Nota : l’entier de la colonne b est à 3 chiffreset occupe les cases b2,b3 et b4

F171 nombres croisés 1

^re grille

Les sept entiers 1022, 1122, 1212, 1221, 2101, 2102 et 2212 sont placés dans la grille carrée ci-contre 4 x 4.

Déterminer le 8e entier.

2 ^e grille

a b c d

Les entiers p et q étant distincts, remplir la grille ci-contre à l’aide des définitions suivantes :

1 Horizontalement :

1) p*q

2) multiple de q 3) (q-1)²

4) p²

Verticalement : a) (p+1)*(q+1) 2) multiple de q 3) multiple de p²-q² 4) q²

2 3 4

Nota : l’entier de la colonne b est à 3 chiffres et occupe les cases b2,b3 et b4

Résolution 1

^re grille

Tentons de placer d’abord le nombre 1022, nombre particulier car il est le seul de la liste à avoir un 0 en 2^e position. A une rotation près, je peux supposer qu’il figure en ligne.

• S’il est sur la 1^re ligne, la 2^e colonne qui commence par un 0 contient nécessairement le nombre mystère. Les nombres 2101 et 2102 doivent se croiser sur le 0 car ce sont les seuls à contenir ce chiffre, ils sont donc en 3^e ligne et colonne. La dernière colonne commence par 2 et contient donc la dernière valeur disponible soit 2212. Comme il n’y a plus de nombre commençant par 2, je complète la 1^re colonne avec des 1, ce qui donne 1121 qui n’est pas un nombre à placer. => l’hypothèse est invalide.

• S’il est sur la 2^e ligne, la 2^e colonne _0_ _ contient nécessairement le nombre mystère. Les nombres 2101 et 2102 doivent se croiser sur le 0 car ce sont les seuls à contenir ce chiffre, ils sont donc en 3^e ligne et colonne, ce qui est impossible car la 3^e colonne contient _ 2 _ _.

=> l’hypothèse est invalide.

• S’il est sur la 4^e ligne, la 2^e colonne _ _ _0 contient nécessairement le nombre mystère. Les nombres 2101 et 2102 doivent se croiser sur le 0 car ce sont les seuls à contenir ce chiffre, ils sont donc respectivement en 3^e ligne et 3^e colonne. La 1^re colonne _ _ 21 contient 1221, la 2^e ligne 2_1_ contient 2212, la 4^e colonne _212 contient 1212 et la 1^re ligne 1_21 ne peut être remplie car 1221 est déjà utilisé.=> l’hypothèse est invalide.

1022 occupe donc la 3^e ligne.

Supposons que les 3^e et 4^e colonne ne contiennent pas le nombre mystère : elles contiennent un 2 en 3^e position donc il s’agit des nombres 1122 et 1221. La première ligne se termine par 11, elle contient donc le nombre mystère. La 2^e colonne, avec un 0 en 3^e position, contient 2101 ou 2102 ; mais il n’y a plus aucun endroit pour placer le second nombre, parmi ces deux derniers, qui contiennent un 0 en 3^e position. => l’hypothèse est invalide.

2 La 2^e colonne, qui ne contient pas le nombre mystère, contient alors 2101 ou 2102 et le second de ces deux nombres ne peut que rejoindre la 2^e ou la 4^e ligne. Voilà donc ci-contre ce qu’on connaît à ce stade.

S’il est en 4^e ligne, il s’agit donc de 2102, le nombre mystère remplit alors la 3^e colonne _ _20. La 4^e colonne _ _ 22 est alors 1122 mais il n’est 1

1 0 2 2

plus possible de trouver 2 nombres terminant par 1 parmi ceux proposés pour les 1^re et 2^e ligne.

=> l’hypothèse est invalide.

2 La 3^e colonne est donc celle contenant le nombre mystère avec _02_ et voilà ci-contre ce qu’on connaît à ce stade. On conclut alors rapidement ; la 1^re colonne contient 1212 ou 2212, la 4^e ligne 2 _ _ _ contient alors nécessairement 2212 et par conséquent, la 1^re colonne 1212. On place enfin 1221 sur la 1^re ligne et 1122 sur la 4^e colonne.

2 1 0

1 0 2 2

1 2 2 1

Et le nombre mystère, en 3^e colonne, est 2021 : ouf !

2 1 0 1

1 0 2 2

2 2 1 2

2 ^e grille

1) Dans un premier temps, raisonnons sur la case d4 : le nombre en colonne, comme celui en ligne, étant un carré, cette case ne peut contenir qu’un chiffre parmi 0 – 1 – 4 – 5 – 6 – 9.

Testons les différentes hypothèses :

• si « 0 » se trouve en d4 : alors p et q sont congrus à 0 modulo 10, les cases d1 et d2

contiennent « 0 » et d3 contient « 1 ». Or 0010 (colonne d) n’est pas le carré d’un entier. Cas impossible.

• si « 1 » se trouve en d4 : alors p et q sont congrus à 1 ou 9 modulo 10,

◦ p 1 et q 1 : alors d1 contient « 1 », d3 contient « 0 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 1x01 en base 10, il serait compris entre 32 et 44 inclus, seul q=41 peut convenir or 39²=1521 et 41²=1681. Cas impossible.

◦ p 1 et q 9 : alors d1 contient « 9 », d3 contient « 4 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 9x41 en base 10, il serait compris entre 95 et 99 inclus, seul q=99 peut convenir or 99²=9801. Cas impossible.

◦ p 9 et q 1 : alors d1 contient « 9 », d3 contient « 0 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 9x01 en base 10, il serait compris entre 95 et 99 inclus, il n’y a donc pas de candidat possible pour q. Cas impossible.

◦ p 9 et q 9 : alors d1 contient « 1 », d3 contient « 4 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 1x41 en base 10, il serait compris entre 32 et 44 inclus, seul q=39 peut convenir or 39²=1521. Cas impossible.

• si « 4 » se trouve en d4 : alors p et q sont congrus à 2 ou 8 modulo 10,

◦ p 2 et q 2 : alors d1 contient « 4 », d3 contient « 1 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 4x14 en base 10, il serait compris entre 64 et 70 inclus, il n’y a donc pas de candidat possible pour q. Cas impossible.

◦ p 2 et q 8 : alors d1 contient « 6 », d3 contient « 9 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 6x94 en base 10, il serait compris entre 78 et 83 inclus, seul q=78 peut convenir or 78²=6084. Cas impossible.

◦ p 8 et q 2 : alors d1 contient « 6 », d3 contient « 1 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 6x14 en base 10, il serait compris entre 78 et 83 inclus, seul q=82 peut convenir or 82²=6724. Cas impossible.

◦ p 8 et q 8 : alors d1 contient « 4 », d3 contient « 9 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 4x94 en base 10, il serait compris entre 64 et 70 inclus, seul q=68 peut convenir or 68²=4624. Cas impossible.

• si « 5 » se trouve en d4 : alors p et q sont congrus à 5 modulo 10, la case d1 contient « 5 », d2 contient « 0 » ou « 5 » et d3 contient « 6 ». Or ni 5065 ni 5565 (colonne d) ne sont un carré d’un entier. Cas impossible.

• si « 6 » se trouve en d4 : alors p et q sont congrus à 4 ou 6 modulo 10,

◦ p 4 et q 4 : alors d1 contient « 6 », d3 contient « 9 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 6x96 en base 10, il serait compris entre 78 et 83 inclus, il n’y a donc pas de candidat possible pour q. Cas impossible.

◦ p 4 et q 6 : alors d1 contient « 4 », d3 contient « 5 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 4x56 en base 10, il serait compris entre 64 et 70 inclus, seul q=66 peut convenir or 66²=4356. Cas à poursuivre !

◦ p 6 et q 4 : alors d1 contient « 4 », d3 contient « 9 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 4x96 en base 10, il serait compris entre 64 et 70 inclus, seul q=64 peut convenir et 64²=4096. Cas à poursuivre !

◦ p 6 et q 6 : alors d1 contient « 6 », d3 contient « 5 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 6x56 en base 10, , il serait compris entre 78 et 83 inclus, il n’y a donc pas de candidat possible pour q. Cas impossible.

Creusons l’hypothèse p 4 et q 6 : la dernière colonne contient donc 4356, la 3^e ligne contient 65²=4225. La case a4 contient quant à elle « 5 ». Quels multiples de q=66 pourraient convenir dans la 2^e colonne, qui s’écrivent donc x2y en base 10 ? Trois nombres sont candidats potentiels, 528, 726, 924 ; ils génèrent en 4^e ligne, pour p² les nombres 58x6, 56x6, 54x6. p est donc compris entre 74 et 76 inclus, seul 74 convient avec 74² = 5476. Le produit pq à inscrire en 1^re ligne vaut donc 4884 mais le produit (p+1)(q+1) à inscrire en 1^re colonne vaut 5025 … Ce n’est donc pas une solution car ça bloque en case a1.

Creusons l’hypothèse p 6 et q 4 : la dernière colonne contient donc 4096, la 3^e ligne contient 63²=3969. La case a4 contient quant à elle « 5 ». Quels multiples de q=64 pourraient convenir dans la 2^e colonne, qui s’écrivent donc x9y en base 10 ? Deux nombres sont candidats potentiels, 192 et 896 ; ils génèrent en 4^e ligne, pour p² les nombres 52x6, 56x6. p devrait donc être compris entre 73 et 75, ce qui n’est pas possible car p 6. Ce n’est donc pas une solution.

La case d4 est donc occupée par un « 9 » !

2) Déroulons maintenant les possibilités … Comme précédemment, il y a 4 cas à distinguer :

• p 3 et q 3 : alors d1 contient « 9 », d3 contient « 4 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 9x49 en base 10, il serait compris entre 95 et 99 inclus, il n’y a donc pas de candidat possible pour q. Cas impossible.

• p 7 et q 7 : alors d1 contient « 9 », d3 contient « 6 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 9x69 en base 10, il serait compris entre 95 et 99 inclus, seul q=97 peut convenir or 97²=9409. Cas impossible.

• p 3 et q 7 : alors d1 contient « 1 », d3 contient « 6 ». Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 1x69 en base 10, il serait compris entre 32 et 44 inclus, seul q=37 peut convenir et on a 37²=1369. La 3^e ligne contient 36²=1296. La case a4 contient quant à elle « 2 ». Quels multiples de q=37 pourraient convenir dans la 2^e colonne, qui s’écrivent donc x2y en base 10 ? Trois nombres sont candidats potentiels, 222, 629, 925 ; ils génèrent en 4^e ligne, pour p² les nombres 22x9, 29x9, 25x9. p est donc compris entre 47 et 54 inclus, seul 53 convient mais 53² = 2809 ne convient pas. Ce n’est donc pas une solution.

• p 7 et q 3 est la dernière solution possible : alors d1 contient « 1 », d3 contient « 4 ».

Cherchons si un nombre carré peut s’écrire 1x49 en base 10, il serait compris entre 32 et 44 inclus, seul q=43 peut convenir et on a 43²=1849. La 3^e ligne contient 42²=1764. La case a4 contient « 2 ».

3) On peut conclure ! Arrivé à ce stade :

1 on cherche les multiples de q s’écrivant x7y en base 10. Trois nombres sont candidats, 172, 473, 774 ; ils engendrent en 4^e ligne pour p² les nombres 22x9, 23x9, 24x9. p=47 ressort vite comme seule valeur possible (p²=2209) et tout s’en déduit rapidement pour aboutir à la grille remplie ci-contre :

2 0 2 1

8 1 1 1 8

1 7 6 4 1 7 6 4

2 9 2 2 0 9