PARTIE II

MPSI B DS 9 (commun 3) le 15/05/14 24 avril 2020

On considère¹ un compétition entre trois tireurs A, B, C, qui se déroule en une suite d'épreuves de la façon suivante, jusqu'à élimination d'au moins deux des trois tireurs :

Tous les tirs sont indépendants les uns des autres.

Lorsque A tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à ²₃. Lorsque B tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à ¹₂. Lorsque C tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à ¹₃.

Lorsque qu'un des tireurs est atteint, il est dénitivement éliminé des épreuves sui- vantes.

À chacune des épreuves, les tireurs non encore éliminés tirent simultanément et chacun d'eux vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés.

(Ainsi, à la première épreuve, A vise B tandis que B et C visent A).

Pour tout nombre entiern≥1, on considère les événements suivants :

ABCn : à l'issue de la n-ième épreuve, A, B et C ne sont pas encore éliminés . ABn : à l'issue de la n-ième épreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés .

On dénit de façon analogue les événementsBCn etCAn. An : à l'issue de la n-ième épreuve, seul A n'est pas éliminé .

On dénit de façon analogue les événementsBn et Cn.

∅n : à l'issue de la n-ième épreuve, les trois tireurs sont éliminés .

Enn,ABC0est l'événement certain,AB0,BC0,CA0,A0,B0,C0,∅0l'événement impossible.

PARTIE I

On détermine les probabilités pour que A, B, C remportent la compétition.

1. Calcul de probabilités.

a. Exprimer, si U et V désignent deux événements quelconques d'un espace proba- bilisé donné, la probabilitép(U∪V)en fonction dep(U), p(V)etp(U∩V). b. En déduire la probabilité pour qu'à une épreuve à laquelle participent A, B, C :

(A rate son tir) et (B ou C réussissent leur tir).

c. En déduire la probabilité pour qu'à une épreuve à laquelle participent A, B, C : (A réussit son tir) et (B ou C réussissent leur tir).

2. Détermination de probabilités conditionnelles. Soitn≥1.

a. Montrer que l'événement AB_n est impossible. Dans la suite, on ne considérera donc que les événementsABCn , BCn , CAn ,An ,Bn ,Cn ,∅n .

1D'après ESSEC 2000, option scientique, maths 2

b. Expliciter la probabilité conditionnellep(ABCn+1|ABCn). c. Expliciterp(BCn+1|ABCn)à l'aide de la question 1), puis donner

p(CA_n+1|ABC_n)

d. Expliciterp(A_n+1|ABCn),p(B_n+1|ABCn)et p(C_n+1|ABCn).

e. Expliciterp(A_n+1|CAn),p(B_n+1|BCn),p(C_n+1|CAn)etp(C_n+1|BCn). f. Expliciterp(∅n+1|ABCn),p(∅n+1|BCn)etp(∅n+1|CAn).

3. Nombre moyen d'épreuves à l'issue des quelles s'achève la compétition.

On noteT_n l'événement Le combat cesse à l' issue de la n-ième épreuve (la com- pétition cesse à l'issue de lan-ième épreuve s'il n'a pas cessé avant et si à l'issue de la n-ième épreuve il ne reste qu'un tireur au plus).

a. Quelle est la probabilité de l'événementT1? b. Soitn≥2. Calculer la probabilité de l'événement :

ABC1∩ABC2∩ · · · ∩ABCn−1∩ABCn

c. Soitn≥2. Calculer la probabilité de la réunion des événements suivants pour les entiers0≤k≤n−1 :

ABC₁∩ · · · ∩ABC_k∩CA_k+1∩ · · · ∩CA_n (pourk= 0, il s'agit de l'événementCA1∩CA2∩ · · · ∩CAn).

d. Soitn≥2. Calculer la probabilité de la réunion des événements suivants pour les entiers0≤k≤n−1 :

ABC1∩ · · · ∩ABCk∩BCk+1∩ · · · ∩BCn

(pourk= 0, il s'agit de l'événementBC₁∩BC₂∩ · · · ∩BC_n).

e. Soit n ≥ 2. Calculer la probabilité de l'événement la compétition n'est pas terminé à l'issue de la n-ième épreuve . En déduire la probabilité p(Tn) (on vériera que cette formule redonne bien pourn= 1le résultat obtenu à la question a)).

f. Montrer que la somme Pn

k=1p(Tk) tend vers 1 quand n tend vers +∞. Puis déterminer sous forme de fraction irréductible la limite lorsquentend vers +∞

dePn

k=1kp(Tk)(cela correspond au nombre moyen d'épreuves à l'issue des quelles s'achève la compétition).

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S1309E

MPSI B DS 9 (commun 3) le 15/05/14 24 avril 2020

4. Probabilités pour que A, B, C remportent la compétition.

a. Montrer que, sin= 1, l'événement A remporte la compétition à l'issue de la n- ième épreuve est impossible. Montrer qu'il est égal à la réunion des événements suivants sin≥2 :

ABC1∩ · · · ∩ABCk∩CAk+1∩ · · · ∩CAn−1∩An pour 0≤k≤n−2 (pourk= 0, il s'agit de l'événementCA1∩CA2∩ · · · ∩CA_n−1∩An).

b. Calculer la probabilité pour que A remporte la compétition à l'issue de la n-ième épreuve (n≥2).

c. En déduire la probabilité pour que A remporte la compétition (c'est à dire pour qu'il ne soit pas éliminé à l'issue du combat).

d. Déterminer de même la probabilité pour que B remporte la compétition.

e. Déterminer de même la probabilité pour que C remporte la compétition.

PARTIE II

Dans cette partie, on retrouve par des méthodes matricielles les probabilités pour que A, B, C remportent la compétition en n'utilisant que les résultats des questions I.1) et I.2).

1. Expression de la matrice de transitionM.

a. On considère la matrice-colonneEn à sept lignes dont les sept éléments sont dans cet ordre, du haut vers le bas,

p(ABCn), p(BCn), p(CAn), p(An), p(Bn), p(Cn), p(∅n)

Expliciter une matrice M ∈ M7(R) telle que, ∀n ∈ N, E_n+1 = M E_n. On vériera que la somme de chacune des colonnes deM est égale à 1.

b. En déduireE_n en fonction den, deM et E₀. 2. Calcul des puissances de la matriceM.

a. On considère deux matrices carrées d'ordre 3 notées U⁰ , U⁰⁰ et deux matrices rectangulaires à 4 lignes et 3 colonnes notéesV⁰ ,V⁰⁰ et l'on forme les matrices carrées d'ordre 7 :

M⁰=

U⁰ 0 V⁰ I4

M⁰⁰=

U⁰⁰ 0 V⁰⁰ I4

où 0 désigne la matrice nulle à 3 lignes et 4 colonnes et I4 la matrice-identité d'ordre 4. Vérier à l'aide des règles du produit matriciel l'égalité suivante :

M⁰M⁰⁰=

U⁰U⁰⁰ 0 V⁰U⁰⁰+V⁰⁰ I4

b. Expliciter les matricesU etV telles que : M =

U 0 V I₄

c. Établir enn, pour n≥1, l'égalité suivante : Mⁿ =

Uⁿ 0 V +V U+. . . V Uⁿ⁻¹ I₄

3. Diagonalisation de la matriceU.

a. Déterminer trois réelsλ₁ < λ₂ < λ₃ tel que le système (d'inconnueX, matrice colonne de taille 3), U X = λX ait une solution non nulle. Pour i = 1,2,3, déterminerVi la solution du systèmeU X=λiX telle que

la première composante deV1vaut 1.

la troisième composante deV2vaut 1.

la deuxième composante deV3 vaut 1.

b. Déterminer une matrice inversibleP et une matrice diagonaleD telles que D= P⁻¹U P. PréciserP⁻¹.

4. Calcul de la limite des puissances de la matriceM.

a. Pourn∈N, expliciter les matricesDⁿ etI3+D+D²+· · ·+Dⁿ⁻¹.

b. On dit qu'une suite de matrices(Xn)à plignes et q colonnes converge vers une matriceX àplignes etqcolonnes si chaque coecient de la matriceXn converge quandntend vers+∞vers le coecient correspondant de la matriceX. On admettra (sous réserve d'existence) que la limite d'un produit est le produit des limites.

Expliciter à l'aide des résultats précédents les limites des deux suites matricielles (Dⁿ) et (I3+D+D² +· · · +Dⁿ⁻¹), puis des trois suites matricielles (Uⁿ), (I3+U+U²+· · ·+Uⁿ⁻¹)et(V +V U+V U²+· · ·+V Uⁿ⁻¹).

c. En déduire enn les limites des deux suites matricielles(Mⁿ)et (En).

d. Vérier que les suites (p(ABCn)), (p(BCn)) et (p(CAn)) convergent vers 0 et expliciter sous forme d'une fraction irréductible les limites des suites (p(An)), (p(Bn)),(p(Cn)),(p(∅n)).

Retrouver alors les probabilités obtenues en I pour que A, B, C remportent la compétition.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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