MPSI B DM 17 29 juin 2019
Ce problème porte sur des propriétés deRn(ϕ)déni par : ϕ
2 = sinϕ−1
2sin(2ϕ) +1
3sin(3ϕ) +· · ·+(−1)n+1
n sin(nϕ) +Rn(ϕ) oùnest un entier naturel non nul etϕ∈[−π2,π2].
Partie I. Aspect euclidien.
On dénit un produit scalaire(./.)dansE=C(I,R)avecI= [−π, π] en posant :
∀(f, g)∈E2: (f /g) = Z π
−π
f(t)g(t)dt
La démonstration qu'il s'agit bien d'un produit scalaire n'est pas demandée.
On dénit les fonctionsuet (pour tout entier naturel n)cn,sn en posant :
∀t∈I: u(t) = t
2, cn(t) = cos(nt), sn(t) = sin(nt) 1. Calculer, pour tout couple(m, n)d'entiers naturels
(cm/cn), (cn/sm), (sn/sm)
Soitnnaturel xé, que peut-on conclure pour la famille formée par toutes les fonctions ck etsk pour kentre 0 etn?
2. Calculer(u/c0)et, pour tout entierknon nul, (u/ck)
kckk2, (u/sk) kskk2, Que peut-on en conclure pour la fonctionRn?
Partie II. Reste intégral.
Dans cette partie,n∈N∗,xest un réel strictement positif et ϕ= arctan 1
x, y=x+p 1 +x2
1. a. Montrer que
arctan(n)(x) = (−1)n−1(n−1)! (sinnϕ)(sinϕ)n
b. Former (en le démontrant) le développement limité dearctanen0à l'ordren. En déduirearctan(n)(0).
2. a. Exprimerarctanxen fonction deϕ. b. Exprimerarctany en fonction deϕ. c. Exprimery−xen fonction deϕ.
3. Former le développement de Taylor avec reste intégral de la fonctionarctanentrexet y à l'ordren.
4. Montrer que
Rn(ϕ) = Z y
x
(y−t)n
n! arctan(n+1)t dt
5. Eectuez le changement de variableθ= arctan1t dans l'expression intégrale deRn.
Partie III. Reste de Lagrange et convergence.
Les relations entre x, y et ϕ sont les mêmes que pour la partie II. On se propose de montrer que la suite(Rn(ϕ))n∈Nconverge vers0.
1. Montrer que pour toutnnaturel, il existe unzn(ϕ)∈[x, y]tel que
Rn(ϕ) =(y−x)n+1
(n+ 1)! arctan(n+1)zn(ϕ) 2. Montrer qu'il existe unθϕ∈[ϕ2, ϕ]tel que
Rn(ϕ) = (−1)n (n+ 1)
(sin(n+ 1)θϕ)(sinθϕ)n+1 (sinϕ)n+1 3. Montrer que la suite(Rn(ϕ))n∈Nconverge vers0.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M0717E
