Feuille 2 d’Analyse Num´erique Exercice 1 D´ecomposition de Cholesky. Soit A ∈ M

Feuille 2 d’Analyse Num´erique Exercice 1 D´ecomposition de Cholesky.

Soit A∈M_n(R) une matrice sym´etrique A^∗ =A et d´efinie positive, soit

n

X

i,j=1

xiaijxj >0, pour tout x= (x1, . . . , xn)6= 0.

On veut montrer qu’il existe une unique matrice triangulaire inf´erieure L tq l_ii>0,∀i, et

A=L L^∗. 1) ´Ecrire A sous la forme

A= An−1 b_n b^∗_n a_nn

! ,

avec b ∈ Rⁿ⁻¹, a_nn le coefficient correspondant de A et An−1 une matrice de Mn−1(R), sym´etrique, d´efinie, positive.

2) Supposant que An−1 = Ln−1L^∗_n−1 avec Ln−1 triangulaire inf´erieure et de dia- gonale positive. Trouver L que l’on cherchera sous la forme

L= Ln−1 0 c^∗ α_n

! ,

pour obtenir une d´ecomposition pour A.

3) Prouver par r´ecurrence que toute matrice A sym´etrique, d´efinie positive, ad- met une d´ecomposition de Cholesky.

4) Ecrire l’algorithme permettant de calculer les coefficients deLen fonction deA.

Exercice 2 D´ecomposition LU par m´ethode du pivot de Gauss.

Soit A la matrice

A=





1 1 1

2 3 4

2 5 7



.

1) D´ecrire la suite des op´erations sur les lignes pour mettre en place la m´ethode du pivot surA.

2) En d´eduire la d´ecomposition LU deA.

Exercice 3 Soit A ∈ Mn(R) dont toutes les matrices sous-diagonales sont inversibles. Calculer le nombre d’op´erations n´ecessaires pour d´ecomposer A en LU.

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