Lorsque A tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à

(1)

Énoncé

On considère

¹

un compétition entre trois tireurs A, B, C, qui se déroule en une suite d'épreuves de la façon suivante, jusqu'à élimination d'au moins deux des trois tireurs :

Tous les tirs sont indépendants les uns des autres.

Lorsque A tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à

²₃

. Lorsque B tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à

¹₂

. Lorsque C tire, la probabilité pour qu'il atteigne son adversaire est égale à

¹₃

.

Lorsque qu'un des tireurs est atteint, il est dénitivement éliminé des épreuves sui- vantes.

À chacune des épreuves, les tireurs non encore éliminés tirent simultanément et chacun d'eux vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés.

(Ainsi, à la première épreuve, A vise B tandis que B et C visent A).

Pour tout nombre entier n ≥ 1 , on considère les événements suivants :

ABC

n

: à l'issue de la n-ième épreuve, A, B et C ne sont pas encore éliminés . AB

n

: à l'issue de la n-ième épreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés .

On dénit de façon analogue les événements BC

n

et CA

n

. A

n

: à l'issue de la n-ième épreuve, seul A n'est pas éliminé .

On dénit de façon analogue les événements B

_n

et C

_n

.

∅

n

: à l'issue de la n-ième épreuve, les trois tireurs sont éliminés .

Enn, ABC

₀

est l'événement certain, AB

₀

, BC

₀

, CA

₀

, A

₀

, B

₀

, C

₀

, ∅

₀

l'événement impossible.

PARTIE I

On détermine les probabilités pour que A, B, C remportent la compétition.

1. Calcul de probabilités.

a. Exprimer, si U et V désignent deux événements quelconques d'un espace proba- bilisé donné, la probabilité p(U ∪ V ) en fonction de p(U ) , p(V ) et p(U ∩ V ) . b. En déduire la probabilité pour qu'à une épreuve à laquelle participent A, B, C :

(A rate son tir) et (B ou C réussissent leur tir).

c. En déduire la probabilité pour qu'à une épreuve à laquelle participent A, B, C : (A réussit son tir) et (B ou C réussissent leur tir).

2. Détermination de probabilités conditionnelles. Soit n ≥ 1 .

1D'après ESSEC 2000, option scientique, maths 2

a. Montrer que l'événement AB

n

est impossible. Dans la suite, on ne considérera donc que les événements ABC

n

, BC

n

, CA

n

, A

n

, B

n

, C

n

, ∅

n

.

b. Expliciter la probabilité conditionnelle p(ABC

_n+1

|ABC

n

) . c. Expliciter p(BC

_n+1

|ABC

n

) à l'aide de la question 1), puis donner

p(CA

n+1

|ABC

n

)

d. Expliciter p(A

n+1

|ABC

n

) , p(B

n+1

|ABC

n

) et p(C

n+1

|ABC

n

) .

e. Expliciter p(A

_n+1

|CA

n

) , p(B

_n+1

|BC

n

) , p(C

_n+1

|CA

n

) et p(C

_n+1

|BC

n

) . f. Expliciter p(∅

n+1

|ABC

n

) , p(∅

n+1

|BC

n

) et p(∅

n+1

|CA

n

) .

3. Nombre moyen d'épreuves à l'issue des quelles s'achève la compétition.

On note T

n

l'événement Le combat cesse à l' issue de la n-ième épreuve (la com- pétition cesse à l'issue de la n -ième épreuve s'il n'a pas cessé avant et si à l'issue de la n-ième épreuve il ne reste qu'un tireur au plus).

a. Quelle est la probabilité de l'événement T

1

? b. Soit n ≥ 2 . Calculer la probabilité de l'événement :

ABC

₁

∩ ABC

₂

∩ · · · ∩ ABC

_n−1

∩ ABC

_n

c. Soit n ≥ 2 . Calculer la probabilité de la réunion des événements suivants pour les entiers 0 ≤ k ≤ n − 1 :

ABC

₁

∩ · · · ∩ ABC

_k

∩ CA

_k+1

∩ · · · ∩ CA

_n

(pour k = 0 , il s'agit de l'événement CA

1

∩ CA

2

∩ · · · ∩ CA

n

).

d. Soit n ≥ 2 . Calculer la probabilité de la réunion des événements suivants pour les entiers 0 ≤ k ≤ n − 1 :

ABC

₁

∩ · · · ∩ ABC

_k

∩ BC

_k+1

∩ · · · ∩ BC

_n

(pour k = 0 , il s'agit de l'événement BC

1

∩ BC

2

∩ · · · ∩ BC

n

).

e. Soit n ≥ 2 . Calculer la probabilité de l'événement la compétition n'est pas terminé à l'issue de la n-ième épreuve . En déduire la probabilité p(T

n

) (on vériera que cette formule redonne bien pour n = 1 le résultat obtenu à la question a)).

f. Montrer que la somme P

n

k=1

p(T

k

) tend vers 1 quand n tend vers +∞ . Puis déterminer sous forme de fraction irréductible la limite lorsque n tend vers +∞

de P

n

k=1

kp(T

k

) (cela correspond au nombre moyen d'épreuves à l'issue des quelles

s'achève la compétition).

(2)

4. Probabilités pour que A, B, C remportent la compétition.

a. Montrer que, si n = 1 , l'événement A remporte la compétition à l'issue de la n- ième épreuve est impossible. Montrer qu'il est égal à la réunion des événements suivants si n ≥ 2 :

ABC

1

∩ · · · ∩ ABC

k

∩ CA

k+1

∩ · · · ∩ CA

n−1

∩ A

n

pour 0 ≤ k ≤ n − 2 (pour k = 0 , il s'agit de l'événement CA

1

∩ CA

2

∩ · · · ∩ CA

_n−1

∩ A

n

).

b. Calculer la probabilité pour que A remporte la compétition à l'issue de la n-ième épreuve ( n ≥ 2 ).

c. En déduire la probabilité pour que A remporte la compétition (c'est à dire pour qu'il ne soit pas éliminé à l'issue du combat).

d. Déterminer de même la probabilité pour que B remporte la compétition.

e. Déterminer de même la probabilité pour que C remporte la compétition.

PARTIE II

Dans cette partie, on retrouve par des méthodes matricielles les probabilités pour que A, B, C remportent la compétition en n'utilisant que les résultats des questions I.1) et I.2).

1. Expression de la matrice de transition M .

a. On considère la matrice-colonne E

n

à sept lignes dont les sept éléments sont dans cet ordre, du haut vers le bas,

p(ABC

n

), p(BC

n

), p(CA

n

), p(A

n

), p(B

n

), p(C

n

), p(∅

n

)

Expliciter une matrice M ∈ M

7

( R ) telle que, ∀n ∈ N , E

_n+1

= M E

_n

. On vériera que la somme de chacune des colonnes de M est égale à 1.

b. En déduire E

_n

en fonction de n , de M et E

₀

. 2. Calcul des puissances de la matrice M .

a. On considère deux matrices carrées d'ordre 3 notées U

⁰

, U

⁰⁰

et deux matrices rectangulaires à 4 lignes et 3 colonnes notées V

⁰

, V

⁰⁰

et l'on forme les matrices carrées d'ordre 7 :

M

⁰

=

U

⁰

0 V

⁰

I

4

M

⁰⁰

=

U

⁰⁰

0 V

⁰⁰

I

4

où 0 désigne la matrice nulle à 3 lignes et 4 colonnes et I

4

la matrice-identité d'ordre 4. Vérier à l'aide des règles du produit matriciel l'égalité suivante :

M

⁰

M

⁰⁰

=

U

⁰

U

⁰⁰

0 V

⁰

U

⁰⁰

+ V

⁰⁰

I

4

b. Expliciter les matrices U et V telles que : M =

U 0 V I

₄

c. Établir enn, pour n ≥ 1 , l'égalité suivante : M

ⁿ

=

U

ⁿ

0 V + V U + . . . V U

ⁿ⁻¹

I

₄

3. Diagonalisation de la matrice U .

a. Déterminer trois réels λ

₁

< λ

₂

< λ

₃

tel que le système (d'inconnue X , matrice colonne de taille 3), U X = λX ait une solution non nulle. Pour i = 1, 2, 3 , déterminer V

i

la solution du système U X = λ

i

X telle que

la première composante de V

1

vaut 1.

la troisième composante de V

2

vaut 1.

la deuxième composante de V

3

vaut 1.

b. Déterminer une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que D = P

⁻¹

U P . Préciser P

⁻¹

.

4. Calcul de la limite des puissances de la matrice M .

a. Pour n ∈ N, expliciter les matrices D

ⁿ

et I

3

+ D + D

²

+ · · · + D

ⁿ⁻¹

.

b. On dit qu'une suite de matrices (X

n

) à p lignes et q colonnes converge vers une matrice X à p lignes et q colonnes si chaque coecient de la matrice X

n

converge quand n tend vers +∞ vers le coecient correspondant de la matrice X . On admettra (sous réserve d'existence) que la limite d'un produit est le produit des limites.

Expliciter à l'aide des résultats précédents les limites des deux suites matricielles (D

ⁿ

) et (I

3

+ D + D

²

+ · · · + D

ⁿ⁻¹

) , puis des trois suites matricielles (U

ⁿ

) , (I

3

+ U + U

²

+ · · · + U

ⁿ⁻¹

) et (V + V U + V U

²

+ · · · + V U

ⁿ⁻¹

) .

c. En déduire enn les limites des deux suites matricielles (M

ⁿ

) et (E

n

) .

d. Vérier que les suites (p(ABC

n

)) , (p(BC

n

)) et (p(CA

n

)) convergent vers 0 et expliciter sous forme d'une fraction irréductible les limites des suites (p(A

n

)) , (p(B

n

)) , (p(C

n

)) , (p(∅

n

)) .

Retrouver alors les probabilités obtenues en I pour que A, B, C remportent la

compétition.

(3)

Corrigé PARTIE I

Notons A ( respectivement B et C ) l'événement A (resp. B , C ) réussit son tir à une épreuve donnée.

1. Calcul de probabilités.

a. D'après le cours :

P(U ∪ V ) = P (U ) + P(V ) − P (U ∩ V ) b. On cherche la probabilité de A ∩ (B ∪ C) .

P(A∩(B∪C)) = P ((A∩B)∪(A∩C)) = P(A∩B)+P(A∩C)−P (A∩B∩C) (d'après a)

= P (A)P (B) + P (A)P (C) − P (A)P(B)P (C) (par indépendance des tirs)

= 1 3 1 2 + 1

3 1 3 − 1

3 1 2 1 3 = 2

9 c. On cherche la probabilité de A ∩ (B ∪ C) . On trouve de même

P(A ∩ (B ∪ C)) = P ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C)) = P(A ∩ B) + P(A ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C)

= P (A)P (B) + P (A)P (C) − P(A)P (B)P (C)

= 2 3 1 2 + 2

3 1 3 − 2

3 1 2 1 3 = 4

9 2. Détermination de probabilités conditionnelles

a. Tant qu'aucun des tireurs n'est éliminé, à chaque étape A vise B, B et C visent A. Le tireur C n'est pas visé et ne peut donc pas être éliminé avant A ou B.

L'événement AB

_n

est donc impossible.

b. ABC

_n+1

∩ ABC

_n

est événement ABC

_n

et A , B et C ratent leur tir à l'étape n . Par indépendance des tirs on a donc

p(ABC

n+1

|ABC

n

) = p(A)p(B)p(C) = 1 3 1 2 2 3 = 1

9 c. Comme, tant qu'aucun des tireurs n'est éliminé à chaque étape A vise B, B et C visent A. L'événement BC

_n+1

∩ ABC

_n

est événement ABC

_n

inter l'événement

épreuve à 3

B ou C réussit 2/3

B et C échouent 1/3

A réussit 2/3

A échoue

1/3 2/3 1/3

Fig. 1: probabilités conditionnelles

" A rate son tire et B ou C réussissent leur tir à l'étape n ". Par indépendance des tirs on a donc

p(BC

n+1

|ABC

n

) = p(A ∩ (B ∪ C)) = 2

9 par 1b) De même

p(CA

_n+1

|ABC

n

) = p(A ∩ B ∩ C) = 2 9

d. Si A, B, C ne sont pas éliminés, personne ne vise C, C ne peut donc pas être éliminé. D'où

p(A

n+1

|ABC

n

) = 0 et p(B

n+1

|ABC

n

) = 0 Comme dans la question précédente

p(C

n+1

|ABC

n

) = p(A ∩ (B ∪ C)) = 4

9 par 1c)

e. Si à une étape il reste A et C alors A vise sur C et C vise sur A. L'événement A

n+1

∩ CA

n

est donc l'événement CA

n

inter l'événement "A rate son tir et C réussit son tir à l'étape n ". Par indépendance des tirs, on a donc

p(A

n+1

|CA

n

) = p(A ∩ C) = 4

9

(4)

De même

p(B

n+1

|BC

n

) = p(B ∩ C) = 1

3 p(C

n+1

|CA

n

) = p(C ∩ A) = 1 9 et

p(C

n+1

|BC

n

) = p(C ∩ B) = 1 6

f. On a toujours, si A, B, C ne sont pas éliminés, personne ne vise C, C ne peut donc pas être éliminé, d'où

p(∅

n+1

|ABC

n

) = 0 D'autre part,

p(∅

n+1

|BC

n

) = p(B ∩ C) = 1

6 p(∅

n+1

|CA

n

) = p(C ∩ A) = 2 9

ABC n-1 1/9 ABC n

BC n 2/9 AC n

2/9 AB n

0

A n 0

B n 0

C n 4/9

vide n 0

Fig. 2: issues épreuve à 3

3. Nombre moyen d'épreuves à l'issue desquelles s'achève le combat.

BC n-1 2/6 BC n

B n

2/6

C n 1/6

vide n 1/6

Fig. 3: issues épreuve avec BC

AC n-1 2/9 AC n

A n

2/9

C n 1/9

vide n 2/9

Fig. 4: issues épreuve avec AC

a. L'événement T

₁

est l'union disjointe des événements A

₁

, B

₁

, C

₁

, ∅

1

. La probabilité des événements A

₁

, B

₁

, C

₁

, ∅

₁

a été calculé en d) et e) en prenant n = 0 et en utilisant que ABC

₀

est l'événement certain. On trouve donc

p(T

₁

) = p(A

₁

) + p(B

₁

) + p(C

₁

) + p(∅

1

) = 0 + 0 + 4

9 + 0 = 4 9

b. Soit n ≥ 2 . Remarquons que pour 0 ≤ k ≤ n

ABC

0

∩ ABC

1

∩ · · · ∩ ABC

_k−1

∩ ABC

k

= ABC

k

D'où, par la question 2b.,

p(ABC

1

∩ ABC

2

∩ · · · ∩ ABC

_n−1

∩ ABC

n

)

= p(ABC

₁

|ABC

₀

)p(ABC

₂

|ABC

₁

) . . . p(ABC

_n

|ABC

_n−1

) = 1

9

ⁿ

(5)

c. Soit n ≥ 2 et soit 0 ≤ k ≤ n − 1 , on trouve de même : p(ABC

1

∩ · · · ∩ ABC

k

∩ CA

k+1

∩ · · · ∩ CA

n

)

= p(ABC

₁

|ABC

₀

) . . . p(ABC

_k

|ABC

_k−1

)p(CA

_k+1

|ABC

_k

) p(CA

k+2

|CA

k+1

)) . . . p(CA

n

|CA

n−1

)

= 1

9

^k

2 9 2

9

n−k−1

= 2

^n−k

9

ⁿ

d. Soit n ≥ 2 et soit 0 ≤ k ≤ n − 1 :

p(ABC

1

∩ · · · ∩ ABC

k

∩ BC

k+1

∩ · · · ∩ BC

n

)

= p(ABC

₁

|ABC

0

) . . . p(ABC

_k

|ABC

k−1

)p(BC

_k+1

|ABC

k

) p(BC

k+2

|BC

k+1

)) . . . p(BC

n

|BC

_n−1

)

= 1

9

k

2 9

1 3

n−k−1

= 2

3

^n+k+1

e. Soit n ≥ 2 . Notons T

>n

l'événement étudié. Le combat n'est pas ni à l'issue de la

n-ième épreuve si à l'issue de la n-ième épreuve il reste deux ou trois tireurs. T

>n

est la réunion disjointe de ABC

n

, AB

n

(qui est l'événement impossible), CA

n

et BC

n

.

D'autre part,

CA

n

est l'union disjointe des événements ABC

1

∩ · · · ∩ ABC

k

∩ CA

k+1

∩ · · · ∩ CA

n

, pour 0 ≤ k ≤ n − 1

BC

n

est l'union disjointe des événements ABC

1

∩· · ·∩ABC

k

∩BC

k+1

∩· · ·∩BC

n

, pour 0 ≤ k ≤ n − 1 .

D'où, d'après les questions b), c) et d)

p(T

_>n

) = 1 9

ⁿ

+

n−1

X

k=0

2

^n−k

9

ⁿ

+

n−1

X

k=0

2 3

^n+k+1

= 1

9

ⁿ

+ 2

ⁿ⁺¹

− 2 9

ⁿ

+

1 3

ⁿ

− 1

9

ⁿ

= 2

ⁿ⁺¹

+ 3

ⁿ

− 2 9

ⁿ

On a T

>n−1

est l'union disjointe de T

n

et T

>n

. Donc

p(T

n

) = p(T

>n−1

) − p(T

>n

) = 2

ⁿ

+ 3

ⁿ⁻¹

− 2

9

ⁿ⁻¹

− 2

ⁿ⁺¹

+ 3

ⁿ

− 2 9

ⁿ

Pour n = 1 ,

²ⁿ⁺³₉ⁿ⁻¹ⁿ⁻¹⁻²

−

²ⁿ⁺¹⁺³₉nⁿ⁻²

=

⁴₉

ce qui correspond à la probabilité de T

₁

.

f. Pour k ∈ N, posons t

_k

=

²^k+1⁺³₉_k^k⁻²

.

Soit n ≥ 1 . D'après la formule précédente (valable dès k = 1 )

n

X

k=1

p(T

k

) =

n

X

k=1

(t

k−1

− t

k

) = t

0

− t

n

(sommation en dominos)

= 1 − 2

ⁿ⁺¹

+ 3

ⁿ

− 2 9

ⁿ

qui tend bien vers 1 en +∞ . D'où

n

X

k=1

kp(T

_k

) =

n

X

k=1

k(t

_k−1

− t

_k

) =

n

X

k=1

t

_k−1

!

− nt

_n

=

n−1

X

k=0

2

^k+1

+ 3

^k

− 2 9

^k

!

− n 2

ⁿ⁺¹

+ 3

ⁿ

− 2 9

ⁿ

Ce qui permet de calculer l'espérance :

n−1

X

k=0

2

^k+1

9

^k

tend vers 18 7

n−1

X

k=0

3

^k

9

^k

tend vers 3 2

n−1

X

k=0

2

9

^k

tend vers 9 4 n 2

ⁿ⁺¹

+ 3

ⁿ

− 2

9

ⁿ

tend vers 0



 

 

 

 

⇒

n

X

k=1

kp(T

k

) tend vers 51 28

4. Probabilités pour que A, B, C remportent le combat

a. Si A est le seul tireur restant à l'issue de la n-ième étape alors B et C ont été éliminés avant selon le schéma suivant.

(ABC) −−−−→

^k^fois

(ABC) → (AC) −−−−−−−−→

^n−k−2^fois

(AC) → (A)

Comme déjà vu, tant qu'aucun des tireurs n'est éliminé à chaque étape A vise B,

B et C visent A. B est donc éliminé (strictement) avant C. Dès que C est éliminé,

(6)

A gagne. On voit donc que l'événement A

1

est impossible et que pour n ≥ 2 , A

n

est l'union disjointe des

ABC

1

∩ · · · ∩ ABC

k

∩ CA

k+1

∩ · · · ∩ CA

n−1

∩ A

n

pour 0 ≤ k ≤ n − 2 (où k correspond à l'étape où B a été éliminé).

b. Soit n ≥ 2 et 0 ≤ k ≤ n − 2 . D'après la formule des probabilités composées, la probabilité de l'événement correspondant au schéma indiqué est

1 9

k

× 2 9 ×

2 9

n−k−2

× 4 9 = 1

9

ⁿ

2

^n+1−k

Ces événements indexés par k sont disjoints, la probabilité que A remporte le combat à l'issue de l'épreuve n est donc la somme des probabilités

n−2

X

k=0

1

9

ⁿ

2

^n+1−k

= 1

9

ⁿ

2

ⁿ⁺¹

+ · · · + 2

³

= 2

ⁿ⁺²

− 2

³

9

ⁿ

= 4

2 9

ⁿ

− 8 1

9

ⁿ

c. L'événement A est l'union disjointe des A

n

pour n ≥ 2 . Donc p(A) est la limite quand n tend vers +∞ de P

n

k=2

p(A

k

) . On obtient p(A) =

₆₃¹

P B . p(A) = 4

2 9

2

1 1 −

²₉

− 8

1 9

2

1 1 −

¹₉

= 16 9 × 7 − 8

9 × 8 = 16 − 7 9 × 7 = 1

7 d. Suivant le même principe B

_n

est l'union disjointe, pour 0 ≤ k ≤ n − 2 , des

ABC

₁

∩ · · · ∩ ABC

_k

∩ BC

_k+1

∩ · · · ∩ BC

_n−1

∩ B

_n

Soit n ≥ 2 et 0 ≤ k ≤ n − 2

p(ABC

1

∩ · · · ∩ ABC

k

∩ BC

k+1

∩ · · · ∩ BC

_n−1

∩ B

n

)

= p(ABC

₁

∩ · · · ∩ ABC

_k

∩ BC

_k+1

∩ · · · ∩ BC

_n−1

)p(B

_n

|BC

_n−1

)

= 2

3

^n+k

1 3 = 2

3

^n+k+1

D'où

p(B

n

) = 1 3

ⁿ

− 1

3

²ⁿ⁻¹

Donc p(B) est la limite quand n tend vers +∞ de P

n

k=2

p(B

k

) . On obtient p(B) =

1 3

²

1 1 −

¹₃

− 3

1 9

²

1 1 −

¹₉

= 1

8 e. Pour que C gagne le combat à l'étape n il y a plusieurs cas de gure : Soit A et B sont éliminés en même temps. Notons C

_n,AB

cet événement.

C'est aussi ABC

₁

∩ · · · ∩ ABC

_n−1

∩ C

_n

de probabilité

p(ABC

₁

∩ · · · ∩ ABC

_n−1

∩ C

_n

) = p(ABC

_n−1

)p(C

_n

|ABC

_n−1

) = 1 9

ⁿ⁻¹

4 9 = 4

9

ⁿ

Soit A est éliminé puis B. Notons C

n,B

cet événement.

C'est l'union disjointe, pour 0 ≤ k ≤ n − 2 , des événements ABC

1

∩ · · · ∩ ABC

k

∩ BC

k+1

∩ · · · ∩ BC

n−1

∩ C

n

Soit n ≥ 2 et 0 ≤ k ≤ n − 2

p(ABC

1

∩ · · · ∩ ABC

k

∩ BC

k+1

∩ · · · ∩ BC

n−1

∩ C

n

)

= p(ABC

1

∩ · · · ∩ ABC

k

∩ BC

k+1

∩ · · · ∩ BC

_n−1

)p(C

n

|BC

_n−1

))

= 2

3

^n+k

1 6 = 1

3

^n+k+1

La probabilité de C

_n,B

est donc :

1 2 ( 1

3

ⁿ

− 1 3

²ⁿ⁻¹

)

Soit B est éliminé puis A. Notons C

_n,A

cet événement. C'est l'union disjointe, pour 0 ≤ k ≤ n − 2 , des événements

ABC

₁

∩ · · · ∩ ABC

_k

∩ CA

_k+1

∩ · · · ∩ CA

_n−1

∩ C

_n

Soit n ≥ 2 et 0 ≤ k ≤ n − 2

p(ABC

₁

∩ · · · ∩ ABC

_k

∩ CA

_k+1

∩ · · · ∩ CA

_n−1

∩ C

_n

)

= p(ABC

1

∩ · · · ∩ ABC

k

∩ CA

k+1

∩ · · · ∩ CA

n−1

)p(C

n

|CA

n−1

)

= 2

^n−k−1

9

ⁿ⁻¹

1 9 = 2

^n−1−k

9

ⁿ

La probabilité de C

n,A

est donc

n−2

X

k=0

2

^n−1−k

9

ⁿ

= 1

9

ⁿ

(2

ⁿ

− 2)

(7)

L'événement C

n

est l'union disjointe des C

n,AB

, C

n,B

et C

n,A

Donc p(C) est la limite quand n tend vers +∞ de

n

X

k=1

p(C

_n,AB

) +

n

X

k=2

p(C

_n,B

) +

n

X

k=2

p(C

_n,A

) On obtient :

n

X

k=1

p(C

n,AB

) tend vers 1 2

n

X

k=2

p(C

n,B

) tend vers 1 16

n

X

k=2

p(C

n,A

) tend vers 1 28



 



 



⇒ p(C) = 67 112

PARTIE II

1. Expression de la matrice de transition M a. On trouve

M =





 1

9 0 0 0 0 0 0 2

9 1

3 0 0 0 0 0

2 9 0 2

9 0 0 0 0

0 0 4

9 1 0 0 0 0 1

3 0 0 1 0 0

4 9

1 6

1 9 0 0 1 0 0 1

6 2

9 0 0 0 1







b. Soit n ∈ N. Par récurrence, E

n

= M

ⁿ

E

0

. 2. Calcul des puissances de la matrice M .

a. Vérication évidente à l'aide du produit par blocs.

b. En lisant dans la matrice de transition, on trouve

U =





 1

9 0 0

2 9

1 3 0 2

9 0 2

9 





V =







0 0 4

9 0 1

3 0 4

9 1 6

1 9 0 1

6 2 9







c.

3. Diagonalisation de la matrice U

a. Le système considéré admet une solution non nulle si la matrice U − λI

3

n'est pas inversible. Notons P (λ) le déterminant de cette matrice.

P(λ) =

1

9

− λ 0 0

2 9

1

3

− λ 0

2

9

0

²₉

− λ

= ( 1 9 − λ)( 1

3 − λ)( 2 9 − λ)

D'où λ

1

=

¹₉

, λ

2

=

²₉

et λ

3

=

¹₃

.

La résolution des systèmes donne V

1

= (1, −1, −2) , V

2

= (0, 0, 1) et V

3

= (0, 1, 0) . b. D'après la formule de changement de base, on obtient le résultat cherché, en

formant la matrice des vecteurs propres trouvés soit :

P =







1 0 0

−1 0 1

−2 1 0







et D =







1

9

0 0

0

²₉

0 0 0

¹₃







avec P

⁻¹

=







1 0 0 2 0 1 1 1 0







4. Calcul de la limite des puissances de la matrice M . a. Soit n ∈ N,

D

ⁿ

=





1

9ⁿ

0 0 0

²₉ⁿn

0 0 0

₃¹n





(8)

et

I

3

+ D + · · · + D

ⁿ

=





9

8

−

_8.9¹_n

0 0

0

⁹₇

−

²_7.9ⁿ⁺¹n

0 0 0

³₂

−

_2.3¹n





b. On obtient que (D

ⁿ

) converge vers la matrice nulle et que (I

3

+ D + · · · + D

ⁿ

) converge vers la matrice





 9

8 0 0

0 9 7 0

0 0 3

2 





De U = P DP

⁻¹

, on tire U

ⁿ

= P D

ⁿ

P

⁻¹

pour n ∈ N. On en déduit que (U

ⁿ

) converge vers P 0P

⁻¹

ie vers la matrice nulle et (I

3

+ U + · · · + U

ⁿ

) converge vers la matrice

P





 9

8 0 0

0 9 7 0

0 0 3

2 



 P

⁻¹

=





 9

8 0 0

3 8

3 2 0 9

28 0 9 7







c. D'après l'expression de M

ⁿ

trouvée en 2)c) et en utilisant que (V +V U +· · ·+V U

ⁿ

) converge vers la matrice

V





 9

8 0 0

3 8

3 2

0 9

28 0 9 7







=





 1

7 0 4

7 1

8

1 2

0 67

112 1 4

1 7 15

112 1 4

2 7







Donc

E

_n

= M

ⁿ

E

₀

=





 0 0 0 1 7 1 8 67 112

15 112







d. On retrouve bien que (p(ABC

n

)) , (p(BC

n

)) et (p(CA

n

)) convergent vers 0 , que (p(A

n

)) converge vers 1

7 , que (p(B

n

)) converge vers 1

8 , que (p(C

n

) converge vers 67

112 et que (p(∅

n

) converge vers 15

112 .