Enonc´e noG230 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Pour aller de a1 `a la huiti`eme rang´ee en sept pas, le Roi doit gagner une rang´ee `a chaque pas. Dans chaque rang´eei+ 1, le nombre de fa¸cons d’arriver en ipas `a la case en lignei+ 1 et en colonne j `a partir de a1 est la somme des fa¸cons d’arriver en i−1 pas aux cases de la rang´ee i et des colonnes j−1, j, j+ 1, contigu¨es `a la case vis´ee.
On remplit ainsi de proche en proche l’´echiquier avec les nombres de parcours venant de a1 avec ces conditions.
8 127 196 189 133 70 27 7 1
7 51 76 69 44 20 6 1
6 21 30 25 14 5 1
5 9 12 9 4 1
4 4 5 3 1
3 2 2 1
2 1 1
1 1
a b c d e f g h
En huiti`eme ligne, on reconnaˆıt le carr´e 196 en b8, le cube 27 en f8 et 1, carr´e et cube, en h8. Ce sont les cases C1, C2, C3 respectivement.
DeC1`aC3en sept pas, il y a un ´ecart de 6 colonnes, donc un des pas se fera dans la mˆeme colonne. Pour d´enombrer les parcours, je vais d’abord laisser de cˆot´e la condition d’´eviter C2.
Le pas fait sans changer de colonne s´epare le parcours en deux parties o`u chaque pas fait changer de colonne. Je commence par d´enombrer, dans les deux diagrammes suivants, les parcours partant deC1 et les parcours arri- vant enC3, chaque pas faisant progresser d’une colonne. La m´ethode op`ere alors de proche en proche d’une colonne `a la colonne voisine.
8 1 1 2 4 9 21 51
7 1 2 5 12 30 76
6 1 3 9 25 69
5 1 4 14 44
4 1 5 20
3 1 6
2 1
1
a b c d e f g h
1
8 51 21 9 4 2 1 1
7 76 30 12 5 2 1
6 69 25 9 3 1
5 44 14 4 1
4 20 5 1
3 6 1
2 1
1
a b c d e f g h
Si le pas sans changement de colonne est d6–d7, on a 1 parcours de b8 `a d6 et 12 parcours de d7 `a h8, qui se combinent pour donner 1×12 = 12 parcours de b8 `a h8. Inversement si le pas ´etait d7–d6, on aurait 2 parcours de b8 `a d7 et 9 parcours de d7 `a h8, soit 2×9 = 18 parcours de b8 `a h8.
Il s’agit de totaliser ces nombres de parcours en ´enum´erant toutes les possi- bilit´es de pas sans changement de colonne. Ce calcul est grandement facilit´e par la remarque suivante, sur les contributions de deux colonnes contigu¨es
`
a ce total.
Dans le premier diagramme, les nombres augmentent de gauche `a droite, soitp(i) en ligne idans la premi`ere des deux colonnes consid´er´ees, et P(i) dans la seconde. Dans le second diagramme, c’est l’inverse, soit Q(i) dans la premi`ere colonne etq(i) dans la seconde.
Quand le pas sans changement de colonne est dans la premi`ere colonne, on obtient comme contribution au nombre de parcours
P
ip(i)(Q(i−1) +Q(i+ 1)).
OrQ(i) =q(i−1) +q(i) +q(i+ 1), d’o`u la contribution P
ip(i)(q(i−2) +q(i−1) + 2q(i) +q(i+ 1) +q(i+ 2)).
En regroupant autrement, cela donne P
jq(j)(p(j+ 2) +p(j+ 1) + 2p(j) +p(j−1) +p(j−2)),
=Pjq(j)(P(j+ 1) +P(j−1)), puisqueP(i) =p(i−1) +p(i) +p(i+ 1).
C’est exactement la contribution de la colonne de droite.
Il suffit donc d’observer qu’il y a 7 colonnes de b `a h, et que la colonne h donne 76 parcours se terminant par le pas sans changement de colonne h7–h8.
On a donc 7×76 = 532 parcours deC1 `aC3 en 7 pas, mais certains passent parC2.
Les parcours allant de C1 `a C3 en 7 pas, et passant par C2, se classent en deux types : ceux qui mettent 5 pas deC1 `aC2 et 2 pas deC2 `a C3, et ceux qui mettent 4 pas deC1 `aC2 et 3 pas deC2 `aC3.
Comme pr´ec´edemment, je d´enombre les parcours o`u chaque pas fait avancer d’une colonne, qui arrivent enC2 et qui en repartent.
2
8 9 4 2 1 1 1 2
7 12 5 2 1 1 2
6 9 3 1 1
5 4 1
4 1
3 2 1
a b c d e f g h
Pour les parcours du premier type, on trouve 12 parcours se terminant par f7–f8, soit avec 5 colonnes 5×12 = 60 parcours C1–C2 se combinant avec 2 parcoursC2–C3, soit 120 parcours C1–C3 passant parC2.
Pour les parcours du second type, on trouve 2 parcoursC2–C3 commen¸cant par f8–f7, soit avec 3 colonnes 3×2 = 6 parcoursC2–C3 se combinant avec 9 parcoursC1–C2, soit 54 parcoursC1–C3 passant parC2.
Le nombre de parcours de 7 pas qui m`enent deC1 `aC3 sans passer parC2 est ainsi
532−120−54 = 358.
3
