Chapitre n°1 : Suites, partie 1/2
Objectifs :
1. →Savoir mener un raisonnement par récurrence.
2. → Savoir déterminer, dans le cas d'une limite infinie pour une suite croissante, à l'aide d'un algorithme, un rang à partir duquel un est supérieur à A.
3. → Savoir démontrer que si un< vn à partir d'un certain rang et si lim
n→+∞un = +∞, alors
lim
n→+∞vn = +∞.
4. → Savoir étudier les limites d'une somme, d'un produit et d'un quotient de deux suites.
5. → Savoir déterminer la limite éventuelle d'une suite géométrique.
Référence du manuel : Bordas, indice TS prgm 2012
Activité d'approche n°1 : construction du raisonnement par récurrence.
On considère la suite définie par
{ un+1=u u
0=1
n+ 2 n−1
1. Calculer les trois premiers termes de la suite.
…...
...
...
2. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, afficher les termes de la suite de u0 à u11
…...
...
...
...
...
...
...…
...…
...…
...…
...…
...…
3. Représenter
graphiquement l'ensemble des points (n; un) pour n
∈[0;11] :
4. Conjecturer l’expression de un en fonction de n. Vérifier cette conjecture pour des grandes valeurs de n (par exemple : n = 100, n= 557 …)
…...
…...
5. On définit, pour tout entier n, la propriété P(n) par : un=(n – 1)2. a. Qu'est-ce que l'étude précédente laisse penser de la propriété P ?
…...
…...
b. Démontrer, en utilisant la définition de la suite donnée au départ, que, si P(n) est vraie, alors P(n+1) est aussi vraie (on dit que P est héréditaire) :
…...
…...
...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
c. Démontrer que P(0) est vraie.
…...
…...
…...
…...
d. On sait maintenant que P(0) est vraie, et que, si P(n) est vraie, alors P(n+1) est aussi vraie. Que peut-on en déduire, et pourquoi ?
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
Activité d'approche n°2 : construction du raisonnement par récurrence (suite)
On considère la suite définie par
{ un+1=u u
0=2
n+ 2 n−1
1. On définit, pour tout entier n, la propriété P(n) par : un=(n – 1)2. Conjecture-t- on toujours que, pour tout entier n, P(n) est vraie ? Argumenter.
…...
...
...
2. Démontrer que P est cependant toujours héréditaire.
…...
...
…...
...
…...
...
…...
...
3. Que faudrait-il pour que le raisonnement par récurrence « fonctionne » ?
…...
...
...
Cours n°1
Chapitre n°1 : Suite, partie 1/2
Remarque :
Toutes les notions relatives aux suites vues en 1ère sont nécessaires (croissance et décroissance, suites arithmétiques, géométriques, somme des premiers termes, etc.)
I) Le raisonnement par récurrence
Définition n°1 :
On dit que la propriété P est héréditaire à partir du rang n0 si elle possède la propriété : si pour un entier n supérieur ou égal à n0 , …... est vraie alors
…...
.
P(n) s'appelle l'hypothèse de récurrence.
Axiome de récurrence :
Si la propriété P(n0) est vraie (initialisation) et la propriété P est héréditaire à partir de n0 , alors
…...
…...
...
Remarques :
a. L’entier n0 , rang initial est souvent 0 ou 1, mais pas toujours.
b. Une démonstration par récurrence comporte trois étapes :
l’i………., l’h………. de la propriété et la c……….
c. L’initialisation est importante. Une propriété peut être héréditaire sans pour autant être vraie. Par exemple, pour n entier naturel, la propriété : « (10n+1) est divisible par 9 » est héréditaire, mais fausse. Il manque l’initialisation.
Exemple n°1 (Inégalité de Bernoulli)
Démontrer l'assertion suivante : Soit a un réel strictement positif. Alors, pour tout n entier naturel, (1+a)n 1 + na.
1) I... :
…...
...
...
...
...
2) H... :
…...
...
...
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3) C... :
…...
...
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Activité rapide :
…...
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Exercice n°1 Ex.1 p.22
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Exercice n°2*
Ex.4 p.22
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Exercice n°3*
Ex.42 p.24
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Exercice n°4**
Ex.44 p.24
…...
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Activité d'approche n°3 : Convergence ou non
Un éditeur veut faire paraître un nouveau magazine mensuel intitulé
«SESAMATH », sachant qu’un nouveau magazine reste rentable pour lui, dès lorsque le nombre d’abonnés reste supérieur ou égal à 3000. Il réalise une étude de marché qui révèle que le nombre d’abonnés serait de 8000 la première année, que le taux de réabonnement serait de 80 % et que chaque année, il y aurait 600 nouveaux abonnés.
n étant un entier naturel non nul, on note, dans cette activité, an le nombre d’abonnés à l’année n. On suppose que : a1 = 8000.
1. Estimation
À l’aide d’un tableur,
a. Déterminer le nombre d’abonnés des premières années. En colonne B, on donnera le résultat de an et en colonne C le résultat arrondi à l’entier.
…...
…...
…...
...
...
b. Représenter graphiquement le nombre d’abonnés en fonction de l’année.
c. Conjecturer alors le comportement de ce nombre d’abonnés au fur et à mesure que les années s’écoulent.
…...…...
…...…...
…...…...
…...
d. Le magazine semble-t-il pérenne ?
…...
...
2. Point de vue mathématique
Dans cette partie, n est un entier naturel supérieur ou égal à 1.
a. Expliciter une relation entre an+1 et an.
…...
…...
b. On définit, pour tout n entier naturel non nul, la suite (bn) par bn = an – 3000. Montrer que la suite (bn) est géométrique, puis déterminer les éléments caractéristiques de cette suite ainsi qu’une formule explicite de bn.
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
c. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, an en fonction de n.
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
d. Justifier que la suite (an) est strictement décroissante et qu’elle est minorée par 3000.
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
e. La suite (an) peut-elle atteindre 3000 ? Pourquoi le tableur affiche-t-il pour autant an = 3000, à partir d’un certain rang ?
…...
…...
…...
…...
…...
…...
f. Écrire un algorithme permettant de savoir à partir de quel rang (an - 3000)0,5.
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
g. Pour ou contre ? Commenter la phrase suivante : « Tout intervalle contenant 3000 contient toutes les valeurs an, à partir d’un certain rang ».
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
h. Conclure sur l’évolution dans le temps du nombre d’abonnés au magazine
« SESAMATH ».
…...
…...
…...
…...
…...
…...
Exercice n°5 Ex.8 p.22
…...
...
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...
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Exercice n°6*
Ex.9 p.22
…...
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Exercice n°7*
Ex.11 p.22
…...
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Exercice n°8*
Ex.12 p.22
…...
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Cours n°2
II) Limite finie d'une suite
Définition n°2
La suite (un) admet pour limite le nombre réel L si, quand on choisit un intervalle ouvert contenant L, il existe toujours un n0 à partir duquel
…...
…...
…...
…...
À partir d'un certain rang, les termes de la suite « s'accumulent » autour de L.
Notation
On dit que la suite (un) converge vers L et on note : …...
…...
Remarque :
Une suite qui ne converge pas est une suite qui diverge, soit vers + ∞ ou - ∞, soit parce qu'elle oscille continuellement de manière aléatoire ou non exemple : (-1)n)
Exemple n°2 :
Soit la suite (un) définie par un=5
n2 . Cette suite est-elle convergente ? Justifier.
Intuitivement, on voit que un converge et que L = ...
Soit un intervalle ouvert du type ]-a;+a[ , a étant un réel strictement positif.
Cherchons à partir de quel rang n0 on aura 5 n2<a :
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
Conclusion :
…...
…...
…...
…...…
Exemple n°3
Soit la suite (vn) définie par vn+1= 5
vn . et v0=−1. Cette suite est-elle convergente ? Justifier.
Intuitivement, on voit que vn …...
Démonstration par récurrence :
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
III) Limite infinie d'une suite
Définition n°3
La suite (un) admet pour limite l'infini si , quand on choisit un intervalle ouvert de la forme ]A;+∞[, il existe toujours un n0 à partir
duquel ...
...
...
…...
...
Exemple n°4
Soit la suite (wn) définie par wn+1=5+n2. Déterminer la limite de cette suite.
Intuitivement, on voit que wn …...
Soit un intervalle ouvert du type ]A;+∞[ , A étant un réel strictement plus grand que 5.
Cherchons à partir de quel rang n0 on aura 5+n2>A :
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
Conclusion :
…...
…...
…...
…...
…...
Activité rapide :
…...
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Exercice n°9**
Ex.54 p.25
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Exercice n°10**
Ex.55 p.25
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Activité d'approche n°3 : opérations sur les suites
1. De façon intuitive, compléter les tableaux suivants : Somme de deux suites
un vn lim
n→+∞un lim
n→+∞vn un + vn lim
n→+∞un+vn
2n² –n² … … … …
n² –n² … … … …
n + 1
n –n … … … …
n² – 1 –2n² … … … …
Produit de deux suites
un vn
lim
n→+∞un lim
n→+∞vn un vn lim
n→+∞unvn
2n² 1
n … … … …
n² 2
n2 … … … …
3n 1
n2 … … … …
Quotient de deux suites
un vn lim
n→+∞un lim
n→+∞vn un
vn lim
n→+∞
un vn
2n² n … … … …
n² -n² … … … …
n -n² … … … …
1 n
1
n2 … … … …
1 n2
1
n2 … … … …
1 n2
1
n … … … …
2. Généralisation
On considère deux suites (un) et (vn). On connaît les limites de ces deux suites. L et L’ sont des nombres réels.
1. Addition : étude de lim
n→ ∞(un+vn) lim
n→ ∞un → lim
n→ ∞vn ¯
L + ∞ – ∞
L' ... ... ...
+ ∞ ... ... ...
– ∞ ... ... ...
2. Produit : étude de lim
n→ ∞(un×vn) lim
n→ ∞un → lim
n→ ∞vn ¯
L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞
L'<0 ... ... ... ... ...
L'>0 ... ... ... ... ...
L'=0 ... ... ... ... ...
+ ∞ ... ... ... ... ...
– ∞ ... ... ... ... ...
3. Quotient
On suppose que pour tout entier naturel n, vn est différent de zéro. On étudie limn→ ∞
un vn lim
n→ ∞un → lim
n→ ∞vn ¯
L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞
L'<0 ... ... ... ... ...
L'>0 ... ... ... ... ...
L'=0 ... ... ... ... ...
+ ∞ ... ... ... ... ...
– ∞ ... ... ... ... ...
Cours n°3
IV) Opérations sur les limites
Propriété n°1
Si lim
n→+∞un= +∞ et un≠0 à partir d'un certain rang, alors lim
n→+∞
1 un=....
Si lim
n→+∞un= −∞ et un≠0 à partir d'un certain rang, alors lim
n→+∞
1 un=....
Démonstration :
Si lim
n→+∞un= +∞, quelque soit le nombre A positif choisi, il existe n0 tel que, quelque soit n>n0, un>A.
Donc, il existe n0 tel que, quelque soit n>n0, 1 un<1
A .
Donc, si l'on choisit un nombre quelconque a, il suffit de prendre A= 1
a : il y aura un rang à partir duquel un>A, et donc à partir duquel 1
un<1 A soit
1 un<a.
Donc lim
n→+∞
1 un=0.
Propriété n°2 : somme de limites
lim
n→ ∞un → lim
n→ ∞vn ¯
L + ∞ – ∞
L' ... ... ...
+ ∞ ... ... ...
– ∞ ... ... ...
Propriété n°3 : produit de limites : étude de lim
n→ ∞(un×vn) lim
n→ ∞un → lim
n→ ∞vn ¯
L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞
L'<0 ... ... ... ... ...
L'>0 ... ... ... ... ...
L'=0 ... ... ... ... ...
+ ∞ ... ... ... ... ...
– ∞ ... ... ... ... ...
Propriété n°4 : quotient de limites
On suppose que pour tout entier naturel n, vn est différent de zéro. On étudie lim
n→ ∞
un vn lim
n→ ∞un → lim
n→ ∞vn ¯
L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞
L'<0 ... ... ... ... ...
L'>0 ... ... ... ... ...
L'=0 ... ... ... ... ...
+ ∞ ... ... ... ... ...
– ∞ ... ... ... ... ...
Exemple n°5 :
Soit un= –2n2 – 5n. Déterminer lim
n→+∞un
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
...
Exemple n°6 :
Soit vn= –2n2 + 5n. Déterminer lim
n→+∞vn
...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
Exemple n°7 :
Soit wn= n2–1
n . Déterminer lim
n→+∞wn
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
Activité rapide :
…...
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Exercice n°11*
Ex.13 p.22
…...
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Exercice n°12*
Ex.14 p.22
…...
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Exercice n°13*
Ex.15 p.22
…...
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Exercice n°14**
Ex.67 p.26
…...
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Exercice n°15*
Ex.68 p.26
…...
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...…
Exercice n°16**
Ex.69 p.26
…...
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...
...
...
...…
Cours n°4
V) Limites et comparaison de suites
Propriété n°5 :
1. Si (un) et (vn) sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang n1, vnun, et
lim
n→+∞un=+∞, alors
…...
2. Si (un) et (vn) sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang n1, vnun, et
lim
n→+∞un=−∞, alors
…...
Démonstration (exigible) :
Démontrons le 1 : choisissons un nombre réel A, on a lim
n→+∞un=+∞ . Donc il existe un rang n0 à partir duquel un est dans l'intervalle ]A;+∞[.
De plus, à partir d'un certain rang n1,
...
...
...
Donc, choisissons un rang n2 tel que
...
Alors
…...
Donc :
…...
Le 2 se démontre de façon équivalente.
Exemple n°8 :
Soit la suite (vn) définie par vn=2n + 1 + sinn. Déterminer lim
n→+∞vn.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Propriété n°6 : le théorème des « gendarmes »
Si (un), (vn) et (wn) sont trois suites telles que, à partir d'un certain rang n1,
unvnwn , et lim
n→+∞un= lim
n→+∞wn=L, alors
…...
…...
Exemple n°9 :
Soit la suite (vn) définie par vn=sinn
n . Déterminer lim
n→+∞vn.
...
...
...
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...…
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Exercice n°17 Ex.18 p.22
…...
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Exercice n°18 Ex.20 p.22
…...
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...…
Exercice n°19 Ex.71 p.26
…...
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Exercice n°20*
Ex.23 p.22
…...
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...
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...
...
...
...
...
...…
Cours n°5
VI) Limite des suites géométriques
Propriété n°7
Soit q la raison d'une suite géométrique : a. Si q-1 alors lim
n→+∞qn.... b. Si -1<q<1 alors lim
n→+∞qn.... c. Si q=1 alors lim
n→+∞qn...
d. Si q>1 alors lim
n→+∞qn....
Démonstration (exigible) :
On ne démontre que le d.
...
...
...
...…
...
...
...
...…
...
...
...
...
Exemple n°10 :
Soit la suite (wn) définie par wn=2
3n . Étudier la convergence de (wn).
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°11 :
Soit la suite (un) définie par un= −3(
√
2)n . Étudier la convergence de (un)....
...
...
...…
...
...
...
...
Exemple n°12 :
Soit la suite (vn) définie par vn= (−3)n
5 . Étudier la convergence de (vn).
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Exemple n°13 :
Soit la suite (zn) définie par zn=
∑
p=0 n−1
qp . Étudier la convergence de (zn) en fonction de q.
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Exercice n°21 Ex.25 p.23
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Exercice n°22*
Ex.29 p.23
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Exercice n°23**
Ex.73 p.26
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Exercice n°24**
Ex.74 p.26
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Exercice n°25**
Ex.77 p.26
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Exercice n°26***
Sujet B p.35
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Exercice n°27***
Sujet E p.36
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Exercice n°28***
Ex.135 p.37
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Résultats ou indices
Remarque :
Ces résultats permettent de savoir si l'on a faux ou juste, sans avoir besoin du professeur. On peut les consulter sans vergogne. En revanche, en cas d'erreur, il est extrêmement formateur, si on a le temps, de refaire une deuxième tentative de résolution.
Ex.1 (1 p.22) : p(n):il existe p tel que (xy)n=…
Ex.2 (4 p.22) : initialisation : u0=.…
Ex.3 (42 p.24) : récurrence.
Ex.4 (44 p.24) : un=2.
Ex.5 (8 p.22) : rang 20.
Ex.6 (9 p.22) : 1. rang 6. 2. rang 71.
Ex.7 (11 p.22) : 1. rang 10 001 2. rang 100 001.
Ex.8 (12 p.22) : 1. rang 202. 2. rang 2 002.
Ex.9 (54 p.25) : 1. lim
n→+∞vn=2. 2. n> 1 a2 .
Ex.10 (55 p.25) : 1. À partir du rang 10. 2. n> 1
√a
Ex.11 (13 p.22) : 1. +∞ 2. +∞ 3. +∞ 4. -30 5. -∞ 6. +∞.
Ex.12 (14 p.22) : 1. 4 2. 0 3. 0 4. - lim
n→ +∞Sn=+∞ . Ex.13 (15 p.22) : 1. +∞ 2. -∞ 3. +∞ 4. -∞ . Ex.14 (67 p.26) : 1. -∞ 2. 0 3. +∞ 4. 4 Ex.16 (69 p.26) : 1. -∞ 2. -∞ 3. 0 4. - 2
3 5. +∞ 6. -∞
Ex.17 (18 p.22) : lim
n→+∞un=+∞
Ex.18 (20 p.22) : lim
n→+∞un=−∞
Ex.19 (71 p.26) : 1. lim
n→+∞un=+∞ 2. lim
n→+∞un=03. lim
n→+∞un=+∞4. lim
n→+∞un=−∞
Ex.20 (23 p.22) : a. lim
n→+∞un=0b. lim
n→+∞un=0
Ex.21 (25 p.23) : 1. 0 2. +∞ 3. Diverge sans limite.
Ex.22 (29 p.23) : 1. lim
n→+∞un=02. lim
n→+∞un=−∞
Ex.23 (73 p.26) : 1. +∞ 2. +∞ 3.+∞ 4. Diverge sans limite.
Ex.24 (74 p.26) : 1. -∞ 2. 0 3.+∞ 4. 2 5. +∞ 6.+∞
Ex.25 (77 p.26) : 1.a. Le nombre de personnes touchées par la rumeur dans
l’intervalle [n;n + 1] est proportionnel à un... 1.b. géométrique, raison 1+a. 1.c. a=2,5. 1.d.
un=100×3,5n. 2.a. lim
n→+∞un=+∞ 2.b. 4h;5h;5h.
Ex.26 (Sujet B p.35) : P.A. cf cours, exemple 1 P.B.1. lim
n→+∞un=1P.B.2.a. (Sn) est croissante. P.B.2.b. Sn=n+1+15
(
1−(
15)
n+1)
P.B.2.c. limn→+∞Sn=+∞P.C.1. F P.C.2.F.
Ex.27 (Sujet E p.36) : 1. u1= - 5
3 ; u2= - 14
9 ; u3= - 14
272. pour n 71. 3. par récurrence.
4.a. raison : 1
3 , premier terme : v0 = - 25
2 . 4.b. vn= - 25
2 ×
(
13)
n5.a. Sn= - 758(
1−(
13)
n+1)
5.b.Tn= 75
8
(
1−(
13)
n+1)
+ 34 (n+1)(n – 7).Ex.28 (Ex.135 p.37) : 1. (an) semble croissante, (bn) semble décroissante, et il semble
que lim
n→+∞an=lim
n→+∞bn=4. 2. 3.a. raison 1
3 , premier terme 6 3.b. un= - 6×
(
13)
n4.a . an<bn 4.b. (an) est croissante, (bn) est décroissante. 5. décroissante et minorée, croissante et majorée... 6.c. limn→+∞an=lim
n→+∞bn=4.
