Suites géométriques
Exercice 1
Déterminer si les suites (un) et (vn) suivantes sont géométriques. Si oui, préciser leur raison.
1. La suite (un) est définie pour tout entier n par un=32n+1. 2. La suite (vn) est définie pour tout entier n par vn= 2n
n+1 .
Exercice 2
Les suites (un), (vn) et (wn) sont-elles géométriques ? Si oui, en donner le premier terme et la raison. Pour tout entier n :
1. un=− 2
5n ; 2. vn=22n
32n ; 3. wn+1=−wn+3 et w0=−4 .
Exercice 3
Les suites (un) et (vn), définies sur ℕ, sont-elles géométriques ? Si oui, préciser le premier terme et la raison.
1. un=52n+3 ; 2. vn=3n+2
n+1 .
Exercice 4
Soit (un) une suite géométrique de terme initial up et de raison q . Écrire l'expression du terme général de cette suite dans les cas suivants.
1. u0=2 et q=5 ; 2. u2=7 et q=0 , 1 ; 3. u0=−9 et q=1
2 ; 4. u5=1
3 et q=7 2 .
Exercice 5
1. Soit (un) une suite géométrique de raison 4 et de premier terme u0=5 . a. Pour tout entier n, exprimer un en fonction de n.
b. Calculer u10.
2. Soit (vn) une suite géométrique de raison 1
4 et de premier terme v3=16 . a. Pour tout entier n⩾3 , exprimer vn en fonction de n.
b. Calculer v8.
Exercice 6
1. Soit (un) une suite géométrique telle que u2=2 et u7=486 . Déterminer la raison q et le premier terme u0 de la suite (un).
2. Soit (vn) une suite géométrique de terme initial v1=0, 2 et telle que v4=3, 125 . Déterminer sa raison q.
Exercice 7
1. Soit (un) une suite géométrique de raison 3 et telle que u2=99 . Calculer le terme initial u0, puis u14.
2. Soit (un) une suite géométrique de raison 0 ,1 et telle que u3=8 . Calculer le terme initial u1, puis le terme u5.
Exercice 8
1. Soit (un) une suite géométrique de terme initial u0=40 et telle que u3=5 . Calculer sa raison.
2. Soit (vn) une suite géométrique de terme initial v1=0, 1 et telle que v4=21 ,6 . Calculer sa raison.
Exercice 9
1. On donne u0=6 et q=1
3 . Calculer u6. 2. On donne u1=1024 et q=1
2 . Calculer u8.
3. On donne u3=2 et u4=18 . Calculer q, u0 et u6.
Exercice 10
Donner le sens de variations de chacune des suites géométriques (un) définies sur ℕ suivantes.
1. un=2×3n ; 2. un=2×0 , 5n ; 3. un=−4×5n+1 ; 4. un=1
2×
(
34)
n ;5. un=−7×(
√
2)n ; 6. un=8√
3×10n−1 ;7. un=0 , 64×
(
− 23)
n ; 8. un=(
54)
n.Exercice 11
1. Soit (un) la suite définie pour tout entier n par un=4×2n . a. Montrer que la suite (un) est géométrique. Préciser sa raison.
b. Quelles sont les variations de (un) ?
2. Soit (vn) la suite définie pour tout entier n par vn=3n−1 5n+2 . a. Montrer que la suite (vn) est géométrique. Préciser sa raison.
b. Quelles sont les variations de (vn) ?
3. Soit (wn) la suite définie pour tout entier n par wn=3n×42n−1. a. Montrer que la suite (wn) est géométrique. Préciser sa raison.
b. Quelles sont les variations de (wn) ? Exercice 12
1. Soit (un) la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u0=4 . Calculer u1, u2 et u3. 2. Soit (vn) la suite définie pour tout entier n par vn=2un. Calculer v0, v1 et v2 puis démontrer que la suite (vn) est géométrique et donner sa raison.
Exercice 13
1. Soit (un) la suite définie pour tout entier n par un=4n−1 . a. Montrer que la suite (un) n'est pas géométrique.
b. Montrer que la suite (vn) définie pour tout entier n par vn=un+1−un est une suite géométrique dont on précisera la raison.
c. Donner les variations de (vn).
2. Soit (un) la suite définie par u0=2 et pour tout entier n, un+1=3un−2 . a. Montrer que la suite (un) n'est pas géométrique.
b. Montrer que la suite (vn) définie par vn=un−1 est une suite géométrique. Préciser sa raison.
Exercice 14
La suite (un) est géométrique et monotone telle que u2=2 et u4=9 8 . 1. Déterminer la raison de la suite (un).
2. Déterminer le sens de variation de la suite (un). 3. La suite (un) est-elle bornée ?
Exercice 15
Une population d'oiseaux d'une réserve était de de 9000 le 1er janvier dernier. Depuis cette date, elle diminue chaque jour de 2%.
1. Calculer la population d'oiseaux le 2e jour, puis le 3e jour.
2. On note p0 la population le 1er janvier et pn la population n jours après.
a. Montrer que (pn) est une suite géométrique ; préciser son terme initial et sa raison.
b. Écrire le terme de rang n de la suite (pn). Exercice 16
Une machine-outil est achetée 9000€. Elle perd chaque année 20% de sa valeur.
1. Calculer sa valeur au bout d'une année.
2. On note r0 sa valeur d'achat et rn sa valeur de revente au bout de n années.
a. Montrer que (rn) est une suite géométrique. Préciser son terme initial et sa raison.
b. Écrire l'expression de rn en fonction de n. 3. Déterminer sa valeur au bout de quinze ans.
Exercice 17
La valeur acquise cn par un capital c0 placé n années à intérêts composés au taux annuel t est : cn=c0
(
1+100t)
n. Un capital de 600€ est placé à intérêts composés au taux annuel de 4 , 25 %.1. Calculer la valeur acquise par le capital au bout d'un an puis au bout de deux ans de placement.
2. On note c0 le montant du capital placé et cn la valeur acquise par le capital après n années de placement. Montrer que (cn) est une suite géométrique. Préciser son terme initial et sa raison.
3. Écrire l'expression de cn en fonction de n, puis calculer c9.
Exercice 18
La plus grande des poupées russes mesure 10cm. La taille d’une poupée est les deux tiers de celle qui la précède. Quelle sera la taille de la cinquième poupée ?
Exercice 19
1. Pour n entier, on pose Sn=1+2+22+…+2n . Calculer S5, S20 et S50.
2. Pour n entier, on pose Sn=1+
(
12)
+(
12)
2+ …+(
12)
n. Calculer S5, S20 et S50. Exercice 20Calculer les sommes suivantes :
a. S1=1+4+42+…+410 ; b. S2=1+0 ,75+0 ,752+…+0 , 7518 ; c. S3=1+1
3+
(
13)
2+…+(
13)
7 ; d. S4=1+2+4+8+…+512 ;e. S5=1+0 , 5+0 , 25+0 ,125+…+0 ,015625 ; f. S6=1+1 4+ 1
16+ 1
64+…+ 1
1048576 ; g. S7=1+2
3+4 9+ 8
27+ …+ 128
2187 ; h. S8=2+10+50+250+…+31250 ;
i. S9=5+25 6 + 125
36 +625
216+ …+15625
7776 ; j. S10=(1−1)+(6−1)+(62−1)+…+(68−1) ;
k. S11=8+98+998+9998+ …+999998 ; l. S12=1−3+9−27+…+6561 .
Exercice 21
Calculer les sommes suivantes : a. S1=1+3+9+27+…2187 .
b. S2=u0+u1+u2+…+u7 où (un) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme 2.
c. S3=v0+v1+v2+…+v7 où la suite (vn) est définie par vn=un−1 .
Exercice 22
1. Soit (un) la suite géométrique de raison 1
5 et de premier terme u0=3 . Calculer la somme des 6 premiers termes de la suite (un).
2. Soit (vn) la suite géométrique de raison
√
2 et de premier terme v1=4 . Calculer v1+v2+v3+…+v10.3. Soit (wn) la suite géométrique de raison 2 et de premier terme w0=1 . Calculer w0+w1+w2+…wn.
Exercice 23
Soit (wn) une suite géométrique de raison 3
2 et de premier terme w0=5 . 1. Donner la valeur exacte de S=w0+w1+w2+…+w6.
2. Donner la valeur exacte de S'=w0+w1+w2+…+w10. 3. Donner la valeur exacte de S''=w7+w8+w9+w10.
Exercice 24
Déterminer un programme qui en entrée demande une valeur de n et en sortie renvoie une valeur approchée de Sn= 1
12+ 1 22+ 1
32+ 1
42+…+ 1 n2 .
Exercice 25
Jules a écrit le programme suivant :
PROGRAM : INDICE : 0→N
: 0→S :While S<5 :S+0,8N→S :N+1→N :End :DISP N
1. À quelle question répond ce programme ?
2. Le programme de Jules renvoie le nombre 104. La réponse est-elle exacte ? Exercice 26
Vers −3000 avant J.C., le roi Belkib cherche à tout prix à tromper son ennui. Il promet une récompense exceptionnelle à qui lui proposerait une distraction qui le satisferait. Le sage Sissa lui présente le jeu d’échecs. Le souverain, enthousiaste, demande à Sissa ce que celui-ci souhaiterait en échange de ce cadeau extraordinaire ! Humblement, Sissa demande au prince de déposer un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite pour remplir l’échiquier en doublant la quantité de grain à chaque case. Le prince accorde
immédiatement cette récompense. Sachant qu'un grain de riz pèse en moyenne 0 , 03g , est-ce une bonne affaire ?
Exercice 27
Une retenue d’eau artificielle est alimentée par un ruisseau dont le débit diminue de 20% d’un jour sur l’autre à cause de la sécheresse. Pour la journée du 1er juin, son débit D0 est égal à 300m3. Pour n entier, on note Dn le débit pour le n-ième jour après le 1er juin, en m3.
1. Calculer le débit D1 pour le 2 juin.
2. Quelle est la nature de la suite (Dn) ? En déduire l’expression de Dn en fonction de n. 3. Calculer le volume d’eau apporté dans la retenue au cours des 30 jours du mois de juin. On arrondira le résultat au mètre cube.
Exercice 28
À l’instant t=0 (en heure) on injecte dans le sang d’un patient par piqûre intraveineuse une dose de 1, 8mg d’un médicament. On suppose que le médicament se répartit instantanément dans le sang et qu’il est progressivement éliminé : on considère que le corps élimine chaque heure 30% du médicament présent dans l’organisme. Pour tout entier n, on note Rn la masse (en mg) de
médicament présente dans le sang au bout de n heures. Ainsi R0=1 ,8 . 1. Calculer R1 et R2.
2. Justifier que la suite (Rn) est géométrique (on précisera la raison). Quelle est son sens de variation ? Interpréter. Quelle est sa limite ? Interpréter.
3. À l’aide de la calculatrice, déterminer :
• le plus petit rang n1 tel que pour tout entier n⩾n1 la masse Rn est inférieure à la moitié de la masse initiale.
• le plus petit rang n2 tel que pour tout entier n⩾n2 la masse Rn est inférieure à 0 ,1mg.
• le plus petit rang n3 tel que pour tout entier n⩾n3 la masse Rn est inférieure à 0 , 01mg .
QCM
Pour chaque question, indiquer la ou les bonne(s) réponse(s).
1. Les suites ci-dessous sont géométriques : a. un=2×4n b. vn= 3
4n+1 c. wn=2n d. zn=3×2n−1
2. Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0=2 et de raison q=3 . L'expression du terme général est :
a. un=2×3n+1 b. un=2×3n c. un=3×2n+1 d. un=3×2n
3. Soit (un) une suite géométrique de premier terme u1=2 et de raison q=7
2 . L'expression du terme général est :
a. un=7
2×2n−1 b. un=7
2×2n c. un=2×
(
72)
n d. un=2×(
72)
n−14. Soit (un) une suite géométrique telle que u4=4 et u6=36 . Les valeurs possibles de u5 sont :
a. −3 b. 3 c. −12 d. 12
5. Les suites croissantes sont :
a. un=4n+5 b. vn=3n c. wn=10×0 , 5n d. zn=2×1, 01n 6. Soit (un) la suite géométrique de raison 2 et de premier terme u0=3 . Alors la somme
S10=u0+u1+u2+…+u10 est égal à :
a. 2047 b. 177146 c. 253 d. 6141
7. Soit q un réel tel que 1+q+q2+…+q5=19608 . Alors q est égal à :
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7
8. Soit (un) la suite arithmético-géométrique qui vérifie u0=2 et pour tout entier n, un+1=2un−1 . Alors, pour tout entier n, on a :
a. un=2n b. un=2n−1 c. un=2n+1 d. un=2n−1
9. On définit la suite (un) par u0=4 et pour tout entier n, un+1=−0 , 4un+1750 . On définit la suite (vn) pour tout entier n par vn=un−1250 . Alors :
a. (vn) est arithmétique b. (vn) est géométrique c. (un) est arithmétique d. (un) est géométrique
10. En 2011, la facture de gaz d'une entreprise s'élève à 148000€. À partir de 2011, la facture de gaz augmente de 5% par an. À partir de quelle année cette facture dépassera-t-elle 200000€ ?
a. 2020 b. 2017 c. 2018 d. 2019
Problèmes : Suites arithmétiques et géométriques
Problème 1 ...Partager en trois...
On partage un carré de côté 1 en quatre carrés de même taille et on noircit le carré inférieur gauche.
On applique le procédé au carré en haut à droite. Et ainsi de suite. Quelle sera l’aire de la partie noire lorsqu’on poursuit indéfiniment la construction ?
Problème 2 …Comparaison de crédit...
Vincent veut emprunter 2500€ pour un achat. Le vendeur lui propose de choisir entre deux formules de crédit sur 12 mois.
Proposition 1 : la première mensualité est de 400€ et chaque mois les mensualités suivantes diminuent de 30€ par rapport au mois précédent.
Proposition 2 : la première mensualité est de 400€ et chaque mois, les mensualités suivantes diminuent de 10% par rapport au mois précédent.
Déterminer quelle est la proposition la plus avantageuse pour Vincent.
Problème 3 ...Suite royale...
Un roi décide de répartir son héritage en pièces d’or à ses quatre enfants. Il répartit ainsi les pièces : il donne 200 pièces d’or à l’aîné et il donne à chacun des enfants suivants, la moitié du montant donné à l’enfant précédent plus 40 pièces d’or. À combien de pièces d’or s’élève l’héritage du roi ?
Problème 4 ...Balle de match...
Le tournoi de tennis hommes de Roland-Garros se dispute en 7 tours successifs. Combien y avait-il de joueurs au départ et combien de matchs ont été joués ?
Problème 5 ...Paradoxe de Zénon...
Un archer tire une flèche. Pour atteindre la cible, la flèche doit parcourir la moitié de la distance qui la sépare de la cible, puis la moitié de la distance qui reste, puis la moitié de la distance qui reste, etc... Elle ne peut donc jamais atteindre la cible. Où est l'erreur dans ce raisonnement ?
Problème 6 …Somme...
On considère la suite (un) définie par u0=6 et, pour tout n∈ℕ, un+1=3un+5 et la suite (vn) par vn=un−a.
1. Déterminer le réel a pour que la suite (vn) soit géométrique. Préciser alors sa raison.
2. On suppose dans la suite de l'exercice que a=−5
2 . Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n, puis un en fonction de n. Enfin, calculer la somme S=u0+u1+…+un.
Problèmes : Suites arithmético-géométriques
Problème 1 ...Une étude classique...
Soit (un) la suite définie par u0=10 et pour tout n∈ℕ, un+1=2un−1 . Soit (vn) la suite définie pour tout n∈ℕ par vn=un−1 .
1. Calculer les trois premiers termes des deux suites.
2. Démontrer que la suite (vn) est géométrique. Exprimer alors (vn) en fonction de n. 3. Démontrer que pour tout entier n on a : un=9×2n+1 .
4. Déterminer le sens de variation de (un) ainsi que sa limite.
Problème 2 ...Opérateur de téléphonie mobile...
Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8% de ses précédents abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés. En 2013 le nombre d’abonnés est de 20 millions. On s’intéresse au nombre d’abonnés, en millions, pour l’année
2013+n. En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite (un) définie pour tout entier naturel n, par : u0=20 et un+1=0 , 92un+3 . Le terme un donne une estimation du nombre d’abonnés pour l’année 2013+n.
Partie A
1. a. En utilisant cette modélisation, l’opérateur décide d’arrondir les résultats à 10−3. À quoi correspond ce choix d’arrondi ?
b. Déterminer le nombre d’abonnés en 2014 et en 2015.
2. On définit la suite (vn) par vn=un−37 , 5 pour tout entier naturel n.
Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison 0 , 92 . Préciser son premier terme.
3. Exprimer vn en fonction de n.
En déduire que, pour tout entier naturel n, un=−17 ,5×0 ,92n+37 ,5 . 4. Déterminer le nombre d’abonnés en millions en 2020. Arrondir à 10−3. 5. Déterminer la limite de la suite (un).
6. L’opérateur peut-il espérer dépasser 30 millions d’abonnés ? Partie B
Compte tenu des investissements, l’opérateur considère qu’il réalisera des bénéfices lorsque le nombre d’abonnés dépassera 25 millions.
1. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin de déterminer le nombre d’années nécessaires à partir de 2013 pour que l’opérateur fasse des bénéfices.
Variables : N un nombre entier naturel non nul U un nombre réel
Traitement : Affecter à U la valeur 20 Affecter à N la valeur 0 Tant que …..
Affecter à U la valeur 0 , 92×U+3 Affecter à N la valeur N+1 Fin tant que
Sortie : Afficher …..
2. En quelle année l’opérateur fera-t-il des bénéfices pour la première fois ?
Problème 3 …Abonnement magazine...
Soit (un) la suite définie par u0=8 et pour tout entier nature, un+1=0 , 85un+1, 8 .
1. Sur une feuille de papier millimétré construire un repère orthonormé (unité 1cm), où l'axe des ordonnées est placé à gauche de la feuille.
a. Dans ce repère, placer les droites d'équations respectives y=0 , 85x+1, 8 et y=x.
b. Dans ce repère, placer u0 sur l'axe des abscisses, puis en utilisant les droites précédemment tracées, construire sur le même axe u1, u2 et u3. On laissera apparent les traits de construction.
c. À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite (un).
2. Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn=un−12 .
a. Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme de la raison.
b. Exprimer pour tout entier n, vn n fonction de n.
c. En déduire que pour tout entier naturel n, un=12−4×0 , 85n. d. Donner le sens de variation de la suite (vn).
En déduire celui de la suite (un). e. Déterminer la limite de la suite (un).
3. Un magazine est vendu uniquement par abonnement. On a constaté que :
• Il y a 1800 nouveaux abonnés chaque année ;
• d'une année sur l'autre, 15% des abonnés ne se réabonnent pas.
En 2008, il y avait 8000 abonnés.
a. Montrer que cette situation peut être modélisée par la suite (un) où un désigne le nombre de milliers d'abonnés en (2008+n).
b. En utilisant la question 2.c, calculer une estimation du nombre d'abonnés en 2014.
Problème 4 …Une histoire de rebond...
La hauteur atteinte par une balle diminue de 19% à chaque rebond. Le temps entre chaque rebond diminue lui de 10%.
1. Une balle est lancée sur le sol. On appelle un la hauteur maximale en mètre de la balle après le n-ième rebond et vn le temps en seconde séparant le n-ième rebond du suivant.
On donne u1=1, 25 et v1=1 .
a. Exprimer un+1 en fonction de un. Que peut-on en déduire pour la suite (un) ? Quelle est sa limite ?
b. Exprimer vn+1 en fonction de vn . Que peut-on en déduire pour la suite (vn) ? Quelle est sa limite ?
c. Pour n strictement positif, exprimer vn en fonction de n.
2. Soit (wn) la suite définie pour tout entier strictement positif par la somme des n premiers termes de la suite (vn).
a. Pour n strictement positif, exprimer wn en fonction de n.
b. Étudier la limite de la suite (wn). Comment interpréter ce résultat ? c. Quelle sera la distance totale parcourue par la balle avant son arrêt ?
Problème 5 ...Coronavirus...
Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent pendant une période d'épidémie de coronavirus.
– Un salarié malade est absent
– La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade
– Si la semaine n le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine n+1 avec une probabilité égale à 0 , 04
– Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n+1 avec une probabilité égale à 0 , 24
On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par En l'événement « le salarié est absent pour causse de maladie la n-ième semaine ». On note pn la probabilité de l'événement En. On a ainsi p1=0 et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, 0⩽pn⩽1 .
1. a. Déterminer la valeur de p3 à l'aide d'un arbre de probabilité.
b. Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
2. a. Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité donné ci-dessous.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, pn+1=0 , 2 pn+0 ,04 .
c. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par un=pn−0 , 05 . Montrer que (un) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
En déduire l’expression de un puis de pn en fonction de n. d. En déduire la limite de la suite (pn).
e. On admet dans cette question que (pn) est croissante. On considère l’algorithme suivant : Variables K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel
Initialisation P prend la valeur 0 J prend la valeur 1 Entrée Saisir la valeur de K Traitement Tant que P<0 , 05−10−K
P prend la valeur 0 , 2×P+0, 04 J prend la valeur J+1
Fin tant que Sortie Afficher J
À quoi correspond l'affichage final ? Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
