Chapitre n°7: Suites, partie 2/2
Objectifs :
1. Savoir utiliser le théorème de convergence des suites croissantes majorées.
Cours n°1
Chapitre n°7: Suites, partie 2/2
I) Convergences des suites monotones
Définition n°1
Une suite ( u
n) est dite majorée (respectivement minorée) s'il existe un réel M , tel que, pour tout n,...(respectivement …...)
Propriété n°1
Si une suite ( u
n) est croissante (respectivement décroissante) et converge vers un nombre réel l, alors la suite ( u
n) est …...
(…...) Autrement dit :
Une suite croissante et convergente est …...
Une suite décroissante et convergente est …...
Démonstration (R.O.C.) : (par l'absurde)
Supposons que ( u
n) soit croissante, converge vers un nombre l et ne soit pas majorée.
Alors, quelque soit le nombre réel A choisi,...
…...
Choisissons A = l.
En ce cas, u
n0>...., donc l'intervalle ] l – 1 ; u
n0[ …... …..
lim
n
→+∞ u
n=l , donc, ... …... …... …... …...
…..., I
…... …... les termes de la suite.
Choisissons le rang n
2le plus grand entre n
0et n
1: à partir de ce rang n
2, tous les termes de la suite sont …... ...
Donc n
2... n
0et u
n2… u
n0(puisque u
n2…... ).
Mais la suite ( u
n) est …..., ce qui est contradictoire.
Donc ( u
n) est …...
Exemple n°1
On donne la suite ( u
n) définie par u
n= 1
n ² . Est-elle majorée? Minorée ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°2 (admise)
Une suite croissante et majorée …...
Une suite …... et minorée …...
Propriété n°3
Une suite convergente est …...
(Donc une suite non bornée est …...)
Démonstration : lim
n
