Sup PCSI 2 — Colles n◦ 7 et 8 — Quinzaine du 8/11/20010 au 19/11/2010
Les points marqu´es d’un • peuvent faire l’objet de questions de cours avec d´emonstrations d´etaill´ees. Les points marqu´es d’un ◮ se prˆetent particuli`erement `a des exercices.
1 Suites : g´ en´ eralit´ es
•D´efinition d’une suite `a valeurs dansE: c’est une fonction deNversE. Extension : suites d´efinies APCR.
Image d’une suite.
• Exemples de modes de d´efinition : explicite ; r´ecurrence du premier ordre (lien avec l’it´eration d’une fonc- tion) ; r´ecurrence du deuxi`eme ordre ; r´ecurrence compl`ete ; implicite.
•Vocabulaire g´en´eral : suites born´ees ; suite nulle, suites constantes, suites p´eriodiques.
•Vocabulaire sp´ecifique aux suites de r´eels : suites croissantes, d´ecroissantes, monotones, major´ees, minor´ees.
Comparaison de deux suites au moyen de6.
•Op´erations sur les suites de r´eels : somme, produit par λ, produit, quotient.
2 Convergence et limite
•D´efinition de la convergence d’une suite versℓ. Exemples : 1/n, 2−n; contre-exemple : (−1)n.
•Unicit´e de la limite d’une suite convergente.
•uconverge vers 0 ssi|u|converge vers 0.
•Toute suite convergente est born´ee. Contre-exemple pour la r´eciproque.
•Si uconverge vers 0 et siv est born´ee, alorsuvconverge vers 0.
•Somme, produit parλ, produit, de suites convergentes. Condition pour que la suite de terme g´en´eral 1/un
existe ; si cette condition est v´erifi´ee, et si (un) converge versℓ6= 0, alors la suite (1/un) converge vers 1/ℓ.
3 Suites extraites
•Notion de suite extraite. Une suite converge ssi toutes ses suites extraites convergent.
•Si les suites (u2n) et (u2n+1) convergent vers une mˆeme limiteℓ, alors (un) converge ´egalement versℓ.
•Utilisation de suites extraites pour ´etablir la divergence d’une suite.
4 R´ esultats sp´ ecifiques aux suites de r´ eels
•Si |u|< vet si v converge vers 0, alorsuconverge vers 0. Th´eor`eme des trois suites.
•Si une suite converge vers ℓ >0, alors ses termes majorentℓ/2 APCR.
•La limite d’une suite convergente de r´eels positifs est positive (au sens large).
•Th´eor`eme admis (de la limite monotone) : toute suite croissante et major´ee de r´eels converge ; sa limite est la borne sup´erieure de son image.
• ◮Suites adjacentes : d´efinition ; deux suites adjacentes convergent vers une mˆeme limite. Exemple : s´erie harmonique altern´ee.
•D´efinition de la divergence d’une suite de r´eels vers +∞. Pour une suite croissante : ou bien elle est major´ee (auquel cas elle converge), ou bien elle n’est pas major´ee (auquel cas elle diverge vers +∞).
5 Relations de comparaison
• Notion de suite u n´egligeable devant une suite v, notation un = o(vn), exemples, compatibilit´e avec les op´erations.
•Toute suite (un) de r´eels strictement positifs v´erifiant un+16kun APCR aveck <1 converge vers 0.
•Comparaison des suites de termes g´en´eraux respectifs¡ ln(n)¢α
(α >0),nβ (β >0), γn (γ >1) etn!.
•Notion de suites ´equivalentes, notationunn→∞g vn, exemples, compatibilit´e avec les op´erations. Lien entre cette notion et la pr´ec´edente. ´Enum´eration d’´equivalents usuels ; pour la plupart des preuves, on se ram`ene
`a des calculs de d´eriv´ees.
•Notationun=O(vn) : exemples, quelques propri´et´es.
◮Notion de d´eveloppement asymptotique ; exemple : obtention deHn = ln(n) +γ+o(1).
[Colle 2010/07-08] Compos´e le 24 octobre 2010
