MPSI B Année 2017-2018 Énoncé DM 2 pour le 22/09/17 24 avril 2020
Partie I
1. Soitw∈C. On notex= Re(w)ety= Im(w). Exprimer le module et un argument de eiw en fonction dexety.
2. Soitz∈C. On note a= Re(z)et b= Im(z). a. Exprimereiz+e−iz−2 comme un carré.
b. On note
D=
eiz+e−iz 2 −1
, S=
eiz+e−iz 2 + 1
.
ExprimerD,S etD+S et la somme de ces deux expressions à l'aide de aetb. On pourra faire apparaitre des carrés sous les modules.
Partie II
Exercice 1
Soita, b, ndes nombres entiers, on pose
Da ={(x, y)∈N2 tq x+y=a}
Tn ={(x, y)∈N2 tq x+y≤n}
Cn ={0,1,· · · , n}2
Donner une expression simple de chacune des sommes suivantes
Aa = X
(x,y)∈Da
x+y x
Bn= X
(x,y)∈Tn
x+y x
Gb,n =
n
X
x=0
x+b x
Dn= X
(x,y)∈Cn
x+y x
Exercice 2
Pourk entier naturel etxréel non congru à0moduloπ, linéariser 4 sin2xsin(2kx)
et l'exprimer comme la diérence de deux termes consécutifs d'une suite. En déduire, pour des entierspet qxés tels quep≤q, une autre expression de
q
X
k=p
4 sin2xsin(2kx)
Exercice 3
Soitnun entier strictement positif, exprimer, pourk∈ {0,2, . . . , n−1},
n k
2n k
−
n k+1
2n k+1
à l'aide d'un quotient de deux coecients du binôme.
En déduire une expression de
n
X
k=0 n k
2n−1 k
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M1702E
