Partie II :

Partie I :

1) Supposons que le produit (p_n) converge. On a

1

, 2

−

=

≥

∀

n n

n p

U p

n . Comme le produit (p_n) converge, on en déduit qu’il existe l p_n l

n =

≠0/ lim→+∞ . Ainsi, lim lim 1

1

=

=

+∞ −

→ +∞

→ n

n n n

n p

U p .

On en déduit que si le produit (p_n) converge, alors lim =1

+∞

→ n

n U .

2) On a

p p p

1

1+ 1 = + d’où 1 1

2 ...

3 1

2× × × + = +

= n

n

p_n n .

Ainsi, = + =+∞

+∞

→ +∞

→ lim 1

lim p n

n n n

3) On a )

cos(2 2 )

cos(

...

2)

cos( _{n 1 n}

n

a a

p = a × × ₋ × donc ).

sin(2 2 )

cos(

2 ) cos(

...

2) cos(

2 )

sin( _{n n 1 n n}

n

a a

a a

p a = × × ₋ × ×

On applique la formule cos( )sin( ) 2

) 2

sin( x x x

= pour obtenir

2 2 ) sin(

2 ).

sin(

2 ) cos(

−1

=

× _n ⁿ

n

a a

a .

On a donc

2 2 ) sin(

2 ) cos(

...

2) cos(

2 ) sin(

1 1

−

− ×

×

×

= _n ⁿ

n n

a a

a

p a et on réitère la formule pour finalement obtenir :

n n n

a p a

2 ) ) sin(

sin(2 = . Pour être totalement clean, il faudrait faire une jolie récurrence que je vous laisse le soin de faire.

a n’étant pas un multiple de π, on en déduit que a_n

2 n’en est pas un non plus. On a donc ) 0 sin(2a_n ≠

. Par suite,

2 ) sin(

2 ) sin(

n n

n a

p = a .

On a

n n n

n

a a a a

2 2 ) sin(

2 ) sin(

2 = . Or 0

lim 2 =

+∞

→ n

n

a et sin( ) 1

lim0 =

→ x

x

x , on en déduit que a a

n n

n =

+∞

→ )

sin(2 2

lim .

Partie II :

1) (a) Puisque (U_n)converge vers 1,on a par définition de la limite : ε

ε > ∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ⇒ − <

∀ 0, n₀ N/ n N,n n₀ U_n 1 .

Comme U_n −1<ε ⇔1−ε <U_n <1+ε, on en déduit le résultat voulu en choisissant 2

= 1

ε par exemple.

(b) Supposons que (S_n)soit convergente. On a ∀n≥n₀

∏ ∏

=

=

−

=

= ⁿ

n p

p

A n

p p

n u u

p

0 0 1

13

2 1

. Par définition, (U_p)ne s’annule

jamais donc A≠0.

Aussi, ∀n≥n₀ ⁿ

n

n p

p n

n p

p

S u n u

n p

p e e e

u ∑ =

∏ =

= ^{= =}

∏

0 0

0

) ln(

) ln(

.

La convergence de (S_n) et la continuité de l’exponentielle nous assure que (p_n)est convergente, de limite non

nulle (car A≠0).

Réciproquement, supposons que le produit (p_n) soit convergent. Soit l∈R^*sa limite.

On a ∀n≥n₀,

∏ ∏

=

≠

=

−

=

= ⁿ

n p

p

A n

p p

n u u

p

0 0

0 1

13

2 1

donc ∀n≥n₀,

A u pⁿ

n

n p

p =

∏

.

En composant avec ln, on obtient ∀n≥n₀, ln( ) A S_n = pⁿ . Comme l ≠0 et ln est continue en >0

A

l , on en déduit que lim ln( ) A S_n l

n =

+∞

→ .

L’équivalence est ainsi démontrée.

On obtient de plus : ^{n n}

n S

p p

n pn u e ^→+∞









=

∏

+∞ =

→

1 lim

1

0

lim .

2) (a) La fonction f définie sur R par ₊^*

x x x

f ln( ) )

( = est décroissante sur [e;+∞[ (faire une étude de fonction classique pour s’en convaincre).

Soit p≥3.Comme e≤3, f est décroissante sur [p;p+1]. On en déduit donc que

p p x

p x p

x ln( ) ln( )

], 1

;

[ + ≤

∈

∀ puis par intégration,

p dx p p dx p

x

x ^p

p p

p

) ln(

) ln(

)

ln( ¹

1 ≤

∫

∫

(b) La question précédente nous permet d’écrire ;

∑∫

∑

+

=

+

≥ +

=

≥

∀ ⁿ

p p p n

p

n dx

x x p

S p n

3 1

3

) ln(

2 ) 2 ln(

) ln(

2 ) 2 , ln(

3 .

Or

∑∫ ∫

=

+  = + −



=

= ¹

3

2 2

1

3 2 3

1

3 2ln ) 1 1 ( 2ln ) 1

( 2ln 1 )

ln(

)

ln( ⁿ

p n n

p p

p dx x n

x dx x

x

x .

Ainsi, ln 3

2 ) 1 1 ( 2ln 1 2

) 2

ln( _{2 2}

− + +

≥ n

S_n

Par passage à la limite dans l’égalité précédente, on en déduit que (S_n) diverge.

On a ^p

p p p

e p p

) ln(

1

=

= donc lim =1

+∞

→ p

p p . Les hypothèses de la question 1 s’appliquent. On en déduit que le produit (p_n) diverge.

Partie III :

1) (a) On utilise la stricte concavité de la fonction f définie sur R par ₊ f(x)=ln(1+x). La tangente à C_f en x=0 a pour équation y=x d’où le résultat.

(b) S'n₊₁−S'n=vn₊₁ ≥0donc (S'_n)est croissante.

(c) Supposons que (S'_n) converge. Puisque (S'_n )est en plus croissante, on en déduit qu’elle est majorée.

Ainsi, ∃M∈R/∀n∈N,S_n^' ≤M . (p_n)est une suite de termes strictements positifs. De plus,∀ ∈ ^*, ⁺¹ =1+ _n+1 ≥1

n

n v

p N p

n . On en déduit que (p_n) est croissante.

En utilisant la question 1)a), on a : n N p v v M

n

p p n

p

p

n = + ≤ ≤

∈

∀

∑ ∑

=

=1 1

*,ln( ) ln(1 ) .

Ainsi, ∀n∈N^*,p_n ≤e^M.

On en déduit que (p_n) est croissante et majorée : elle converge.

2) (S'_n) est croissante. Elle est donc soit majorée, soit divergente vers +∞^. Supposons qu’elle soit majorée. Elle est donc convergente.

D’après la question précédente, on en déduit que le produit

∏

= n +

p ₁ 1p) 1

( est convergent ce qui est absurde d’après la question 2 de la première partie.

Ainsi, (S'_n )diverge.

3) (a) Supposons a≥1. On a alors ∀p≥1,1+a^2p ≥2donc la suite (1+a^2p)ne converge pas vers 1.

D’après la question 1 de la première partie, on en déduit que si a≥1, alors le produit (p_n) diverge.

(b) i) Comme ^a∈

] [

+∞

→ n

n a donc lim1+ ² =1

+∞

→

a p

p

On se retrouve dans le cas de la question 1. Il suffit donc de montrer la suite ( )

1

∑

= n

p

a p est convergente . Cette suite est clairement croissante. Comme 2^p ≥ p, on en déduit que a^2p ≥a^pd’où

a a a a a

a a

n n

p p n

p

p

≤ −

−

× −

=

≤

∑

∑

=

= 1 1

1

1 1

2 .

La suite ( )

1

∑

= n

p

a p est donc croissante et majorée. Elle converge. Ainsi, si ^a∈

] [

(p_n converge.

ii) On a p_n =(1+a²)×(1+a⁴)×...×(1+a^2p)donc (1−a²)p_n =(1−a²)(1+a²)×(1+a⁴)×...×(1+a^2p). Or (1−a²)(1+a²)=1−a⁴ d’où (1−a²)p_n =(1−a⁴)×(1+a⁴)×...×(1+a^2p)puis on réitère l’identité remarquable pour finalement obtenir (1−a²)p_n =1−a²ⁿ⁺¹.

Par passage à la limite, comme ^a∈

] [

lim ⁿ a

n = −

+∞

→