On définit les suites ( ) u

PanaMaths Janvier 2014

On définit les suites ( ) ^u

_{n n∈`*}

^et ( ) ^v

_{n n∈`*}

comme suit :

2 2 2

1 1 1

1 1 ... 1

1 2

u

n

n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + × + × × + et 1

n

1

n

v u

n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= +

Montrer que les suites et ( ) ^v

_{n n∈`*}

sont adjacentes.

Analyse

Dans cet exercice, il convient de se montrer précis et rigoureux quant à l’ordre d’établissement des résultats requis (monotonies puis différence tendant vers 0).

Résolution

On remarque d’abord que les deux suites considérées sont à termes strictement positifs.

Pour tout entier naturel n non nul, on a 1

1 ^{n n}

n n n n n n

u u

v u v u v u

n n n

⎛ ⎞

= +⎜⎝ ⎟⎠ ⇔ = + ⇔ − = . On en déduit : ∀ ∈n `*,v_n−u_n >0.

On a par ailleurs, pour tout entier naturel n non nul :

( )

1

2

1 1 1

1

n n

u

u n

+ = + >

+ et on en déduit immédiatement que la suite

( )

^u_{n n∈`*} est strictement croissante.

On a également :

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

1

1 1

2 2

2 2 2

2 2 4

4 3 2

4 3 2

1 2

1 1 1 2 1 1

1 1 1 1

1

2 2 2

2 1 1

1 1 1

4 6 4

4 6 4 1

n

n n

n n

n

u n

v n n u n n

v u n u n n

n n

n n n n

n n n

n n n

n n n n

n n n n

+

+ +

⎛ + ⎞ +

⎜ + ⎟ + ⎛ ⎞

⎝ ⎠ +

= ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ = + × = + × +⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠

+ + +

+ + +

= × =

+ + +

+ + +

= + + + +

( ) ^u

_{n n∈`*}

PanaMaths Janvier 2014

Comme n est un entier naturel, on a immédiatement :

4 3 2 4 3 2

0<n +4n +6n +4n<n +4n +6n +4n+1

D’où :

4 3 2

4 3 2

4 6 4

0 1

4 6 4 1

n n n n

n n n n

+ + +

< <

+ + + + , c'est-à-dire : 0 ^{n 1} 1

n

v v

< + < et on en déduit que la suite

( )

^v_{n n∈`*} est strictement décroissante.

On a : ∀ ∈n `*,v_n−u_n >0. En tenant compte des monotonies des suites

( )

^u_{n n∈`*} ^et

( )

^v_{n n∈`*}^,

il vient : ∀ ∈n `*,u_n<v₀. Ainsi, la suite

( )

^u_{n n∈`*} est majorée. Comme elle est croissante, elle converge.

On a alors : n^lim

(

n n

)

n^{lim n 0}

v u u

→+∞ − = →+∞ n = .

La suite

( )

^u_{n n∈`*} est croissante, la suite

( )

^v_{n n∈`*} est décroissante et n^lim

(

vn un

)

⁰

→+∞ − = . On en

déduit ainsi que les suites

( )

^u_{n n∈`*} ^et

( )

^v_{n n∈`*} sont adjacentes.

Résultat final

Les suites

( )

^u_{n n∈`*} ^et

( )

^v_{n n∈`*} définies par :

2 2 2

1 1 1

*, 1 1 ... 1

1 2

n un

n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∀ ∈` = +⎜⎝ ⎟ ⎜⎠ ⎝× + ⎟⎠× × +⎜⎝ ⎟⎠ et 1

*, _n 1 _n

n v u

n

⎛ ⎞

∀ ∈` = +⎜⎝ ⎟⎠ sont adjacentes.