MPSI B 15 décembre 2019
Énoncé
On noteE l'ensemble des matrices deM3(R)de la forme
M(a1, a2, a3, b) =
a1 b b b a2 b b b a3
PARTIE I
1. Montrer queEest un sous-espace vectoriel deM3(R). Préciser sa dimension. Poura, a0,b,b0 éléments deC, calculer le produit matriciel
M(a, a, a, b)M(a0, a0, a0, b0)
2. Comment doit-on choisir les nombres complexesa,a0,b,b0 pour que M(a, a, a, b)M(a0, a0, a0, b0) =I
En déduire, lorsqueM(a, a, a, b)est inversible, une expression de la matrice inverse.
3. Résoudre dansC3le système d'équations linéaires :
ax+y+z=a2−3 x+ay+z= 2a−4 x+y+az=−2 oùaest un élément deC.
PARTIE II
Dans cette partie, on pose
A=M(1,1,1,−1)
1. Montrer que pour tout entier naturel non nuln, il existe deux entiers naturelsun et vn tels que
An =unA+vnI
Préciser les relations de récurrence permettant d'exprimerunetvnen fonction deun−1 etvn−1 pourn≥2.
2. Déterminerun et vn puisAn en fonction den.
3. On poseQ= 2I−A. CalculerQn pournentier naturel non nul et retrouver à partir de cette relation l'expression deAn.
PARTIE III
Dans cette partie, on poseBa=M(1 +a,1,1−a,−1)avecaréel non nul.
1. Montrer que la fonction
R → R
λ → det(Ba−λI3) est polynomiale. On notePa le polynôme associé.
2. CalculerPa. Montrer qu'il admet trois racinesλ1, λ2, λ3 vériant λ1<0< λ2<2< λ3
3. Soit λ un nombre réel, montrer que λ ∈ {λ1, λ2, λ3} si et seulement si il existe une matrice colonne non nulleX ∈ M3,1(R)telle que
BaX=λX
4. Soit λ ∈ {λ1, λ2, λ3}, déterminer les X tels que BaX =λX. Préciser la colonne X dont la première ligne est2−λ
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Corrigé PARTIE I
1. Il est évident queE est un sous-espace vectoriel de dimension 4 deM3(C)dont
0 1 1 1 0 1 1 1 1
,
1 0 0 0 0 0 0 0 0
,
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1
est une base. Le calcul du produit donne
M(a, a, a, b)M(a0, a0, a0, b0) =M(α, α, α, α, β) avecα=aa0+bb0, β=ab0+a0b+bb0
2. D'après la question précédente,M(a, a, a, b)M(a0, a0, a0, b0) =I si et seulement si aa0+ (2b)b0 =1
ba0+ (a+b)b0=0 Le déterminant de ce système aux inconnuesa0, b0 est
a(a+b)−2b2=a2+ab−2b2= (a−b)(a+ 2b)
On en déduit queM(a, a, a, b)est inversible lorsquea6=bet a+ 2b6= 0. Dans ce cas, la matrice inverse estM(a0, a0, a0, b0)avec
a0=
1 2b 0 a+b
(a−b)(a+ 2b) = a+b (a−b)(a+ 2b)
b0=
a 1 b 0
(a−b)(a+ 2b) = −b (a−b)(a+ 2b) 3. Matriciellement, le sytème proposé s'écrit
M(a, a, a, b)
x y z
=
a2−3 2a−4
−2
sia6∈ {1,−2}. La matriceM(a, a, a, b)est inversible et les résultats de la question précédente conduisent à une seule solution
x y z
= 1 a+ 2
a2+ 2a−3 a−1
−(a+ 5)
sia= 1. Le système se réduit à la seule équationx+y+z =−2. L'ensemble des solutions est
{
−2 0 0
+y
−1 1 0
+z
−1 0 1
,(y, z)∈C2} sia=−2. Le système devient
−2x+y+z= 1 x−2y+z =−8 x+y−2z =−2
il est sans solution car la somme des trois équations donne0 = 9.
PARTIE II
1. SiA=M(1,1,1,−1),A2=M(3,3,3,−1) =A+ 2I. Posons u0= 0, v0= 1, u1= 1, v1= 0
pour queA0=u0A+v0I et A1=u1A+v1I. SiAn−1=un−1A+vn−1I alors An=un−1A2+vn−1A= (un−1+vn−1)A+ 2un−1I=unA+vnI avec
un =un−1+vn−1, vn = 2un−1 2. On peut écrire les relations précédentes sous la forme
vn=vn−1+ 2vn−2, un =1 2vn+1
L'équation caractéristique de la relation de récurrence linéaire d'ordre 2 estX2−X− 2 = (X+ 1)(X−2). Les suites vériant cette relation sont des combinaisons de suites
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géométriques de raison -1 et 2. En tenant compte des conditions initiales, on trouve après calcul
vn= 2
3(−1)n+1
32n, un= 1
3(−1)n+1+1 32n On en déduit
An = (1
3(−1)n+1+1
32n)A+ (2
3(−1)n+1 32n)I
3. La matrice Q = 2I−A n'est formée que de 1. Elle vérie Q2 = 3Q, Qn = 3n−1Q. CommeIetQcommutent, on peut utiliser la formule du binôme dansAn= (2I−Q)n. On en déduit
An= 2nI+ (
n
X
k=1
n k
2n−k(−1)k3k−1)Q.
La somme devantQs'écrit encore 1
3((2−3)n−2n) = 1
3(−1)n−1 32n En reinjectantQ= 2I−A, on obtient
An = 2nI+ (1
3(−1)n−1
32n)(2I−A)
= (1
3(−1)n+1+1
32n)A+ (2
3(−1)n+2 32n)I qui est la même expression que dans la question précédente.
PARTIE III
1. Le déterminant d'une matrice 3,3 est une somme de produits. Chaque produit est formé de trois facteurs (un par colonne).Commeλgure une seule fois dans chaque colonne, le déterminant de Ba−λI est donc un polynôme de degré 3 enλ. Le terme de plus haut degré est(−λ)3. Il est obtenu dans le produit des trois termes de la diagonale.
Après calcul, on trouve
P(λ) =−λ3+ 3λ2+a2λ−a2−4
2. De plus, en −∞ P → +∞, en 0 P(0) = −a2−4 < 0 et en 2 P(2) = a2 > 0. Le polynômeP admet donc trois racinesλ1, λ2, λ3 telles que
λ1<0< λ2<2< λ3
3. Le nombreλest racine deP si et seulement siBa−λI n'est pas inversible c'est à dire si et seulement si il existe une colonne non nulle X telle que
(Ba−λI)X = 0 ce qui s'écrit aussiBAX =λX.
4. Il s'agit simplement de chercher une solutionX de l'équation précédente en imposant la première ligne deX égale à2−λ. On trouve après calcul
2−λ 2 +a−λ λ2−(a+ 2)λ+a
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