PARTIE II

(1)

Énoncé

On considère¹ un compétition entre trois tireurs A, B, C, qui se déroule en une suite d'épreuves de la façon suivante, jusqu'à élimination d'au moins deux des trois tireurs :

Tous les tirs sont indépendants les uns des autres.

Lorsque A tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à ²₃. Lorsque B tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à ¹₂. Lorsque C tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à ¹₃.

Lorsque qu'un des tireurs est atteint, il est dénitivement éliminé des épreuves sui- vantes.

À chacune des épreuves, les tireurs non encore éliminés tirent simultanément et chacun d'eux vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés.

(Ainsi, à la première épreuve, A vise B tandis que B et C visent A).

Pour tout nombre entiern≥1, on considère les événements suivants :

ABCn : à l'issue de la n-ième épreuve, A, B et C ne sont pas encore éliminés . ABn : à l'issue de la n-ième épreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés .

On dénit de façon analogue les événementsBCn etCAn. An : à l'issue de la n-ième épreuve, seul A n'est pas éliminé .

On dénit de façon analogue les événementsB_n et C_n.

∅n : à l'issue de la n-ième épreuve, les trois tireurs sont éliminés .

Enn,ABC₀est l'événement certain,AB₀,BC₀,CA₀,A₀,B₀,C₀,∅₀l'événement impossible.

PARTIE I

On détermine les probabilités pour que A, B, C remportent la compétition.

1. Calcul de probabilités.

a. Exprimer, si U et V désignent deux événements quelconques d'un espace proba- bilisé donné, la probabilitép(U∪V)en fonction dep(U), p(V)etp(U∩V). b. En déduire la probabilité pour qu'à une épreuve à laquelle participent A, B, C :

(A rate son tir) et (B ou C réussissent leur tir).

c. En déduire la probabilité pour qu'à une épreuve à laquelle participent A, B, C : (A réussit son tir) et (B ou C réussissent leur tir).

2. Détermination de probabilités conditionnelles. Soitn≥1.

1D'après ESSEC 2000, option scientique, maths 2

a. Montrer que l'événement ABn est impossible. Dans la suite, on ne considérera donc que les événementsABCn ,BCn ,CAn , An ,Bn ,Cn , ∅n .

b. Expliciter la probabilité conditionnellep(ABC_n+1|ABCn). c. Expliciterp(BC_n+1|ABCn)à l'aide de la question 1), puis donner

p(CAn+1|ABCn)

d. Expliciterp(An+1|ABCn),p(Bn+1|ABCn)et p(Cn+1|ABCn).

3. Nombre moyen d'épreuves à l'issue des quelles s'achève la compétition.

On noteTn l'événement Le combat cesse à l' issue de la n-ième épreuve (la com- pétition cesse à l'issue de lan-ième épreuve s'il n'a pas cessé avant et si à l'issue de la n-ième épreuve il ne reste qu'un tireur au plus).

a. Quelle est la probabilité de l'événementT1? b. Soitn≥2. Calculer la probabilité de l'événement :

ABC₁∩ABC₂∩ · · · ∩ABC_n−1∩ABC_n

c. Soitn≥2. Calculer la probabilité de la réunion des événements suivants pour les entiers0≤k≤n−1 :

ABC₁∩ · · · ∩ABC_k∩CA_k+1∩ · · · ∩CA_n (pourk= 0, il s'agit de l'événementCA1∩CA2∩ · · · ∩CAn).

d. Soitn≥2. Calculer la probabilité de la réunion des événements suivants pour les entiers0≤k≤n−1 :

ABC₁∩ · · · ∩ABC_k∩BC_k+1∩ · · · ∩BC_n (pourk= 0, il s'agit de l'événementBC1∩BC2∩ · · · ∩BCn).

e. Soit n ≥ 2. Calculer la probabilité de l'événement la compétition n'est pas terminé à l'issue de la n-ième épreuve . En déduire la probabilité p(Tn) (on vériera que cette formule redonne bien pourn= 1le résultat obtenu à la question a)).

f. Montrer que la somme Pn

k=1p(Tk) tend vers 1 quand n tend vers +∞. Puis déterminer sous forme de fraction irréductible la limite lorsquentend vers +∞

dePn

k=1kp(Tk)(cela correspond au nombre moyen d'épreuves à l'issue des quelles s'achève la compétition).

(2)

4. Probabilités pour que A, B, C remportent la compétition.

a. Montrer que, sin= 1, l'événement A remporte la compétition à l'issue de la n- ième épreuve est impossible. Montrer qu'il est égal à la réunion des événements suivants sin≥2 :

ABC1∩ · · · ∩ABCk∩CAk+1∩ · · · ∩CAn−1∩An pour 0≤k≤n−2 (pourk= 0, il s'agit de l'événementCA1∩CA2∩ · · · ∩CA_n−1∩An).

b. Calculer la probabilité pour que A remporte la compétition à l'issue de la n-ième épreuve (n≥2).

c. En déduire la probabilité pour que A remporte la compétition (c'est à dire pour qu'il ne soit pas éliminé à l'issue du combat).

d. Déterminer de même la probabilité pour que B remporte la compétition.

e. Déterminer de même la probabilité pour que C remporte la compétition.

PARTIE II

Dans cette partie, on retrouve par des méthodes matricielles les probabilités pour que A, B, C remportent la compétition en n'utilisant que les résultats des questions I.1) et I.2).

1. Expression de la matrice de transitionM.

a. On considère la matrice-colonneEn à sept lignes dont les sept éléments sont dans cet ordre, du haut vers le bas,

p(ABCn), p(BCn), p(CAn), p(An), p(Bn), p(Cn), p(∅n)

Expliciter une matrice M ∈ M7(R) telle que, ∀n ∈ N, E_n+1 = M E_n. On vériera que la somme de chacune des colonnes deM est égale à 1.

b. En déduireE_n en fonction den, deM et E₀. 2. Calcul des puissances de la matriceM.

a. On considère deux matrices carrées d'ordre 3 notées U⁰ , U⁰⁰ et deux matrices rectangulaires à 4 lignes et 3 colonnes notéesV⁰ ,V⁰⁰ et l'on forme les matrices carrées d'ordre 7 :

M⁰=

U⁰ 0 V⁰ I4

M⁰⁰=

U⁰⁰ 0 V⁰⁰ I4

où 0 désigne la matrice nulle à 3 lignes et 4 colonnes et I4 la matrice-identité d'ordre 4. Vérier à l'aide des règles du produit matriciel l'égalité suivante :

M⁰M⁰⁰=

U⁰U⁰⁰ 0 V⁰U⁰⁰+V⁰⁰ I4

b. Expliciter les matricesU etV telles que : M =

U 0 V I₄

c. Établir enn, pour n≥1, l'égalité suivante : Mⁿ =

Uⁿ 0

V +V U+. . . V Uⁿ⁻¹ I₄

3. Diagonalisation de la matriceU.

a. Déterminer trois réelsλ₁ < λ₂ < λ₃ tel que le système (d'inconnueX, matrice colonne de taille 3), U X = λX ait une solution non nulle. Pour i = 1,2,3, déterminerVi la solution du systèmeU X=λiX telle que

la première composante deV1vaut 1.

la troisième composante deV2vaut 1.

la deuxième composante deV3 vaut 1.

b. Déterminer une matrice inversibleP et une matrice diagonaleD telles que D= P⁻¹U P. PréciserP⁻¹.

4. Calcul de la limite des puissances de la matriceM.

a. Pourn∈N, expliciter les matricesDⁿ etI3+D+D²+· · ·+Dⁿ⁻¹.

b. On dit qu'une suite de matrices(Xn)à plignes et q colonnes converge vers une matriceX àplignes etqcolonnes si chaque coecient de la matriceXn converge quandntend vers+∞vers le coecient correspondant de la matriceX. On admettra (sous réserve d'existence) que la limite d'un produit est le produit des limites.

Expliciter à l'aide des résultats précédents les limites des deux suites matricielles (Dⁿ) et (I3+D+D² +· · · +Dⁿ⁻¹), puis des trois suites matricielles (Uⁿ), (I3+U+U²+· · ·+Uⁿ⁻¹)et(V +V U+V U²+· · ·+V Uⁿ⁻¹).

c. En déduire enn les limites des deux suites matricielles(Mⁿ)et (En).

d. Vérier que les suites (p(ABCn)), (p(BCn)) et (p(CAn)) convergent vers 0 et expliciter sous forme d'une fraction irréductible les limites des suites (p(An)), (p(Bn)),(p(Cn)),(p(∅n)).

Retrouver alors les probabilités obtenues en I pour que A, B, C remportent la compétition.

(3)

Corrigé PARTIE I

Notons A ( respectivement B et C) l'événement A (resp. B, C) réussit son tir à une épreuve donnée.

1. Calcul de probabilités.

a. D'après le cours :

P(U∪V) =P(U) +P(V)−P(U∩V) b. On cherche la probabilité deA ∩(B ∪ C).

P(A∩(B∪C)) =P((A∩B)∪(A∩C)) =P(A∩B)+P(A∩C)−P(A∩B∩C) (d'après a)

=P(A)P(B) +P(A)P(C)−P(A)P(B)P(C) (par indépendance des tirs)

= 1 3 1 2+1

3 1 3 −1

3 1 2 1 3 = 2

9 c. On cherche la probabilité deA ∩(B ∪ C). On trouve de même

P(A ∩(B ∪ C)) =P((A ∩ B)∪(A ∩ C)) =P(A ∩ B) +P(A ∩ C)−P(A ∩ B ∩ C)

=P(A)P(B) +P(A)P(C)−P(A)P(B)P(C)

= 2 3 1 2+2

3 1 3 −2

3 1 2 1 3 = 4

9 2. Détermination de probabilités conditionnelles

a. Tant qu'aucun des tireurs n'est éliminé, à chaque étape A vise B, B et C visent A. Le tireur C n'est pas visé et ne peut donc pas être éliminé avant A ou B.

L'événementAB_n est donc impossible.

b. ABC_n+1∩ABC_n est événement ABC_n et A,B et C ratent leur tir à l'étape n. Par indépendance des tirs on a donc

p(ABCn+1|ABCn) =p(A)p(B)p(C) = 1 3 1 2 2 3 =1

9

c. Comme, tant qu'aucun des tireurs n'est éliminé à chaque étape A vise B, B et C visent A. L'événementBC_n+1∩ABC_n est événement ABC_n inter l'événement

épreuve à 3

B ou C réussit 2/3

B et C échouent 1/3

A réussit 2/3

A échoue

1/3 2/3 1/3

Fig. 1: probabilités conditionnelles

"Arate son tire etB ouCréussissent leur tir à l'étapen". Par indépendance des tirs on a donc

p(BCn+1|ABCn) =p(A ∩(B ∪ C)) = 2

9 par 1b) De même

p(CA_n+1|ABCn) =p(A ∩ B ∩ C) =2 9

d. Si A, B, C ne sont pas éliminés, personne ne vise C, C ne peut donc pas être éliminé. D'où

p(An+1|ABCn) = 0 et p(Bn+1|ABCn) = 0 Comme dans la question précédente

p(Cn+1|ABCn) =p(A ∩(B ∪ C)) = 4

9 par 1c)

e. Si à une étape il reste A et C alors A vise sur C et C vise sur A. L'événement An+1∩CAn est donc l'événement CAn inter l'événement "A rate son tir et C réussit son tir à l'étapen". Par indépendance des tirs, on a donc

p(An+1|CAn) =p(A ∩ C) = 4 9

(4)

De même

p(Bn+1|BCn) =p(B ∩ C) = 1

3 p(Cn+1|CAn) =p(C ∩ A) = 1 9 et

p(Cn+1|BCn) =p(C ∩ B) =1 6

f. On a toujours, si A, B, C ne sont pas éliminés, personne ne vise C, C ne peut donc pas être éliminé, d'où

p(∅n+1|ABCn) = 0 D'autre part,

p(∅n+1|BCn) =p(B ∩ C) =1

6 p(∅n+1|CAn) =p(C ∩ A) =2 9

ABC n-1 1/9 ABC n

BC n 2/9 AC n

2/9 AB n

0

A n 0

B n 0

C n 4/9

vide n 0

Fig. 2: issues épreuve à 3

3. Nombre moyen d'épreuves à l'issue desquelles s'achève le combat.

BC n-1 2/6 BC n

B n

2/6

C n 1/6

vide n 1/6

Fig. 3: issues épreuve avec BC

AC n-1 2/9 AC n

A n

2/9

C n 1/9

vide n 2/9

Fig. 4: issues épreuve avec AC

a. L'événementT₁est l'union disjointe des événementsA₁,B₁,C₁,∅1. La probabilité des événementsA₁, B₁, C₁, ∅₁ a été calculé en d) et e) en prenantn= 0 et en utilisant queABC₀ est l'événement certain. On trouve donc

p(T₁) =p(A₁) +p(B₁) +p(C₁) +p(∅1) = 0 + 0 +4

9 + 0 = 4 9

b. Soitn≥2. Remarquons que pour0≤k≤n

ABC0∩ABC1∩ · · · ∩ABC_k−1∩ABCk =ABCk

D'où, par la question 2b.,

p(ABC1∩ABC2∩ · · · ∩ABC_n−1∩ABCn)

=p(ABC₁|ABC₀)p(ABC₂|ABC₁). . . p(ABC_n|ABC_n−1) = 1 9ⁿ

(5)

c. Soitn≥2 et soit0≤k≤n−1, on trouve de même : p(ABC1∩ · · · ∩ABCk∩CAk+1∩ · · · ∩CAn)

= 1

9 ^k 2

9 2

9

n−k−1

= 2^n−k 9ⁿ d. Soitn≥2 et soit0≤k≤n−1 :

p(ABC1∩ · · · ∩ABCk∩BCk+1∩ · · · ∩BCn)

= 1

9 k

2 9

1 3

n−k−1

= 2

3^n+k+1 e. Soitn≥2. NotonsT>nl'événement étudié. Le combat n'est pas ni à l'issue de la

n-ième épreuve si à l'issue de la n-ième épreuve il reste deux ou trois tireurs.T>n

est la réunion disjointe deABCn,ABn (qui est l'événement impossible), CAnet BCn.

D'autre part,

CAn est l'union disjointe des événementsABC1∩ · · · ∩ABCk∩CAk+1∩ · · · ∩ CAn, pour0≤k≤n−1

BCnest l'union disjointe des événementsABC1∩· · ·∩ABCk∩BCk+1∩· · ·∩BCn, pour0≤k≤n−1.

D'où, d'après les questions b), c) et d)

p(T_>n) = 1 9ⁿ +

n−1

X

k=0

2^n−k 9ⁿ +

n−1

X

k=0

2 3^n+k+1

= 1

9ⁿ +2ⁿ⁺¹−2 9ⁿ +

1 3ⁿ − 1

9ⁿ

= 2ⁿ⁺¹+ 3ⁿ−2 9ⁿ On aT>n−1 est l'union disjointe deTn et T>n. Donc

p(Tn) =p(T>n−1)−p(T>n) = 2ⁿ+ 3ⁿ⁻¹−2

9ⁿ⁻¹ −2ⁿ⁺¹+ 3ⁿ−2 9ⁿ

Pourn= 1, ²ⁿ⁺³₉ⁿ⁻¹ⁿ⁻¹⁻²−²ⁿ⁺¹⁺³₉nⁿ⁻² = ⁴₉ ce qui correspond à la probabilité deT₁.

f. Pourk∈N, posonst_k= ²^k+1⁺³₉_k^k⁻².

Soitn≥1. D'après la formule précédente (valable dèsk= 1)

n

X

k=1

p(Tk) =

n

X

k=1

(tk−1−tk) =t0−tn (sommation en dominos)

= 1−2ⁿ⁺¹+ 3ⁿ−2 9ⁿ qui tend bien vers 1 en+∞. D'où

n

X

k=1

kp(T_k) =

n

X

k=1

k(t_k−1−t_k) =

n

X

k=1

t_k−1

!

−nt_n

=

n−1

X

k=0

2^k+1+ 3^k−2 9^k

!

−n2ⁿ⁺¹+ 3ⁿ−2 9ⁿ Ce qui permet de calculer l'espérance :

n−1

X

k=0

2^k+1

9^k tend vers 18 7

n−1

X

k=0

3^k

9^k tend vers 3 2

n−1

X

k=0

2

9^k tend vers 9 4 n2ⁿ⁺¹+ 3ⁿ−2

9ⁿ tend vers 0











⇒

n

X

k=1

kp(Tk)tend vers 51 28

4. Probabilités pour que A, B, C remportent le combat

a. Si A est le seul tireur restant à l'issue de la n-ième étape alors B et C ont été éliminés avant selon le schéma suivant.

(ABC)−−−−→^k^fois (ABC)→(AC)−−−−−−−−→^n−k−2^fois (AC)→(A)

Comme déjà vu, tant qu'aucun des tireurs n'est éliminé à chaque étape A vise B, B et C visent A. B est donc éliminé (strictement) avant C. Dès que C est éliminé,

(6)

A gagne. On voit donc que l'événementA1 est impossible et que pourn≥2,An

est l'union disjointe des

ABC1∩ · · · ∩ABCk∩CAk+1∩ · · · ∩CAn−1∩An

pour0≤k≤n−2(oùkcorrespond à l'étape où B a été éliminé).

b. Soitn ≥2 et 0 ≤k ≤n−2. D'après la formule des probabilités composées, la probabilité de l'événement correspondant au schéma indiqué est

1 9

k

×2 9×

2 9

n−k−2

×4 9 = 1

9ⁿ2^n+1−k

Ces événements indexés par k sont disjoints, la probabilité que A remporte le combat à l'issue de l'épreuvenest donc la somme des probabilités

n−2

X

k=0

1

9ⁿ2^n+1−k = 1

9ⁿ 2ⁿ⁺¹+· · ·+ 2³

= 2ⁿ⁺²−2³ 9ⁿ = 4

2 9

ⁿ

−8 1

9 ⁿ

c. L'événement A est l'union disjointe desAn pour n≥2. Donc p(A) est la limite quandntend vers+∞dePn

k=2p(Ak). On obtientp(A) = ₆₃¹P B. p(A) = 4

2 9

2

1 1−²₉ −8

1 9

2

1

1−¹₉ = 16 9×7 − 8

9×8 =16−7 9×7 =1

7 d. Suivant le même principeB_n est l'union disjointe, pour0≤k≤n−2, des

ABC₁∩ · · · ∩ABC_k∩BC_k+1∩ · · · ∩BC_n−1∩B_n Soitn≥2 et0≤k≤n−2

p(ABC1∩ · · · ∩ABCk∩BCk+1∩ · · · ∩BC_n−1∩Bn)

=p(ABC₁∩ · · · ∩ABC_k∩BC_k+1∩ · · · ∩BC_n−1)p(B_n|BC_n−1)

= 2

3^n+k 1 3 = 2

3^n+k+1 D'où

p(Bn) = 1 3ⁿ − 1

3²ⁿ⁻¹ Doncp(B)est la limite quandntend vers+∞dePn

k=2p(Bk). On obtient p(B) =

1 3

² 1 1−¹₃ −3

1 9

² 1 1−¹₉ = 1

8

e. Pour que C gagne le combat à l'étapenil y a plusieurs cas de gure : Soit A et B sont éliminés en même temps. NotonsC_n,AB cet événement.

C'est aussiABC₁∩ · · · ∩ABC_n−1∩C_n de probabilité

p(ABC₁∩ · · · ∩ABC_n−1∩C_n) =p(ABC_n−1)p(C_n|ABC_n−1) = 1 9ⁿ⁻¹

4 9 = 4

9ⁿ Soit A est éliminé puis B. NotonsCn,B cet événement.

C'est l'union disjointe, pour0≤k≤n−2, des événements ABC1∩ · · · ∩ABCk∩BCk+1∩ · · · ∩BCn−1∩Cn

Soitn≥2 et0≤k≤n−2

p(ABC1∩ · · · ∩ABCk∩BCk+1∩ · · · ∩BCn−1∩Cn)

=p(ABC1∩ · · · ∩ABCk∩BCk+1∩ · · · ∩BC_n−1)p(Cn|BC_n−1))

= 2

3^n+k 1 6 = 1

3^n+k+1 La probabilité deC_n,B est donc :

1 2( 1

3ⁿ − 1 3²ⁿ⁻¹)

Soit B est éliminé puis A. NotonsC_n,Acet événement. C'est l'union disjointe, pour0≤k≤n−2, des événements

ABC₁∩ · · · ∩ABC_k∩CA_k+1∩ · · · ∩CA_n−1∩C_n

Soitn≥2 et0≤k≤n−2

p(ABC₁∩ · · · ∩ABC_k∩CA_k+1∩ · · · ∩CA_n−1∩C_n)

=p(ABC1∩ · · · ∩ABCk∩CAk+1∩ · · · ∩CAn−1)p(Cn|CAn−1)

= 2^n−k−1 9ⁿ⁻¹

1

9 =2^n−1−k 9ⁿ La probabilité deCn,Aest donc

n−2

X

k=0

2^n−1−k 9ⁿ = 1

9ⁿ(2ⁿ−2)

(7)

L'événementCn est l'union disjointe des Cn,AB, Cn,B et Cn,A Doncp(C)est la limite quandntend vers+∞de

n

X

k=1

p(C_n,AB) +

n

X

k=2

p(C_n,B) +

n

X

k=2

p(C_n,A) On obtient :

n

X

k=1

p(Cn,AB) tend vers 1 2

n

X

k=2

p(Cn,B) tend vers 1 16

n

X

k=2

p(Cn,A) tend vers 1 28











⇒p(C) = 67 112

PARTIE II

1. Expression de la matrice de transitionM a. On trouve

M =





 1

9 0 0 0 0 0 0 2

9 1

3 0 0 0 0 0

2

9 0 2

9 0 0 0 0

0 0 4

9 1 0 0 0 0 1

3 0 0 1 0 0

4 9

1 6

1

9 0 0 1 0 0 1

6 2

9 0 0 0 1







b. Soitn∈N. Par récurrence,En =MⁿE0. 2. Calcul des puissances de la matriceM.

a. Vérication évidente à l'aide du produit par blocs.

b. En lisant dans la matrice de transition, on trouve

U =





 1

9 0 0

2 9

1 3 0 2

9 0 2

9







V =







0 0 4

9 0 1

3 0 4

9 1 6

1 9 0 1

6 2 9







c.

3. Diagonalisation de la matriceU

a. Le système considéré admet une solution non nulle si la matriceU−λI3n'est pas inversible. NotonsP(λ)le déterminant de cette matrice.

P(λ) =

1

9−λ 0 0

2 9

1

3−λ 0

2

9 0 ²₉−λ

= (1 9−λ)(1

3 −λ)(2 9−λ)

D'oùλ1=¹₉,λ2=²₉ etλ3=¹₃.

La résolution des systèmes donneV1= (1,−1,−2),V2= (0,0,1)etV3= (0,1,0). b. D'après la formule de changement de base, on obtient le résultat cherché, en

formant la matrice des vecteurs propres trouvés soit :

P =







1 0 0

−1 0 1

−2 1 0







et D=







1

9 0 0

0 ²₉ 0 0 0 ¹₃







avec P⁻¹=







1 0 0 2 0 1 1 1 0







4. Calcul de la limite des puissances de la matriceM. a. Soitn∈N,

Dⁿ =





1

9ⁿ 0 0 0 ²₉ⁿn 0 0 0 ₃¹n





(8)

et

I3+D+· · ·+Dⁿ=





9

8−_8.9¹_n 0 0

0 ⁹₇ −²_7.9ⁿ⁺¹n 0 0 0 ³₂−_2.3¹n





b. On obtient que (Dⁿ) converge vers la matrice nulle et que(I3+D+· · ·+Dⁿ) converge vers la matrice





 9

8 0 0

0 9 7 0

0 0 3

2







De U =P DP⁻¹, on tireUⁿ = P DⁿP⁻¹ pour n ∈ N. On en déduit que (Uⁿ) converge versP0P⁻¹ie vers la matrice nulle et(I3+U+· · ·+Uⁿ)converge vers la matrice

P





 9

8 0 0

0 9 7 0

0 0 3

2





 P⁻¹=





 9

8 0 0

3 8

3 2 0 9

28 0 9 7







c. D'après l'expression deMⁿtrouvée en 2)c) et en utilisant que(V+V U+· · ·+V Uⁿ) converge vers la matrice

V





 9

8 0 0

3 8

3 2 0 9

28 0 9 7







=





 1

7 0 4

7 1

8

1 2 0 67

112 1 4

1 7 15

112 1 4

2 7







Donc

E_n=MⁿE₀=





 0 0 0 1 7 1 8 67 112

15 112







d. On retrouve bien que(p(ABCn)), (p(BCn))et(p(CAn))convergent vers0, que (p(An))converge vers 1

7, que(p(Bn))converge vers 1

8, que(p(Cn)converge vers 67

112 et que(p(∅n)converge vers 15 112.