Doc généré n° 1 : Chapitre n°7: Suites, partie 2/2 Objectifs :

(1)

Doc généré n° 1 : Chapitre n°7: Suites, partie 2/2

Objectifs :

Niveau a eca n

C7.a 1 Savoir utiliser le théorème de convergence des suites

croissantes majorées/décroissantes minorées.

Cours n°1

Chapitre n°7: Suites, partie 2/2 I) Convergences des suites monotones

Définition n°1

Une suite ( ^un) est dite majorée (respectivement minorée) s'il existe un réel M , tel que, pour tout n,...(respectivement …...)

Propriété n°1

Si une suite ( ^un)est croissante (respectivement décroissante) et converge vers un nombre réel l, alors la suite( ^un)est …...

(…...) Autrement dit :

Une suite croissante et convergente est …...

Une suite décroissante et convergente est …...

Démonstration (R.O.C.) : (par l'absurde)

Choisissons une suite( ^un)croissante et convergente vers un nombre l Supposons que( ^un)ne soit pas majorée.

( ^un)converge vers l: Il existe n1 tel que,

quelque soit ………., un appartient à l'intervalle ] l – 1; l + 1[ . (1)

( ^un)est non majorée, donc, quelque soit le nombre réel A choisi, il existe au moins un n0 tel que, un₀ est ...…

Choisissons A = l+2: un₀… ……….(2) Deux cas :

Si le rang n0 > n1 :

D'après (1): un₀appartient aussi à ……….., donc un₀<……

D'après (2) : un₀> ……….

C'est contradictoire ! Donc notre supposition est ………...

Donc (u_n) est ………

Si le rang n0 < n1, (2) donne un₀… ………. et (1) implique que un₁… ……….^.

Donc un₀… un₁(3)

Mais (u_n) est ………. C'est contradictoire ! Donc notre supposition est

……… Donc (u_n) est ………

(2)

Exemple n°1

On donne la suite( ^un)définie par u_n=1

n². Est-elle majorée? Minorée ?

...

Propriété n°2 (admise)

Une suite croissante et majorée …...

Une suite …... et minorée …...

Propriété n°3

Une suite convergente est …...

(Donc une suite non bornée est …...) Démonstration :

lim

n → + ∞

u_n=l Donc, il existe un rang n0 à partir duquel …...

…...

...

Exemple n°2

On donne la suite ( ^un) définie par u₀ = 75 et u_n+1=0,6u_n+50.

1. Démontrer que, pour tout entier n, u_n<u_n+1⩽125.

...

2/9

(3)

...

2. En déduire que ( ^un)que est convergente.

...

(4)

Se tester C7_1 (/9) Objectifs :

Niveau a eca n

C7.a 1 Savoir utiliser le théorème de convergence des suites.

Ex.1 [2+1+1]

On donne la suite ( ^un) définie par un= ²

8npour n ∈ N^*. Est-elle majorée? Minorée ? ...

...

Ex.2

On donne la suite ( ^un) définie par u₀ = 0 et un+1=0,1un+4

1. [2+1,5] Démontrer que, pour tout entier n, un<un+1 et un<⁴⁰

9 .

...

...………..

2. [1,5]En déduire que ( ^un) est convergente.

...

...………...

4/9

(5)

Résultats Ex.1 : La suite est minorée par 0 et majorée par 1

4 Ex.2 : Réponses données.

Interrogation n°1 Objectifs :

C7.a_Niv1 :Savoir utiliser le théorème de convergence des suites croissantes majorées/décroissantes minorées.

Exercice n°1 Ex.32 p.23 Exercice n°2

Ex.34 p.23 Exercice n°3*

Ex.41 p.23 Exercice n°4**

Ex.91 p.27 Exercice n°5***

Sujet D p.36 Exercice n°6**

Ex.127 p.37 Exercice n°8***

Ex.131 p.38

(6)

Résultats ou indices

Ex.1 (32 p.23) : 2. Non

Ex.2 (34 p.23) : 1b. Oui 1c. Oui 2. positif 3. Hypothèse confirmée.

Ex.3 (41 p.23) : 1b. Minorée par -4. 3. décroissante.

Ex.4 (91 p.27) : /

Ex.5 (D p.36) : 1.a. 1.b. décroissante et → 1.

3.b. u_n=4n+15 4n+3 3.c. 1.

Ex.6 (125 p.37) : 1.

3. décroissante 4. 3.

Ex.7 (127 p.37) : 1.b. 0.3. (un) est croissante et (vn) est décroissante.

Ex.8 (133 p.38) : 1.c. 5

Ex.9 (131 p.38) : 1.a.u2=125. 2.a.v1=500. 2.b. 1,05 2.d. 10000(1,05ⁿ–1) 3. Au bout de 22 jours, Marc aura gagné 10000€.

6/9

(7)

(8)

8/9

(9)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...