FEUILLE 3 D’ANALYSE NUM ´ERIQUE
Exercice 1SoitA∈R(n,n)une matrice `a coefficients r´eels, sym´etrique, et d´efinie positive. On rappelle qu’alors les valeurs propres de A sont r´eelles et>0.
On cherche `a r´esoudre
(1) Ax=b,
avecb∈Rn un vecteur donn´e, par la m´ethode it´erative
(2) Bx(k+1)+ (A−B)x(k)=b, k= 0,1,2, ...
avecx(0) ∈Rn un vecteur initial arbitraire.
1)PrenonsB= α1I, α∈R∗. A quel intervalle appartientαpour que, quel que soitx(0), la suite (x(k)) converge vers la solution de (1) ?
2)On noteµi,i= 1,2, ..., nles valeurs propres de A, telles que 0< µ1≤µ2≤...≤µn.
On notefα(µ) = 1−αµ, 0≤α≤ µ2
n etα0=µ 2
1+µn. V´erifier quefα0(µ1) =−fα0(µn).
En d´eduire queα0 minimise max
1≤i≤n|fα(µi)|,pour α∈[0,µ2
n].
On poseB=α1I. Pour quelαla convergence de (3) est elle la plus rapide ?
Exercice 2On consid`ere la matricen×ntridiagonale
A=
a b c a b
. . . . . .
. . . c a b
c a
o`u a, b et c sont des scalaires r´eels ou complexes non nuls.
1)Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
2)Soit I=[0,1] eth=n+11 , on posexi=ihpour i= 0, .., n+ 1.
Soitu, une fonction au moins 4 fois continˆument d´erivable sur I. Montrer par la formule de Taylor que
(1) −u“(xi) = −u(xi−1) + 2u(xi)−u(xi+1)
h2 +O(h2), i= 1, ..n.
On consid`ere l’´equation diff´erentielle `a valeurs au bord
1
2 FEUILLE 3 D’ANALYSE NUM ´ERIQUE
{ −u”(x) = f(x), 0< x <1 u(0) = u(1) = 0
o`u f est une fonction donn´ee. En utilisant l’approximation de−u00(xi) donn´ee par l’expression (1) en omettant le terme enO(h2), montrer que lesui, i=1,..,n, approximations deu(xi), sont solutions du syst`eme lin´eaire
A
u1
u2
. . . un
=h2
f(x1) f(x2)
. . . f(xn)
On donnera l’expression de la matrice A.
3)Montrer explicitement que la m´ethode it´erative de Jacobi appliqu´ee au syst`eme pr´ec´edent converge.
Exercice 3SoitA= (ai,j)∈Mn(R) `a diagonale fortement dominante :
∀i∈ {1, .., n} Σn
j=1,j6=i|ai,j|≤|ai,i| On consid`ere un syst`eme lin´eaire de la formeAx=b o`ub∈Rn.
Montrer en utilisant la normek.k∞ que la m´ethode de Jacobi appliqu´ee au syst`eme est convergente.
(On rappelle que pourM = (mi,j)∈Mn(C) on akMk∞= max
1≤i≤n n
j=1Σ |mi,j |).
Exercice 4SoitA=
2 −1
−1 2
et b= 1
1
. 1)V´erifier que A est sym´etrique d´efinie positive.
2)Effectuer trois it´erations de la m´ethode du gradient en partant de x0=
3/2 2
.
3)SoitQ(x) = 12tx.A.x−ty.x. Repr´esenter graphiquement les lignes de niveau de Qainsi que les vecteursx0, x1, x2, x3.
Exercice 5SoitA=
2 −1
−1 2
et x0= x01
x02
.
1)Appliquer la m´ethode de la puissance, et calculerµ3. Comparerµ3avec la plus grande valeur propre de A.
2)Supposons que x01=x02. Calculerµ3 et conclure.
