Enonc´e noE657 (Diophante) Le rectangle interdit
Sur un ´echiquier (8 x 8 cases), on marque n cases, en ´evitant que les centres de 4 des cases marqu´ees ne forment un rectangle `a cˆot´es parall`eles aux cˆot´es de l’´echiquier. Quelle est la plus grande valeur possible de n? Mˆeme question pour un damier (10 x 10 cases)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Consid´erons un tableau de c×c cases, avec n cases marqu´ees. Celles-ci se r´epartissent en n1 en colonne 1 du tableau, n2 en colonne 2, . . ., nc
en colonne c. Avec les nj cases marqu´ees en colonne j, on peut former nj(nj −1)/2 paires de cases ou de lignes ; aucune de ces paires de lignes ne doit se reproduire dans une autre colonne, sous peine de former un des rectangles prohib´es par l’´enonc´e. Or avec c lignes on ne peut former que c(c−1)/2 paires distinctes.
Une condition de possibilit´e est donc P
jnj(nj−1)/2≤c(c−1)/2.
Avec la condition Pjnj =n, on a Pj(nj)2 ≥n2/c, d’o`u n2−nc+c2 ≤c3 (l’´egalit´e exigeant nj =n/c pour toutj).
Pour c = 8, cela donne la limite n ≤ 25 ; avec nj = 3 pour tout j sauf n1 = 4 on an= 25 et en tout 27< C82 paires, mais cette disposition n’est pas effectivement r´ealisable ; on ne peut marquer que 24 cases au plus, par exemple selon le sch´ema suivant :
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
Pour c = 10, la limite n ≤ 35 obtenue par la m´ethode ci-dessus n’est pas non plus r´ealisable ; mais on peut marquer 34 cases sans former de rectangle.
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
1
