Conservation de la charge et approximation num´ erique en
´
electromagn´ etisme
Pascal Omnes - Email : pascal.omnes@cea.fr - T´el : 01.69.08.43.57
Introduction
Les ph´enom`enes li´es `a l’´electromagn´etisme, mod´elis´es par les ´equations de Maxwell sont rencontr´es dans de nombreuses applications, parmi lesquelles nous pouvons par exemple citer les tubes micro-ondes, les diodes ioniques ou ´electroniques, les r´eacteurs `a fusion.
Nous nous proposons ici d’´etudier quelques aspects de ce syst`eme d’´equations puis de proc´eder `a la r´esolution num´erique par ´el´ements finis d’un probl`eme simplifi´e.
Nous consid´erons un domaine Ω born´e de IR3, de fronti`ere Γ. Les ´equations de Maxwell dans le vide s’´ecrivent :
∂E
∂t −c2∇ ×B = −J
0 , (1)
∂B
∂t +∇ ×E = 0, (2)
∇ ·E = ρ 0
, (3)
∇ ·B = 0, (4)
o`uE,B, ρetJ d´esignent respectivement le champ ´electrique, le champ magn´etique, la densit´e de charge et la densit´e de courant. Les constantes 0 etcsont respective- ment la permittivit´e di´electrique et la vitesse de la lumi`ere.
Les quantit´esρetJ sont de plus reli´ees par la relation suppl´ementaire suivante, dite de conservation de la charge :
∂ρ
∂t +∇ ·J = 0. (5)
On notera de plus
E0 =E(X, t= 0), (6)
ρ0 =ρ(X, t= 0), (7)
et
B0 =B(X, t= 0). (8)
On supposera que (3) et (4) sont v´erifi´ees `at= 0, c’est-`a-dire que l’on a :
∇ ·E0 = ρ0
0 dans Ω (9)
et
∇ ·B0 = 0 dans Ω. (10)
Quelques consid´ erations sur (3) et (4).
Question 1 Montrer que si (2) et (10) sont v´erifi´ees, alors (4) l’est ´egalement, et que si (1), (5) et (9) le sont, alors (3) l’est aussi.
On pourra utiliser, apr`es l’avoir montr´e, que
∇ ·(∇ ×u) = 0 ∀u. (11) C’est pourquoi l’on a tendance `a consid´erer que les ´equations (3) et (4) sont redon- dantes et `a ne r´esoudre dans la pratique que (1) et (2).
Cependant, lors des approximations num´eriques effectu´ees pour r´esoudre ce syst`eme d’´equations, il arrive fr´equemment que les termes sources ne v´erifient pas (5) de fa¸con tout `a fait exacte. De mˆeme, les op´erateurs discrets peuvent ne pas v´erifier (11) exactement.
Les relations (3) et (4) ne sont alors plus des cons´equences des autres ´equations et ne pas les prendre en compte se r´ev`ele en g´en´eral n´efaste pour la qualit´e des r´esultats num´eriques, particuli`erement “en temps long” (i.e. pour des simulations sur un grand nombre de pas de temps).
Pour rem´edier `a cela, il est possible d’introduire, dans le syst`eme (1)-(4), des in- connues suppl´ementaires p(X, t) et q(X, t), nomm´ees respectivement “correction
´electrique” et “correction magn´etique”. Dans la suite, on se restreindra `a la dis- cussion sur la correction ´electrique.
On transforme (1) et (3) de la fa¸con suivante :
∂E
∂t −c2∇ ×B+c2∇p = −J 0
, (12)
D(p) +∇ ·E = ρ
0 , (13)
o`u D est un op´erateur que nous pr´eciserons dans la suite.
Question 2 En combinant la divergence de l’´equation (12) et la d´eriv´ee temporelle de l’´equation (13), et en supposant que (5) et (11) ne sont pas n´ecessairement v´erifi´ees, montrer que p est solution de l’´equation suivante :
∂
∂t (D(p))−c2∆p=s , (14)
o`u s est un terme source donn´e par s = 1
0
∂ρ
∂t +∇ ·J
!
−c2∇ ·(∇ ×B). (15) On consid`ere les trois possibilit´es suivantes pour le choix deD :
1. D(p) = 0, 2. D(p) = p,
3. D(p) = ∂p∂t.
Question 3 Dans chacun de ces trois cas, quelle est la nature de l’´equation obtenue pour p (on pourra se r´ef´erer `a la classification donn´ee dans l’avant-propos de votre polycopi´e)?
Nous supposerons `a pr´esent que∀t , s(X, t)∈L2(Ω).
Question 4 Dans le cas 1., on cherche p ∈ H01(Ω). Etablir la formulation varia- tionnelle v´erifi´ee par p et justifier l’existence d’une constante K1 ind´ependante du temps et de s telle que
∀t , ||∇p(t)||L2(Ω) ≤K1||s(t)||L2(Ω) . (16) Question 5 Dans le cas 2., on cherche p∈H01(Ω). Montrer que
∀t , ||∇p(t)||L2(Ω) ≤K1
||s(t)||L2(Ω)+
∂p
∂t
L2
(Ω)
. (17) En consid´erant ensuite le produit scalaire L2(Ω) de (14) avec ∂p∂t et en supposant p suffisamment r´egulier pour ´ecrire que
Z
Ω∇p· ∇ ∂p
∂t
!
dΩ = d dt
1 2
Z
Ω|∇p|2dΩ
, (18)
montrer que
∂p
∂t
2
L2(Ω)
+c2 2
d dt
||∇p||2L2(Ω)≤ ||s(t)||L2(Ω)
∂p
∂t
L2(Ω)
. (19)
On choisit comme condition initialep(t= 0) = 0. En distinguant alors sur l’intervalle de simulation [0, T] les cas o`u ||∇p||2L2(Ω) est croissant ou non, montrer l’existence de deux constantes K2 et K3 ind´ependantes du temps et de s telles que
∀t ∈[0, T], ||∇p(t)||L2(Ω) ≤K2 sup
τ∈[0,T]
||s(τ)||L2(Ω) (20) et
∀t ∈[0, T], ||p(t)||L2(Ω) ≤K3 sup
τ∈[0,T]
||s(τ)||L2(Ω) . (21) Question 6 Dans le cas o`u l’on n’effectue pas cette correction, quelle est l’´equation v´erifi´ee par∇ ·E− ρ0? Qu’a-t-on gagn´e en introduisant la correction?
Passage ` a un probl` eme stationnaire pos´ e dans IR
2.
Nous consid´erons `a pr´esent que le probl`eme est invariant selon la direction z de l’espace.
Question 7 Montrer que le syst`eme (1)-(4) peut dans ce cas se d´ecoupler en deux sous-syst`emes ind´ependants liant(Ex, Ey, Bz)d’une part et(Bx, By, Ez)d’autre part.
Nous consid´erons `a pr´esent que le comportement du syst`eme varie suffisamment lentement pour imposer ∂t∂ = 0 dans les ´equations pr´ec´edentes.
Question 8 Montrer que E= (Ex, Ey) est solution du syst`eme suivant
∇ ×E = 0, (22)
∇ ·E = ρ 0
, (23)
o`u les op´erateurs bi-dimensionnels ∇× et ∇· sont red´efinis de la fa¸con suivante :
∇ ×E= ∂Ey
∂x − ∂Ex
∂y , (24)
∇ ·E= ∂Ex
∂x + ∂Ey
∂y . (25)
Question 9 On suppose ρ∈L2(Ω). Soit φ ∈H01(Ω) tel que
−∆φ= ρ 0
(26) V´erifier que
E=−∇φ (27)
est solution du syst`eme (22)-(23) au sens des distributions puis des fonctions.
R´ esolution num´ erique de (26)-(27).
Nous nous pla¸cons dans le domaine Ω =]0; 1[×]0; 1[ et consid´erons que la densit´e de chargeρest donn´ee. Le domaine Ω sera maill´e en triangles `a l’aide du logiciel EMC2 install´e sur le r´eseau de l’´ecole. L’´el´ement fini retenu est l’´el´ementP1 de Lagrange.
Nous noterons Υh l’ensemble des triangles du maillage,Ih l’ensemble des nœuds du maillage et IhΓ l’ensemble des nœuds du maillage situ´es sur la fronti`ere Γ. Nous d´efinissons les espaces suivants :
Vh ={ϕh ∈ C0( ¯Ω) ; ∀Kh ∈Υh , (ϕh)|Kh ∈P1(Kh)}, (28) V0h ={ϕh ∈Vh, ϕh(Xj) = 0, ∀j ∈IhΓ}, (29) o`u Xj d´esigne le couple de coordonn´ees du nœud j ∈IhΓ.
Nous rappelons qu’une base de cet espace est constitu´e des fonctionsθj avec j ∈Ih, affines sur chacun des triangles de Υh et telles que ∀(i, j), θj(Xi) =δij.
Rappelons ´egalement que le probl`eme discret surφ consiste `a trouver φh ∈ V0h tel que pour tout ψh ∈V0h,
Z
Ω∇φh· ∇ψhdΩ =
Z
ΩρhψhdΩ, (30)
o`u ρh d´esigne une approximation de ρ dans Vh.
La prise en compte des conditions aux limites surφva ˆetre r´ealis´ee par une m´ethode de projection.
Soit Π la projection orthogonale deVh sur V0h.
Question 10 En munissant Vh du produit scalaire discret : (uh, vh)h = X
Kh∈Υh
|Kh| 3
X
j∈T(Kh)
uh(Xj)vh(Xj), (31) o`u T(Kh)d´esigne l’ensemble des 3 sommets du triangleKh etXj les coordonn´ees du sommet j ∈T(Kh), montrer que la matrice de Π dans la base des θj est diagonale et telle que Πii vaut 0 si i∈IhΓ et 1 sinon.
Question 11 Montrer que le probl`eme sur φh est ´equivalent `a trouver φh ∈ Vh tel queΠφh =φh et tel que pour tout ψh ∈Vh,
Z
Ω∇Πφh· ∇ΠψhdΩ =
Z
ΩρhΠψhdΩ. (32)
Nous notons respectivement ˜Π, K etM la matrice de l’application Π, la matrice de rigidit´e usuelle et la matrice de masse dans la base des θj. Nous notons ´egalement respectivement ˜φet ˜ρles vecteurs coordonn´ees de φh et deρh dans cette mˆeme base.
Question 12 Montrer que le probl`eme pr´ec´edent est ´equivalent `a r´esoudre le syst`eme lin´eaire
ΠK˜ Π ˜˜φ= ˜ΠMρ .˜ (33)
Question 13 Montrer que compte tenu de la formule de quadrature (31), la matrice M est diagonale et donner l’expression de ses termes.
Question 14 Comment calculer alors Eh ∈(Vh)2 `a partir de φh?
Nous nous proposons enfin de r´esoudre effectivement le syst`eme lin´eaire (33) par la m´ethode du gradient conjugu´e.
Question 15 Montrer que l’application de cet algorithme `a (33) produit des it´er´es φ˜n qui v´erifient bien Π ˜˜φn= ˜φn `a condition que ce soit le cas pour φ˜0.
Question 16 Pour la distribution de charge
ρ(x, y) = sin(πx) sin(πy), (34) quelles sont les solutions analytiques not´ees φa et Ea?
Afin de mesurer l’erreur commise par l’approximation num´erique par rapport `a la solution analytique, on d´efinit
rh,φ=
R
Ω(φa−φh)2 dΩ
R
Ωφ2adΩ
!
1 2
, (35)
rh,E=
R
Ω|Ea−Eh|2 dΩ
R
Ω|Ea|2 dΩ
!
1 2
, (36)
o`u les int´egrales peuvent ˆetre calcul´ees par la formule de quadrature (31).
Question 17 En utilisant plusieurs maillages de niveaux de finesse diff´erents, ´etudier num´eriquement l’ordre de convergence de φh vers φa et de Eh vers Ea. Comment interpr´etez vous ces r´esultats?