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Conservation de la charge et approximation num´ erique en

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Academic year: 2021

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Texte intégral

(1)

Conservation de la charge et approximation num´ erique en

´

electromagn´ etisme

Pascal Omnes - Email : pascal.omnes@cea.fr - T´el : 01.69.08.43.57

Introduction

Les ph´enom`enes li´es `a l’´electromagn´etisme, mod´elis´es par les ´equations de Maxwell sont rencontr´es dans de nombreuses applications, parmi lesquelles nous pouvons par exemple citer les tubes micro-ondes, les diodes ioniques ou ´electroniques, les r´eacteurs `a fusion.

Nous nous proposons ici d’´etudier quelques aspects de ce syst`eme d’´equations puis de proc´eder `a la r´esolution num´erique par ´el´ements finis d’un probl`eme simplifi´e.

Nous consid´erons un domaine Ω born´e de IR3, de fronti`ere Γ. Les ´equations de Maxwell dans le vide s’´ecrivent :

∂E

∂t −c2∇ ×B = −J

0 , (1)

∂B

∂t +∇ ×E = 0, (2)

∇ ·E = ρ 0

, (3)

∇ ·B = 0, (4)

o`uE,B, ρetJ d´esignent respectivement le champ ´electrique, le champ magn´etique, la densit´e de charge et la densit´e de courant. Les constantes 0 etcsont respective- ment la permittivit´e di´electrique et la vitesse de la lumi`ere.

Les quantit´esρetJ sont de plus reli´ees par la relation suppl´ementaire suivante, dite de conservation de la charge :

∂ρ

∂t +∇ ·J = 0. (5)

On notera de plus

E0 =E(X, t= 0), (6)

ρ0 =ρ(X, t= 0), (7)

et

B0 =B(X, t= 0). (8)

On supposera que (3) et (4) sont v´erifi´ees `at= 0, c’est-`a-dire que l’on a :

∇ ·E0 = ρ0

0 dans Ω (9)

et

∇ ·B0 = 0 dans Ω. (10)

(2)

Quelques consid´ erations sur (3) et (4).

Question 1 Montrer que si (2) et (10) sont v´erifi´ees, alors (4) l’est ´egalement, et que si (1), (5) et (9) le sont, alors (3) l’est aussi.

On pourra utiliser, apr`es l’avoir montr´e, que

∇ ·(∇ ×u) = 0 ∀u. (11) C’est pourquoi l’on a tendance `a consid´erer que les ´equations (3) et (4) sont redon- dantes et `a ne r´esoudre dans la pratique que (1) et (2).

Cependant, lors des approximations num´eriques effectu´ees pour r´esoudre ce syst`eme d’´equations, il arrive fr´equemment que les termes sources ne v´erifient pas (5) de fa¸con tout `a fait exacte. De mˆeme, les op´erateurs discrets peuvent ne pas v´erifier (11) exactement.

Les relations (3) et (4) ne sont alors plus des cons´equences des autres ´equations et ne pas les prendre en compte se r´ev`ele en g´en´eral n´efaste pour la qualit´e des r´esultats num´eriques, particuli`erement “en temps long” (i.e. pour des simulations sur un grand nombre de pas de temps).

Pour rem´edier `a cela, il est possible d’introduire, dans le syst`eme (1)-(4), des in- connues suppl´ementaires p(X, t) et q(X, t), nomm´ees respectivement “correction

´electrique” et “correction magn´etique”. Dans la suite, on se restreindra `a la dis- cussion sur la correction ´electrique.

On transforme (1) et (3) de la fa¸con suivante :

∂E

∂t −c2∇ ×B+c2∇p = −J 0

, (12)

D(p) +∇ ·E = ρ

0 , (13)

o`u D est un op´erateur que nous pr´eciserons dans la suite.

Question 2 En combinant la divergence de l’´equation (12) et la d´eriv´ee temporelle de l’´equation (13), et en supposant que (5) et (11) ne sont pas n´ecessairement v´erifi´ees, montrer que p est solution de l’´equation suivante :

∂t (D(p))−c2∆p=s , (14)

o`u s est un terme source donn´e par s = 1

0

∂ρ

∂t +∇ ·J

!

−c2∇ ·(∇ ×B). (15) On consid`ere les trois possibilit´es suivantes pour le choix deD :

1. D(p) = 0, 2. D(p) = p,

(3)

3. D(p) = ∂p∂t.

Question 3 Dans chacun de ces trois cas, quelle est la nature de l’´equation obtenue pour p (on pourra se r´ef´erer `a la classification donn´ee dans l’avant-propos de votre polycopi´e)?

Nous supposerons `a pr´esent que∀t , s(X, t)∈L2(Ω).

Question 4 Dans le cas 1., on cherche p ∈ H01(Ω). Etablir la formulation varia- tionnelle v´erifi´ee par p et justifier l’existence d’une constante K1 ind´ependante du temps et de s telle que

∀t , ||∇p(t)||L2(Ω) ≤K1||s(t)||L2(Ω) . (16) Question 5 Dans le cas 2., on cherche p∈H01(Ω). Montrer que

∀t , ||∇p(t)||L2(Ω) ≤K1

||s(t)||L2(Ω)+

∂p

∂t

L2

(Ω)

. (17) En consid´erant ensuite le produit scalaire L2(Ω) de (14) avec ∂p∂t et en supposant p suffisamment r´egulier pour ´ecrire que

Z

∇p· ∇ ∂p

∂t

!

dΩ = d dt

1 2

Z

|∇p|2dΩ

, (18)

montrer que

∂p

∂t

2

L2(Ω)

+c2 2

d dt

||∇p||2L2(Ω)≤ ||s(t)||L2(Ω)

∂p

∂t

L2(Ω)

. (19)

On choisit comme condition initialep(t= 0) = 0. En distinguant alors sur l’intervalle de simulation [0, T] les cas o`u ||∇p||2L2(Ω) est croissant ou non, montrer l’existence de deux constantes K2 et K3 ind´ependantes du temps et de s telles que

∀t ∈[0, T], ||∇p(t)||L2(Ω) ≤K2 sup

τ∈[0,T]

||s(τ)||L2(Ω) (20) et

∀t ∈[0, T], ||p(t)||L2(Ω) ≤K3 sup

τ∈[0,T]

||s(τ)||L2(Ω) . (21) Question 6 Dans le cas o`u l’on n’effectue pas cette correction, quelle est l’´equation v´erifi´ee par∇ ·E− ρ0? Qu’a-t-on gagn´e en introduisant la correction?

(4)

Passage ` a un probl` eme stationnaire pos´ e dans IR

2

.

Nous consid´erons `a pr´esent que le probl`eme est invariant selon la direction z de l’espace.

Question 7 Montrer que le syst`eme (1)-(4) peut dans ce cas se d´ecoupler en deux sous-syst`emes ind´ependants liant(Ex, Ey, Bz)d’une part et(Bx, By, Ez)d’autre part.

Nous consid´erons `a pr´esent que le comportement du syst`eme varie suffisamment lentement pour imposer ∂t = 0 dans les ´equations pr´ec´edentes.

Question 8 Montrer que E= (Ex, Ey) est solution du syst`eme suivant

∇ ×E = 0, (22)

∇ ·E = ρ 0

, (23)

o`u les op´erateurs bi-dimensionnels ∇× et ∇· sont red´efinis de la fa¸con suivante :

∇ ×E= ∂Ey

∂x − ∂Ex

∂y , (24)

∇ ·E= ∂Ex

∂x + ∂Ey

∂y . (25)

Question 9 On suppose ρ∈L2(Ω). Soit φ ∈H01(Ω) tel que

−∆φ= ρ 0

(26) V´erifier que

E=−∇φ (27)

est solution du syst`eme (22)-(23) au sens des distributions puis des fonctions.

R´ esolution num´ erique de (26)-(27).

Nous nous pla¸cons dans le domaine Ω =]0; 1[×]0; 1[ et consid´erons que la densit´e de chargeρest donn´ee. Le domaine Ω sera maill´e en triangles `a l’aide du logiciel EMC2 install´e sur le r´eseau de l’´ecole. L’´el´ement fini retenu est l’´el´ementP1 de Lagrange.

Nous noterons Υh l’ensemble des triangles du maillage,Ih l’ensemble des nœuds du maillage et IhΓ l’ensemble des nœuds du maillage situ´es sur la fronti`ere Γ. Nous d´efinissons les espaces suivants :

Vh ={ϕh ∈ C0( ¯Ω) ; ∀Kh ∈Υh , (ϕh)|Kh ∈P1(Kh)}, (28) V0h ={ϕh ∈Vh, ϕh(Xj) = 0, ∀j ∈IhΓ}, (29) o`u Xj d´esigne le couple de coordonn´ees du nœud j ∈IhΓ.

Nous rappelons qu’une base de cet espace est constitu´e des fonctionsθj avec j ∈Ih, affines sur chacun des triangles de Υh et telles que ∀(i, j), θj(Xi) =δij.

(5)

Rappelons ´egalement que le probl`eme discret surφ consiste `a trouver φh ∈ V0h tel que pour tout ψh ∈V0h,

Z

∇φh· ∇ψhdΩ =

Z

ρhψhdΩ, (30)

o`u ρh d´esigne une approximation de ρ dans Vh.

La prise en compte des conditions aux limites surφva ˆetre r´ealis´ee par une m´ethode de projection.

Soit Π la projection orthogonale deVh sur V0h.

Question 10 En munissant Vh du produit scalaire discret : (uh, vh)h = X

Kh∈Υh

|Kh| 3

X

j∈T(Kh)

uh(Xj)vh(Xj), (31) o`u T(Kh)d´esigne l’ensemble des 3 sommets du triangleKh etXj les coordonn´ees du sommet j ∈T(Kh), montrer que la matrice de Π dans la base des θj est diagonale et telle que Πii vaut 0 si i∈IhΓ et 1 sinon.

Question 11 Montrer que le probl`eme sur φh est ´equivalent `a trouver φh ∈ Vh tel queΠφhh et tel que pour tout ψh ∈Vh,

Z

∇Πφh· ∇ΠψhdΩ =

Z

ρhΠψhdΩ. (32)

Nous notons respectivement ˜Π, K etM la matrice de l’application Π, la matrice de rigidit´e usuelle et la matrice de masse dans la base des θj. Nous notons ´egalement respectivement ˜φet ˜ρles vecteurs coordonn´ees de φh et deρh dans cette mˆeme base.

Question 12 Montrer que le probl`eme pr´ec´edent est ´equivalent `a r´esoudre le syst`eme lin´eaire

ΠK˜ Π ˜˜φ= ˜ΠMρ .˜ (33)

Question 13 Montrer que compte tenu de la formule de quadrature (31), la matrice M est diagonale et donner l’expression de ses termes.

Question 14 Comment calculer alors Eh ∈(Vh)2 `a partir de φh?

Nous nous proposons enfin de r´esoudre effectivement le syst`eme lin´eaire (33) par la m´ethode du gradient conjugu´e.

Question 15 Montrer que l’application de cet algorithme `a (33) produit des it´er´es φ˜n qui v´erifient bien Π ˜˜φn= ˜φn `a condition que ce soit le cas pour φ˜0.

Question 16 Pour la distribution de charge

ρ(x, y) = sin(πx) sin(πy), (34) quelles sont les solutions analytiques not´ees φa et Ea?

(6)

Afin de mesurer l’erreur commise par l’approximation num´erique par rapport `a la solution analytique, on d´efinit

rh,φ=

R

a−φh)2 dΩ

R

φ2adΩ

!

1 2

, (35)

rh,E=

R

|Ea−Eh|2 dΩ

R

|Ea|2 dΩ

!

1 2

, (36)

o`u les int´egrales peuvent ˆetre calcul´ees par la formule de quadrature (31).

Question 17 En utilisant plusieurs maillages de niveaux de finesse diff´erents, ´etudier num´eriquement l’ordre de convergence de φh vers φa et de Eh vers Ea. Comment interpr´etez vous ces r´esultats?

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