Partie I : Étude de la fonction ϕ

SESSION 2009

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE PSI

MATHEMATIQUES 1

Partie I : Étude de la fonction ϕ

I.1/ Étude des fonctions det δ

I.1.1/La fonctiondest dérivable sur[0,+∞[et pourt∈[0,+∞[,d^′(t) =1−sint. La fonctiond^′est positive sur[0,+∞[ et donc la fonctiondest croissante sur[0,+∞[. On en déduit que pour t > 0,d(t)>d(0) =0 puis que1−cost6t et enfin que 1−cost

t 61. D’autre part, pourt > 0, on a 1−cost

t >0 et finalement

∀t > 0,061−cost t 61.

I.1.2/La fonction δest dérivable sur[0,+∞[et pourt∈[0,+∞[,δ^′(t) =t−sint. Il est connu que pourt>0, sint6t.

On en déduit que la fonctionδ^′ est positive sur[0,+∞[ puis que la fonctionδ est croissante sur[0,+∞[. Par suite, pour t > 0,δ(t)>δ(0) =0et donc 1−cost

t² 6 1

2. D’autre part, pourt > 0, on a 1−cost

t² >0et finalement

∀t > 0,061−cost t² 6 1

2. I.2/ Éxistence de la fonction ϕ sur [0,+∞[

La fonction t7→ 1−cost

t² est continue sur ]0,+∞[, prolongeable par continuité en 0 (par 1

2) et dominée en +∞par la fonctiont7→ 1

t² qui est intégrable sur un voisinage de+∞. On en déduit que la fonctiont7→ 1−cost

t² est intégrable sur ]0,+∞[.

Soit alorsx∈[0,+∞[. La fonctiont7→ 1−cost

t² e^−xt est continue sur]0,+∞[. De plus, pourt > 0, 061−cost t² e^−xt 6 1−cost

t² . Comme la fonctiont7→ 1−cost

t² est intégrable sur]0,+∞[, il en est de même de la fonctiont7→ 1−cost t² e^−xt. Finalement

Pour tout réel positifx,ϕ(x)existe.

I.3/ Limite de la fonction ϕ en +∞[

I.3.1/Soientx₁etx₂deux réels tels que06x₁6x₂. Pour tout réelt > 0, e^−x1t>e^−x2t et donc 1−cost

t² (e^−x1t−e^−x2t)>0. Par positivité de l’intégrale, on en déduit que ϕ(x1) −ϕ(x2)>0. On a montré que

la fonction ϕest décroissante sur[0,+∞[.

D’autre part, la fonctionϕest positive sur[0,+∞[. Ainsi, la fonctionϕest décroissante et minorée par0sur[0,+∞[. On en déduit que la fonctionϕ a une limite réelle quandxtend vers+∞et que cette limite est positive.

I.3.2/Soitx > 0. D’après la question I.1.2/, pour tout t > 0, on a06 1−cost

t² e^−xt 6 e^−xt

2 et donc, par croissance de l’intégrale

06ϕ(x)6 Z+∞

0

e^−xt

2 dt= 1 2x. Comme 1

2x tend vers0 quandxtend vers+∞, le théorème des gendarmes montre que

x→+∞lim ϕ(x) =0.

http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2009. Tous droits réservés.

I.4/ Caractère C^k de la fonction ϕ

I.4.1/Soit Φ : [0,+∞[×]0,+∞[ → R (x, t) 7→ 1−cost

t² e^−xt .

•Pour chaquex∈[0,+∞[, la fonctiont7→Φ(x, t)est continue par morceaux sur]0,+∞[.

•Pour chaquet∈]0,+∞[, la fonction x7→Φ(x, t)est continue sur[0,+∞[.

• Pour chaque(x, t)∈[0,+∞[×]0,+∞[, |Φ(x, t)|= 1−cost

t² e^−xt 6 1−cost

t² =ϕ₀(t)où la fonctionϕ₀ est continue et intégrable sur]0,+∞[d’après la question I.2/.

D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres,

ϕ est continue sur[0,+∞[.

I.4.2/Soita > 0.

•Pour chaquex∈[0,+∞[, la fonctiont7→Φ(x, t)est continue par morceaux et intégrable sur]0,+∞[.

• La fonction Φ admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable sur [a,+∞[×]0,+∞[ et ∀(x, t) ∈ [a,+∞[×]0,+∞[, ∂Φ

∂x(x, t) = −1−cost

t e^−xt. De plus, - pour chaquex∈[a,+∞[, la fonctiont7→∂Φ

∂x(x, t)est continue par morceaux sur ]0,+∞[.

- pour chaquet∈]0,+∞[, la fonction x7→ ∂Φ

∂x(x, t)est continue sur[a,+∞[.

- pour chaque(x, t)∈[a,+∞[×]0,+∞[, d’après la question I.1.1/,

∂Φ

∂x(x, t)

= 1−cost

t e^−xt 6e^−at=ϕ1(t).

où la fonctionϕ1 est continue par morceaux et intégrable sur]0,+∞[.

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème deLeibniz),ϕ est de classeC¹ sur[a,+∞[ et la dérivée deϕs’obtient par dérivation sous le signe somme. Ceci étant vrai pour tout réel strictement positifa,

ϕest de classeC¹sur]0,+∞[et∀x > 0, ϕ^′(x) = − Z+∞

0

1−cost

t e^−xt dt.

I.4.3/Soitx > 0.|ϕ^′(x)|= Z+∞

0

1−cost

t e^−xtdt6 Z+∞

0

e^−xt dt= 1

x et comme lim

x→+∞

1

x =0, on a montré que

x→lim+∞

ϕ^′(x) =0.

I.4.4/ Soit a > 0. En plus des résultats de la question I.4.2/, la fonction Φ admet une dérivée partielle seconde par rapport à sa première variable sur[a,+∞[×]0,+∞[et ∀(x, t)∈[a,+∞[×]0,+∞[, ∂²Φ

∂x²(x, t) = (1)cost)e^−xt. De plus, - pour chaquex∈[a,+∞[, la fonctiont7→∂²Φ

∂x²(x, t)est continue par morceaux sur]0,+∞[.

- pour chaquet∈]0,+∞[, la fonction x7→ ∂²Φ

∂x²(x, t)est continue par morceaux sur[a,+∞[.

- pour chaque(x, t)∈[a,+∞[×]0,+∞[,

∂²Φ

∂x²(x, t)

= 1−cost

t e^−xt 62e^−at=ϕ₂(t).

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres,ϕest de classeC²sur[a,+∞[pour touta > 0et donc sur ]0,+∞[et sa dérivée seconde s’obtient par dérivation sous le signe somme.

ϕ est de classeC² sur]0,+∞[et ∀x > 0,ϕ^′′(x) = Z+∞

0

(1−cost)e^−xtdt.

I.4.5/Soitx > 0. La fonctiont7→e^−xt est intégrable sur[0,+∞[car continue sur[0,+∞[ et négligeable en+∞devant 1

t². Mais alors, la fonctiont7→(cost)e^−xt est intégrable sur]0,+∞[en tant que différence de deux fonctions intégrables sur]0,+∞[.

On a déjà Z+∞

0

e^−xtdt= 1

x. D’autre part,

Z+∞

0

(cost)e^−xt dt=Re Z+∞

0

e^(−x+i)tdt

=Re

e^(−x+i)t

−x+i ⁺∞

0

!

=Re

t→lim+∞

e^(−x+i)t

−x+i − 1

−x+i

=Re 1

x−i

(car

e^(−x+i)t

−x+i

= e^−xt

√x²+1 →

t→+∞ 0)

=Re x+i

x²+1

= x

x²+1. Finalement,

∀x > 0, ϕ^′′(x) = 1 x− x

x²+1. I.4.6/Donc, il existeC∈Rtel que∀x > 0,ϕ^′(x) =ln(x) −1

2ln(x²+1) +C= 1 2ln

x² x²+1

+C. De plus, d’après la question I.4.3/, lim

x→+∞ϕ^′(x) =0ce qui fournitC=0.

∀x > 0,ϕ^′(x) =ln(x) − 1

2ln(x²+1).

En particulier, lim

x→0ϕ^′(x) = −∞. Ainsi,ϕest continue sur[0,+∞[, de classeC¹sur]0,+∞[et lim

x→0ϕ^′(x) = −∞. On sait alors queϕ n’est pas dérivable en0.

I.5/ Expression explicite de la fonctionϕ I.5.1/xln

x² x²+1

= −xln

1+ 1 x²

x→∼+∞ −x× 1 x² = −1

x. Donc

x→lim+∞

xln x²

x²+1

=0.

I.5.2/

Z

ln(x²+1)dx=xln(x²+1) − Z

x 2x

x²+1 dx=xln(x²+1) −2

Z x²+1−1

x²+1 dx=xln(x²+1) −2x+2Arctanx+C.

I.5.3/D’après les questions I.4.6/ et I.5.2/, il existeC∈Rtel que

∀x > 0,ϕ(x) = (xlnx−x) −1

2 xln(x²+1) −2x+2Arctanx

+C= x 2ln

x² x²+1

−Arctanx+C.

D’après la question I.2/, lim

x→+∞ϕ(x) =0 et donc, d’après la question I.5.1/,0 =0−π

2 +C. Par suite,C= π

2 puis pour x > 0,

ϕ(x) =x

lnx−1

2ln(x²+1)

−Arctanx+π 2 =x

lnx−1

2ln(x²+1)

+Arctan 1

x

.

∀x > 0,ϕ(x) = Z+∞

0

1−cost

t² e^−xt dt=x

lnx−1

2ln(x²+1)

+Arctan 1

x

.

I.5.4/Puisque la fonctionϕ est continue en0, quandxtend vers0 on obtientϕ(0) = π 2. ϕ(0) =

Z+∞

0

1−cost

t² dt= π 2.

Partie II : Etude de l’existence de J

II.1/ Étude de Z^π₂

0

(sint)^m t dt Soitm∈N^∗. La fonctiont7→ (sint)^m

t est continue suri 0,π

2 h.

De plus (sint)^m

t ∼

t→0 t^m−1 et on en déduit que la fonction t 7→ (sint)^m

t se prolonge par continuité en 0 puis que la fonctiont7→ (sint)^m

t est intégrable suri 0,π

2

i. Ainsi, pour tout entier naturel non nulm,Jm existe.

II.2/ Étude de J1

SoientaetAdeux réels tels que0 < a < A. Les deux fonctionst7→1−costett7→−1

t sont de classeC¹sur le segment [a, A]. On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient

ZA

a

1−cost t² dt=

−1−cost t

A a

+ ZA

a

sint

t dt= 1−cosa

a − 1−cosA

A +

ZA

a

sint t dt.

Or 1−cosa

a ∼

a→0

a²/2 a = a

2 et donc lim

a→0

1−cosa

a = 0. D’autre part,

1−cosA A

6 2

A et donc lim

A→+∞

1−cosA

A = 0.

Quandatend vers0etAtend vers+∞, on obtient Z+∞

0

sint t dt=

Z+∞

0

1−cost

t² dt. On a montré queJ1est une intégrale convergente et que

J₁= Z+∞

0

sint t dt=

Z+∞

0

1−cost

t² dt=ϕ(0) = π 2.

II.3/ Étude de l’existence deIk

Sik=0, Ik= Z+∞

π 2

1

t dt= +∞.

Soitkun entier relatif non nul. SoitA > π

2. Une intégration par parties fournit ZA

π 2

e^ikt t dt=

e^ikt ikt

^A

π 2

+ 1 ik

ZA

π 2

e^ikt

t² dt= 1 ik

e^ikA

A − e^ikπ/2 π/2 +

ZA

π 2

e^ikt t² dt

! .

Maintenant,

e^ikA A

= 1

A et donc lim

A→+∞

1 ik

e^ikA

A −e^ikπ/2 π/2

= −e^ikπ/2

ikπ/2. Ensuite, la fonction t7→ e^ikt

t² est continue sur hπ

2,+∞ h

, est dominée par 1

t² en+∞et donc est intégrable surhπ 2,+∞

h

. En particulier, lim

A→+∞

e^ikt

t² dtexiste dansC. Finalement, lim

A→+∞

ZA

π 2

e^ikt

t dtexiste dansCou encoreI_k est une intégrale convergente.

Ik est une intégrale convergente si et seulement sik∈Z^∗.

II.4/ Étude de la nature de J_m II.4.1/Soientm∈N^∗et x∈hπ

2,+∞ h. Zx

π 2

(sint)^m

t dt= 1

(2i)^m Zx

π 2

(e^it−e^−it)^m

t dt

= 1

(2i)^m Xm

k=0

m k

Zx

π 2

e^ikte^−i(m−k)t

t dt

= 1

(2i)^m Xm

k=0

m k

I2k−m(x).

II.4.2/Soitp∈N.∀k∈J0, 2p+1K,2k− (2p+1)6=0 et donc chaque intégraleI_2k−(2p+1) est une intégrale convergente d’après la question II.3/. Il en est de même de l’intégrale

Z+∞

π 2

(sint)^2p+1

t dt. D’autre part, Z^π2

0

(sint)^2p+1

t dt est une intégrale convergente d’après la question II.1/. FinalementJ_2p+1=

Z+∞

0

(sint)^2p+1

t dtest une intégrale convergente.

∀p∈N, l’intégraleJ2p+1 existe.

II.4.3/Soit p∈ N^∗. Dans la somme X2p

k=0

m k

I_2k−2p(x), un et un seul terme diverge quand xtend vers +∞, le terme obtenu pourk =p. La somme est donc divergente quandxtend vers+∞. On en déduit que l’intégrale J_2p diverge. De plus, comme la fonctiont7→ (sint)^2p

t est positive,J2p= +∞.

∀p∈N^∗, J_2p= +∞.

Partie III : Calcul de J

III.1/ Un développement de Fourier

III.1.1/ Soit x ∈ R\πZ. La fonction hx est 2π-périodique, continue par morceaux sur R. On peut donc calculer ses coefficients deFourier.

Pourt∈] −π, π[,hx(−t) =cosx π(−t)

=cosx πt

=hx(t). De plus,hx(−π) =hx(π)par2π-périodicité. Toujours par 2π-périodicité, la fonction hx est paire. On en déduit que∀n∈N^∗,bn(hx) =0et que

an(hx) = 2 π

Zπ

0

hx(t)cos(nt)dt= 2 π

Zπ

0

cosx πt

cos(nt)dt= 1 π

Zπ

0

cosx π+n

t

+cosx π−n

t dt

= 1 π





sinx π+n

t x

π+n +

sinx π−n

t x

π−n





π

0

(carx /∈πZ)

= sin(x+nπ)

x+nπ + sin(x−nπ)

x−nπ = (−1)ⁿ2xsinx x²−n²π²

∀n∈N,an(h_x) = (−1)ⁿ2xsinx

x²−n²π² et ∀n∈N^∗,bn(h_x).

III.1.2/Montrons que la fonctionh_x est continue surR.h_xest déjà continue sur chaque] −π+2kπ, π+2kπ],k∈Z. De plus,h_x(−π⁺) =h_x(π⁻) =h_x(π) =h_x(−π)et donch_xest continue en−πpuis surRpar2π-périodicité.

Ainsi, la fonctionh_x est2π-périodique, continue surR, de classeC¹ par morceaux. D’après le théorème de Dirichlet, la série deFourierdeh_x converge versh_x surR. En particulier, pourx=0,

1=hx(0) =a0(hx)

2 +

+∞

X

n=1

(an(hx)cos(n×0) +bn(hx)sin(n×0)) = sinx x +

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ2xsinx x²−n²π² . En particulier, la série considérée converge.

∀x∈R\πZ, sinx x +

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ2xsinx x²−n²π² =1.

III.2/ Etude d’un procédé de calcul

III.2.1/La fonctionfest continue sur le segment[−1, 1]et donc est bornée sur[−1, 1]. SoitMun majorant de l a fonction

|f|sur[−1, 1].

Soitn∈N^∗.|γ_n|6 Z^π2+nπ

π

2+(n−1)π

|f(sint)|

t dt6π×M× 1

π

2 + (n−1)π

= 2M

2n−1. Comme lim

n→+∞

2M

2n−1 =0, on a montré que

n→lim+∞γn =0.

III.2.2/Soitn∈N^∗. En posantx=t−nπ, on obtient γ_n =

Z^π₂

−^π2

f(sin(x+nπ))

x+nπ dx= (−1)ⁿ Z^π₂

−^π2

f(sinx)

x+nπ dx(carfest impaire).

En posanty= −x, on a aussi γn= (−1)ⁿ

Z−^π₂

π 2

f(sin(−y))

−y+nπ (−dy) = (−1)ⁿ Z^π₂

−^π2

f(siny)

y−nπ dy(carfest impaire).

Par suite,

γ_n= 1

2(γ_n+γ_n) = 1 2

Z^π₂

−^π2

(−1)ⁿf(sint) t+nπ dt+

Z^π₂

−^π2

(−1)ⁿf(sint) t−nπ dt

!

= Z^π₂

−^π2

(−1)ⁿt f(sint) t²−n²π dt

= Z^π₂

0

(−1)ⁿ2t f(sint)

t²−n²π dt(car la fonctiont7→ (−1)ⁿtf(sint)

t²−n²π est paire).

∀n∈N^∗,γ_n =u_n. III.2.3/Sit∈i

0,π 2

h, la série de terme général(−1)ⁿ 2tsint

t²−n²π² converge d’après la question III.1.2/. Il en est de même de la série de terme généralun(t). D’autre part, la série de terme généralun(0) =0converge. Finalement, pour tout réel t∈h

0,π 2

i, la série de terme généralu_n(t)converge.

III.2.4/•Pourn∈N^∗ ett∈h 0,π

2

i,t²−n²π²6π 2

2

−π²< 0et en particulier,t²−n²π²6=0. Donc chaque fonction u_n est continue sur h

0,π 2 i

en tant que quotient de fonctions continues sur h 0,π

2 i

dont le dénominateur ne s’annule pas surh

0,π 2 i

.

• Montrons que la série de fonctions de terme général un converge normalement sur h 0,π

2 i

. M désigne toujours un majorant de la fonction|f|sur [−1, 1].

Soit n ∈ N^∗. Pour tout t ∈ h 0,π

2

i, |u_n(t)| = 2t|f(sint)|

n²π²−t² 6 πM n²π²−π²

4

. Comme la série numérique de terme général πM

n²π²− π² 4

converge, on a montré que la série de fonctions de terme généralun converge normalement et donc uniformé-

ment surh 0,π

2 i.

Mais alors,Sest continue surh 0,π

2

ien tant que limite uniforme surh 0,π

2

id’une suite de fonctions continues surh 0,π

2 i.

Sest continue surh 0,π

2 i.

III.2.5/ Puisque la fonction S est continue sur le segment h 0,π

2

i, l’intégrale Z^π2

0

S(t) dt existe. Puisque la série de fonctions de terme généralu_n converge uniformément sur le segment h

0,π 2

i, un théorème d’intégration terme à terme permet d’affirmer que la série de terme généralγ_n =

Z^π₂

0

u_n(t)dtconverge et que Z^π₂

0

S(t)dt= X+∞

n=1

γn.

III.2.6/SoientA> π

2+πpuisnAle plus grand des entiersktels que π

2 +kπ6Ac’est-à-direnA=E



 A−π

2 π



∈N^∗. ZA

π 2

f(sint) t dt=

nA

X

k=1

Z^π2+kπ

π

2+(k−1)π

f(sint) t dt+

ZA

π 2+nAπ

f(sint) t dt=

nA

X

k=1

γk+ ZA

π 2+nπ

f(sint)

t dt (∗).

Or

ZA

π 2+nAπ

f(sint) t dt

6 ZA

π 2+nAπ

|f(sint)|

t dt6

A−π

2 +nAπ

× M

π 2 +nAπ

6π× M

π+nAπ

= 2M

2nA+1 6 2M

2(A−1) +1 = 2M 2A−1.

Puisque lim

A→+∞

2M

2A−1 =0, on en déduit que lim

A→+∞

ZA

π 2+nAπ

f(sint)

t dt=0. Comme lim

A→+∞nA= +∞, en faisant tendre Avers+∞dans l’égalité (∗), on obtient la convergence de l’intégrale

Z+∞

π 2

f(sint)

t dt (car la série de terme généralγk

converge d’après la question III.2.5/) et Z+∞

π 2

f(sint) t dt=

+∞

X

n=1

γn= Z^π2

0

S(t)dt.

III.2.7/Puisquefest dérivable en0 et impaire, on af(u) =

u→0f(0) +f^′(0)u+o(u) =f^′(0)u+o(u)et doncf(sint) =

t→0

f^′(0)(sint)+o(sint) =f^′(0)t+o(t). On en déduit que les deux fonctionsg : t7→ f(sint)

t eth : t7→ f(sint)

sint se prolongent par continuité en0en posant respectivementg(0) =f^′(0)eth(0) =f^′(0). Les fonctionsgethétant d’autre part continues suri

0,π 2

i, ces fonctions sont intégrables suri 0,π

2

i. En particulier, les intégrales Z^π₂

0

f(sint) t dtet

Z^π₂

0

f(sint)

sint dtsont des intégrales convergentes.

III.2.8/D’après les questions III.2.6/ et III.2.7/, l’intégrale Z+∞

0

f(sint)

t dtest convergente. De plus, Z+∞

0

f(sint) t dt−

Z^π2

0

f(sint) sint dt=

Z^π2

0

f(sint) 1

t − 1 sint

dt+

Z+∞

π 2

f(sint) t dt

= Z^π₂

0

f(sint)

1 t − 1

sint

+S(t)

dt (d’après la question III.2.6/).

Pourt∈i 0,π

2

i, posonsΣ(t) =f(sint) 1

t − 1 sint

+S(t).

Quandttend vers0, 1 t− 1

sint = sint−t tsint ∼ t³/6

t² = t

6. Par suite, lim

t→0

1 t − 1

sint

=0. D’autre part, puisque la fonction Sest continue sur h

0,π 2

id’après la question II.2.4/, lim

t→0t6=0

S(t) =S(0)puis lim

t→0Σ(t) =S(0) =0. La fonctionΣse prolonge donc par continuité en0en posantΣ(0) =0.

En résumé, Z+∞

0

f(sint)

t dt−

Z^π2

0

f(sint) sint dt=

Z^π2

0

Σ(t)dtoù∀t∈h 0,π

2

i,Σ(t) =







f(sint) 1

t − 1 sint

+S(t)sit∈i 0,π

2 i

0sit=0

. La fonctionΣest continue surh

0,π 2

i.

Plus précisément, d’après la question III.1.2/,∀t∈i 0,π

2 i, sint

t +

+∞X

n=1

(−1)ⁿ 2tsint

t²−n²π² =1 et donc après multiplication des deux membres par f(sint)

sint , ∀t ∈ i 0,π

2

i, f(sint)

t +

X+∞

n=1

2tf(sint)

t²−n²π² = f(sint)

sint puis ∀t ∈ i 0,π

2

i, Σ(t) = f(sint)

t −

f(sint) sint +

+∞

X

n=1

2tf(sint)

t²−n²π² =0. Ceci reste vrai pourt=0 par continuité deΣen0. Finalement, Z+∞

0

f(sint) t dt=

Z^π2

0

f(sint) sint dt.

III.3/ Application au calcul deJ_2p+1

III.3.1/On applique les résultats précédents à la fonctionf=Id_/[−1,1].fest bien définie et continue sur[−1, 1]à valeurs réelles, impaire et dérivable en0. Avec ce choix def,

Z+∞

0

f(sint) t dt=

Z+∞

0

sint

t dt=J1et Z^π2

0

f(sint) sint dt=

Z^π2

0

dt= π 2. D’après la question III.2.8/, on a

J₁= π 2.

III.3.2/ On applique cette fois-ci les résultats précédents à la fonctionf définie par ∀t ∈ [−1, 1], f(t) =t³. f est bien définie et continue sur[−1, 1]à valeurs réelles, impaire et dérivable en0.

Z+∞

0

f(sint) t dt=

Z+∞

0

(sint)³

t dt=J₃et d’autre part, Z^π₂

0

f(sint) sint dt=

Z^π₂

0

sin²t dt= 1 2

Z^π₂

0

(1−cos(2t))dt= π 4. On en déduit que

J₁= π 4.

III.3.3/Soitp∈N. On applique maintenant les résultats précédents à la fonctionfdéfinie par∀t∈[−1, 1],f(t) =t^2p+1. fest bien définie et continue sur[−1, 1]à valeurs réelles, impaire et dérivable en0.

Toujours d’après la question II.2.8/, on a J2p+1=

Z+∞

0

f(sint) t dt=

Z^π₂

0

f(sint) sint dt=

Z^π₂

0

sin^2pt dt (intégrales deWallis).

Pourp∈N, posonsI_p= Z^π₂

0

sin^2pt dt. On a I₀= π

2 puis pourp∈N, une intégration par parties fournit Ip+1=

Z^π2

0

sint×sin^2p+1t dt=

−costsin^2p+1t

π 2

0 + (2p+1) Z^π2

0

cos²tsin^2pt dt

= (2p+1) Z^π₂

0

(1−sin²t)sin^2pt dt= (2p+1)(I_p−I_p+1), et donc

∀p∈N,Ip+1= 2p+1 2p+2Ip

On en déduit que pourp∈N^∗, I_p= 2p−1

2p ×2p−3

2p−2×. . .×1

2×I₀= (2p)×(2p−1)×. . .×2×1 ((2p)×(2p−2)×. . .×2)² ×π

2 = (2p)!

2^2pp!² ×π 2, ce qui reste vrai pourp=0.

∀ ∈N,J2p+1= (2p)!

2^2pp!²×π 2.