III.4, on a constat´e que pour un calcul avec des pas constants, l’erreur globale se comporte comme ^ÄÇÅ7Æ err^È

b 0 º k

ÄiÅÆ

fe , ce qui est ´equivalent `a err

b

fe ^p ^¼

b 6

n¼ . Ceci montre que la solution num´erique converge vers la solution exacte si

. 8

. Dans ce paragraphe, nous allons d´emontrer ce r´esultat.

Nous appliquons une m´ethode `a un pas

7

? 4

3

n (3.1)

à une équation différentielle , , et nous cherchons à estimer l’erreur globale

^0j .

Th´eor`eme 3.1 Soit la solution de ^, , sur ^M^#N. Supposons que a) l’erreur locale satisfasse pour ^z ^M^#N et"ÉÊfËCÌ

y

Í4

Í0-

^0

y É b k ¼

(3.2) b) la fonction satisfasse une condition de Lipschitz

y

50±

Î

y ÉdÏ

k y /0

Î y

(3.3)

pour"ÉÊfËCÌ et ^Î dans un voisinage de la solution.

Alors, l’erreur globale admet pour ^É l’estimation

y

^0-

y

ÉE3¼

k bÏ k ÐUÑÒ

WÓ p Ô

0ED (3.4)

o`u ^dÕÈÖ× ^r ^r, sous la condition que soit suffisamment petit.

(8)

6 <

kkk

Ø

solution exacte

m´ethode de Runge-Kutta

Ù Ù 6

.. .

Ù p

Ù

ØdÐZ

Ð

ÐU6

ÐZ

p

76

<

FIG. III.5: Estimation de l’erreur globale

Démonstration. L’idée est d’étudier l’influence de l’erreur locale, commise au ^| ^ème pas, sur l’approximation . Ensuite, on va additionner les erreurs accumulées.

Propagation de l’erreur. Soient ^Ú ^3Û et ^Ú ^Î ^3Û deux solutions numériques obtenues par (3.1) avec pour valeurs initiales et ^ÎU , respectivement. En utilisant la condition de Lipschitz (3.3), leur différence peut être estimée comme

y

0 Î

7

y É y

Ü0

Î y 4 Ï y

Ý0

Î y D 4 Ï y

Ý0

Î y É Ð Ó Ñ y

¯0 Î y

(3.5) R´ecursivement, on obtient alors

y

Ý0

Î y É Ð

ÓßÞ7à ÑÈkÐ

ÓÞá ÑÈk

kÐ

â

Ñ y r 0 Î r y dÐUÑ)Ò

WÓ

p âÔ y r 0 Î r y

et l’erreur propag´ee^Ù ^r (voir la figure III.5) satisfait

y Ù r y É

ÐUÑ)Ò

Ó p âÔ y Ð r y É b ¼ rp ÐUÑ)Ò

Ó p âÔ

(3.6) Accumulation des erreurs propagées. L’inégalité du triangle et l’estimation (3.6) nous donnent

y

n^0-

y É

rv y Ù r y É b rv ¼

r p ÐUÑ)Ò

Ó p âÔ

É b

3¼ ÐUÑÒ

Ó p à Ô

4± 74

p 6ÐUÑ)Ò

Ó pãä

Þ7àÔ 4 p

>

6

kkk

p

Ð

Ñ)Ò

Ó p Ô

É b

3¼

Ó

W

ÐUÑ)Ò

Ó på

Ô ¢ b

n¼

D

0 Ï ÐUÑ)Ò

Ó på

Ô

WÓ

b

n¼

Ï

ÐUÑ)Ò

Ó p Ô 0ED

Cette estimation montre que, pour suffisamment petit, la solution numérique ne sort pas du voisinage où satisfait à une condition de Lipschitz. Ceci justifie les estimations dans (3.5).

Supposons maintenant que (3.1) représente une méthode de Runge-Kutta et vérifions les hy- pothèses du théorème précédent. La condition (3.2) est satisfaite pour une méthode d’ordre^º (par définition de l’ordre). Il reste à vérifier la condition de Lipschitz (3.3) pour la fonction

³

rv A r ¦ r

(3.7)

o`u

¦ r

d æ4±°

r 4 rp

tUv

² rt ¦ t

# .

(9)

Lemme 3.2 Si satisfait une condition de Lipschitz

y

Í0>

Î

y

É¬ç

y

0 Î y

dans un voisinage de la solution de , l’expression de (3.7) v´erifie (3.3) avec

Ï ç r èA r è

4

ÊfËCÌéç

r ´t èA r ² rt è 4

nÊËCÌ§ç

6 r ´t ´ê èA r ² rt ² t ê è

4±

(3.8) Démonstration. La condition de Lipschitz pour appliquée à ^¦ ^r ⁵⁰ ^¦ ^r ^Î nous donne

y ¦

50

¦

Î

y y

50B Î

y

Éç

y

È0 Î y

y ¦ 6

50

¦ 6

Î

y

Éç

y

/0 Î;4

)²

6

¦

f0

¦

Î

#

y

Éç D 4

ÊfËCÌ7ç

è² 6 è y

Ø0 Î y

etc. Ces estimations ins´er´ees dans

y

^0

Î7

y É ³

rv èA r è k y ¦ r 50

¦ r

9Î

y

impliquent (3.3) avec^Ï donn´e par (3.8).

III.4 Un programme `a pas variables

Pour résoudre un problème réaliste, un calcul à pas constants est en général inefficace. Mais com- ment choisir la division? L’idée est de choisir les pas afin que l’erreur locale soit partout environ

´egale `a Tol (fourni par l’utilisateur). A cette fin, il faut connaˆıtre une estimation de l’erreur locale.

Inspiré par le programme TEGRAL pour l’intégration numérique (voir le paragraphe I.6), nous construisons une deuxième méthode de Runge-Kutta avec comme approximation numérique, et nous utilisons la différence ^0j comme estimation de l’erreur locale du moins bon résultat.

Méthode emboˆıtée. Soit donnée une méthode d’ordre ^º à ^® étages (coefficients ^° ^r ^² ^r

t A t

). On cherche une approximation d’ordre^º ^º qui utilise les mêmes évaluations de , c.-à-d.,

4

A ¦

f4±§4

A

³¦³

o`u les

¦ r

sont donnés par la méthode (2.6). Pour avoir plus de liberté, on ajoute souvent un terme avec ^ëì , qu’il faut en tous cas calculer pour le pas suivant, et on cherche de la forme

4

A ¦

f474

A

³¦³

4 A ³

ëìU

(4.1) Exemple. Pour la méthode de Runge, basée sur la règle du point milieu, on peut prendre la méthode d’Euler comme méthode emboîtée. L’expression err

¦

60

¦

est donc une approximation de l’erreur locale (pour la m´ethode d’Euler).

Pour une méthode générale, il faut développer les^¦ ^r et ^ëì# en série de Taylor et comparer avec la solution exacte. Comme les ^° ^r et les ^² ^r

t

sont déjà connus, on obtient un système linéaire pour leÂ ^r.

En faisant ce calcul pour la méthode “règle ^LK7: ” (ordre^º ê , tableau III.1), les coefficients d’une méthode emboˆıtée avec^º ^dL sont

A ,A

0 í

¥ ª

AC6ÝdAC6 4 í

î

AC<Ý,A<¨0¬í

î A ]

A

]

0Gí

î

ACïÝðí

ñ

(4.2) et avec^° ^µD on obtient donc

err ^¥^¤^ª ⁰ ^¦ ^{^4} ^L ^¦ ^6@0±L ^¦ ^<¨0!L ^¦ ^]@4!e ^ëìU (4.3)

comme estimation de l’erreur locale.

(10)

Calcul du ^ò “optimal”. Si l’on applique la m´ethode avec une certaine valeur , l’estimation de l’erreur satisfait (^º ^º )

0

0j 4

#

4 4

^0

¸¹

n¼

4±¸¹

¼

b k ¼

(4.4) Le “optimal”, not´e par _opt, est celui o`u cette estimation est proche de Tol:

Tol

b k ¼

opt

(4.5)

En ´eliminant

b

de (4.4) et de (4.5), on obtient

opt

8

Â;k

k ¼

Tol

y 0 y

(4.6) Le facteur ⁸^Â est ajouté pour rendre le programme plus sûr. En général on supose en plus une restriction du type⁸^H ^ÀÉE _opt ^É ^P pour éviter des grandes variations dans .

Pour la norme dans (4.6) on utilise en g´en´eral

y 0 y D

rv r 0 r

sc^r

6

o`u sc^r ^hD ⁴ ^ÕÖ×

è r è è r è

(4.7) ( ^r ^r ^r est la ^| ^ème composante de , respectivement). Ceci représente un mélange entre erreur relative et erreur absolue.

5 10 15

1 2 3 4

5 10 15

10⁻¹ 10⁰

10⁻⁶ 10⁻⁵ 10⁻⁴ 10⁻³

solutions

76

accepted step sizes

rejected step sizes

initial

local error estimate exact local error global error

FIG. III.6: S´election du pas, Tol^V?ó ^p

]

, 96 pas accept´es^ô 32 pas rejet´es

(11)

Algorithme pour la s´election automatique du pas. Au d´ebut, l’utilisateur fournit un sous- programme qui calcule la valeur de , les valeurs initiales et un premier choix de .

A) Avec , calculer , err

y 0 y

et _optde (4.6).

B) If err ^É Tol (le pas est accept´e) then

&Ç

@4

&Ç

&ÇdÕÈõiö opt

#

end

0

else (le pas est rejet´e)

&i

opt end if

C) Si _endon a termin´e, sinon on recommence en (A) et on calcule le pas suivant.

Exemple numérique. Cet algorithme a été programmé (en utilisant la “règle^LK§: ” et l’estimation de l’erreur (4.3)) et il a été appliqué au problème (une réaction chimique, le “Brusselator”)

µD

4 6 6@0

e g8

µD P

6

dL

0j

6

C6 6

g8

dL

(4.8) sur l’intervalle ^M⁸ ^H ^8N. Les r´esultats obtenus avec Tol^µD ^8np

]

sont présentés dans la figure III.6 : i) en haut, les deux composantes de la solution avec tous les pas acceptés;

ii) au milieu les pas; les pas acceptés étant reliés, les pas rejetés étant indiqués par ⁺ ;

iii) les dessin du bas montre l’estimation de l’erreur locale err, ainsi que les valeurs exactes de l’erreur locale et de l’erreur globale.

III.5 M´ethodes multipas (multistep methods)

Déjà longtemps avant la parution des premières méthodes de Runge-Kutta, J.C. Adams a résolu numériquement des équations différentielles (1855, publié dans un livre de Bashforth 1883). Son idée était d’utiliser l’information de plusieurs pas précédents (en particulier ^p ^p

ê

) pour obtenir une approximation précise de ⁷ . C’est la raison pour laquelle ces méthodes s’appellent aujourd’hui méthodes multipas (contrairement aux méthodes à un pas).

Méthodes d’Adams explicites. Soit donnée une division Ô ⁷ ^F de l’intervalle sur lequel on cherche à résoudre l’équation différentielle ^÷ et supposons qu’on connaisse des approximations ^p ^p ^ê de la solution pour ^¦ pas consécutifs (

t

ø t

). Comme pour la dérivation des méthodes de Runge-Kutta, on intègre l’équation différentielle pour obtenir

7

4 ÓUùà

WÓ

¢

(5.1)

Mais, au lieu d’appliquer une formule de quadrature standard `a l’int´egrale de (5.1), on remplace

par le polyn ˆome^º de degr´e

¦

0D qui satisfait (on utilise l’abr´eviation

t

d

t t

)

º

t

d

t

pour

ú

0ED

0 ¦ 4 D p ê

kkk

p

p ê p º

L’approximation de est alors d´efinie par

7

?

4 Óùà

WÓ

º

)¢

£ (5.2)

(12)

Si l’on repr´esente le polyn ˆome^º par la formule de Newton (voir le paragraphe II.1)

º

@ ê p

tUv

t p

r v 0 p r kû

t M

#

p

##

p t N

(5.3) la m´ethode (5.2) devient

? 4 ê p

tUv

ÓUùà

Ó t p

r v 0 p r )¢

kû t M

p

#

p t

N (5.4)

Cas ´equidistant. Dans la situation

t

¨4

ú les différences divisées peuvent être écrites sous la forme

û t M

#

p

##

p t N ýü

t

ú3þ

t

(5.5) o`u

ü

Ø ,

ü

ØÜ0B

p

,

ü 6 Ø

ü ü

3Ü0±H

p

f4

p 6

sont les différences finies régressives (à distinguer des différences finies progressives^ÿ ^Ào ^0> ). La formule (5.4) devient alors (poser ⁴ ^® )

4 ê p

tUv

t ü t

(5.6)

o`u

t D

úþ

t p

rv | 4 ® )¢

®

® 4 ú

0ED

ú ¢ ®

(5.7) Les premiers coefficients

t

sont donn´es dans le tableau III.2.

TAB. III.2:Coefficients pour les m´ethodes d’Adams explicites

ú 8 D H L e P Ã :

t D

¥

¥ «î

¥

¥îî

î

ñ ª î

¥

¥î

«ñ¥îî

Des cas particuliers sont:

¦

hDJ&

!

4 (m´ethode d’Euler)

¦

,H&

!

4 «¥

Ü0

¥

p

¦

,L&

! 4

¥«

¥

Ü0 ñ

¥ p

54

¥ p 6

¦ e &

! 4

¥ ª Ü0

¥ ª p 54

«

¥ ª p 6¨0

¥ ª p <

Si l’on veut appliquer cette méthode (par exemple avec ^¦ ^L ) à la résolution de ,

;,

, il faut connaˆıtre trois approximations initiales et⁶ . Ensuite, on peut utiliser la formule récursivement pour calculer^< ^] , etc. Adams a calculé la série de Taylor de la solution exacte (autour de la valeur initiale) pour déterminer les approximations initiales qui manquent.

Evidemment, on peut aussi les obtenir par une m´ethode `a un pas.

Remarque. Dans la construction de la méthode (5.4), on a utilisé le polyn ôme d’interpolation^º en-dehors de l’intervalle ^M ^p ^ê ^# ^N. On sait bien (voir le chapitre II) que ceci peut provoquer de grandes erreurs. La modification suivante est aussi due à J.C. Adams (1855).