PARTIE II

(1)

PARTIE I

Notons A ( respectivement B et C) l'événement A (resp. B, C) réussit son tir à une épreuve donnée.

1. Calcul de probabilités.

a. D'après le cours :

P(U∪V) =P(U) +P(V)−P(U∩V) b. On cherche la probabilité deA ∩(B ∪ C).

P(A∩(B∪C)) =P((A∩B)∪(A∩C)) =P(A∩B)+P(A∩C)−P(A∩B∩C) (d'après a)

=P(A)P(B) +P(A)P(C)−P(A)P(B)P(C) (par indépendance des tirs)

= 1 3 1 2+1

3 1 3 −1

3 1 2 1 3 = 2

9 c. On cherche la probabilité deA ∩(B ∪ C). On trouve de même

P(A ∩(B ∪ C)) =P((A ∩ B)∪(A ∩ C)) =P(A ∩ B) +P(A ∩ C)−P(A ∩ B ∩ C)

=P(A)P(B) +P(A)P(C)−P(A)P(B)P(C)

= 2 3 1 2+2

3 1 3 −2

3 1 2 1 3 = 4

9 2. Détermination de probabilités conditionnelles

a. Tant qu'aucun des tireurs n'est éliminé, à chaque étape A vise B, B et C visent A. Le tireur C n'est pas visé et ne peut donc pas être éliminé avant A ou B.

L'événementABn est donc impossible.

b. ABC_n+1∩ABC_n est événement ABC_n et A,B et C ratent leur tir à l'étape n. Par indépendance des tirs on a donc

p(ABC_n+1|ABC_n) =p(A)p(B)p(C) = 1 3 1 2 2 3 =1

9

c. Comme, tant qu'aucun des tireurs n'est éliminé à chaque étape A vise B, B et C visent A. L'événementBCn+1∩ABCn est événement ABCn inter l'événement

"Arate son tire etB ouCréussissent leur tir à l'étapen". Par indépendance des tirs on a donc

p(BCn+1|ABCn) =p(A ∩(B ∪ C)) = 2

9 par 1b)

épreuve à 3

B ou C réussit 2/3

B et C échouent 1/3

A réussit 2/3

A échoue

1/3 2/3 1/3

Fig. 1: probabilités conditionnelles

De même

p(CAn+1|ABCn) =p(A ∩ B ∩ C) =2 9

d. Si A, B, C ne sont pas éliminés, personne ne vise C, C ne peut donc pas être éliminé. D'où

p(An+1|ABCn) = 0 et p(Bn+1|ABCn) = 0 Comme dans la question précédente

p(Cn+1|ABCn) =p(A ∩(B ∪ C)) = 4

9 par 1c)

e. Si à une étape il reste A et C alors A vise sur C et C vise sur A. L'événement An+1∩CAn est donc l'événement CAn inter l'événement "A rate son tir et C réussit son tir à l'étapen". Par indépendance des tirs, on a donc

p(An+1|CAn) =p(A ∩ C) = 4 9 De même

p(B_n+1|BC_n) =p(B ∩ C) = 1

3 p(C_n+1|CA_n) =p(C ∩ A) = 1 9 et

p(C_n+1|BC_n) =p(C ∩ B) =1 6

(2)

f. On a toujours, si A, B, C ne sont pas éliminés, personne ne vise C, C ne peut donc pas être éliminé, d'où

p(∅n+1|ABCn) = 0 D'autre part,

p(∅_n+1|BC_n) =p(B ∩ C) =1

6 p(∅_n+1|CA_n) =p(C ∩ A) =2 9

ABC n-1 1/9 ABC n

BC n 2/9 AC n

2/9 AB n

0

A n 0

B n 0

C n 4/9

vide n 0

Fig. 2: issues épreuve à 3

3. Nombre moyen d'épreuves à l'issue desquelles s'achève le combat.

a. L'événementT1est l'union disjointe des événementsA1,B1,C1,∅1. La probabilité des événementsA₁, B₁, C₁, ∅1 a été calculé en d) et e) en prenantn= 0 et en utilisant queABC₀ est l'événement certain. On trouve donc

p(T1) =p(A1) +p(B1) +p(C1) +p(∅1) = 0 + 0 +4

9 + 0 = 4 9 b. Soitn≥2. Remarquons que pour0≤k≤n

ABC₀∩ABC₁∩ · · · ∩ABC_k−1∩ABC_k =ABC_k

BC n-1 2/6 BC n

B n

2/6

C n 1/6

vide n 1/6

Fig. 3: issues épreuve avec BC

AC n-1 2/9 AC n

A n

2/9

C n 1/9

vide n 2/9

Fig. 4: issues épreuve avec AC

D'où, par la question 2b.,

p(ABC₁∩ABC₂∩ · · · ∩ABC_n−1∩ABC_n)

=p(ABC₁|ABC0)p(ABC₂|ABC1). . . p(ABC_n|ABCn−1) = 1 9ⁿ

c. Soitn≥2 et soit0≤k≤n−1, on trouve de même :

p(ABC1∩ · · · ∩ABCk∩CAk+1∩ · · · ∩CAn)

= 1

9 ^k 2

9 2

9

n−k−1

= 2^n−k 9ⁿ

(3)

d. Soitn≥2 et soit0≤k≤n−1 :

p(ABC1∩ · · · ∩ABCk∩BCk+1∩ · · · ∩BCn)

= 1

9 ^k 2

9 1

3

n−k−1

= 2

3^n+k+1 e. Soitn≥2. NotonsT_>nl'événement étudié. Le combat n'est pas ni à l'issue de la

n-ième épreuve si à l'issue de la n-ième épreuve il reste deux ou trois tireurs.T_>n est la réunion disjointe deABC_n,AB_n (qui est l'événement impossible), CA_net BC_n.

D'autre part,

CAn est l'union disjointe des événementsABC1∩ · · · ∩ABCk∩CAk+1∩ · · · ∩ CA_n, pour0≤k≤n−1

BC_nest l'union disjointe des événementsABC₁∩· · ·∩ABCk∩BCk+1∩· · ·∩BCn, pour0≤k≤n−1.

D'où, d'après les questions b), c) et d)

p(T>n) = 1 9ⁿ +

n−1

X

k=0

2^n−k 9ⁿ +

n−1

X

k=0

2 3^n+k+1

= 1

9ⁿ +2ⁿ⁺¹−2 9ⁿ +

1 3ⁿ − 1

9ⁿ

= 2ⁿ⁺¹+ 3ⁿ−2 9ⁿ On aT_>n−1 est l'union disjointe deTn et T>n. Donc

p(Tn) =p(T_>n−1)−p(T>n) = 2ⁿ+ 3ⁿ⁻¹−2

9ⁿ⁻¹ −2ⁿ⁺¹+ 3ⁿ−2 9ⁿ

Pourn= 1, ²ⁿ⁺³₉ⁿ⁻¹ⁿ⁻¹⁻²−²ⁿ⁺¹⁺³₉nⁿ⁻² = ⁴₉ ce qui correspond à la probabilité deT₁. f. Pourk∈N, posonstk= ²^k+1⁺³₉k^k⁻².

Soitn≥1. D'après la formule précédente (valable dèsk= 1)

n

X

k=1

p(Tk) =

n

X

k=1

(tk−1−tk) =t0−tn (sommation en dominos)

= 1−2ⁿ⁺¹+ 3ⁿ−2 9ⁿ

qui tend bien vers 1 en+∞. D'où

n

X

k=1

kp(T_k) =

n

X

k=1

k(t_k−1−t_k) =

n

X

k=1

t_k−1

!

−nt_n

=

n−1

X

k=0

2^k+1+ 3^k−2 9^k

!

−n2ⁿ⁺¹+ 3ⁿ−2 9ⁿ Ce qui permet de calculer l'espérance :

n−1

X

k=0

2^k+1

9^k tend vers 18 7

n−1

X

k=0

3^k

9^k tend vers 3 2

n−1

X

k=0

2

9^k tend vers 9 4 n2ⁿ⁺¹+ 3ⁿ−2

9ⁿ tend vers 0











⇒

n

X

k=1

kp(Tk)tend vers 51 28

4. Probabilités pour que A, B, C remportent le combat

a. Si A est le seul tireur restant à l'issue de la n-ième étape alors B et C ont été éliminés avant selon le schéma suivant.

(ABC)−−−−→^k^fois (ABC)→(AC)−−−−−−−−→^n−k−2^fois (AC)→(A)

Comme déjà vu, tant qu'aucun des tireurs n'est éliminé à chaque étape A vise B, B et C visent A. B est donc éliminé (strictement) avant C. Dès que C est éliminé, A gagne. On voit donc que l'événementA1 est impossible et que pourn≥2,An

est l'union disjointe des

ABC1∩ · · · ∩ABCk∩CAk+1∩ · · · ∩CAn−1∩An

pour0≤k≤n−2(oùkcorrespond à l'étape où B a été éliminé).

b. Soitn ≥2 et 0 ≤k ≤n−2. D'après la formule des probabilités composées, la probabilité de l'événement correspondant au schéma indiqué est

1 9

k

×2 9 ×

2 9

n−k−2

×4 9 = 1

9ⁿ2^n+1−k

(4)

Ces événements indexés par k sont disjoints, la probabilité que A remporte le combat à l'issue de l'épreuvenest donc la somme des probabilités

n−2

X

k=0

1

9ⁿ2^n+1−k = 1

9ⁿ 2ⁿ⁺¹+· · ·+ 2³

= 2ⁿ⁺²−2³ 9ⁿ = 4

2 9

n

−8 1

9 n

c. L'événement A est l'union disjointe desA_n pour n≥2. Donc p(A) est la limite quandntend vers+∞dePn

k=2p(A_k). On obtientp(A) = ₆₃¹P B. p(A) = 4

2 9

2

1 1−²₉ −8

1 9

2

1

1−¹₉ = 16 9×7 − 8

9×8 =16−7 9×7 =1

7 d. Suivant le même principeB_n est l'union disjointe, pour0≤k≤n−2, des

ABC1∩ · · · ∩ABCk∩BCk+1∩ · · · ∩BC_n−1∩Bn

Soitn≥2 et0≤k≤n−2

p(ABC₁∩ · · · ∩ABC_k∩BC_k+1∩ · · · ∩BC_n−1∩B_n)

=p(ABC1∩ · · · ∩ABCk∩BCk+1∩ · · · ∩BCn−1)p(Bn|BCn−1)

= 2

3^n+k 1 3 = 2

3^n+k+1 D'où

p(Bn) = 1 3ⁿ − 1

3²ⁿ⁻¹ Doncp(B)est la limite quandntend vers+∞dePn

k=2p(B_k). On obtient p(B) =

1 3

2

1 1−¹₃ −3

1 9

2

1 1−¹₉ = 1

8

e. Pour que C gagne le combat à l'étapenil y a plusieurs cas de gure : Soit A et B sont éliminés en même temps. NotonsCn,AB cet événement.

C'est aussiABC1∩ · · · ∩ABC_n−1∩Cn de probabilité

p(ABC₁∩ · · · ∩ABC_n−1∩C_n) =p(ABC_n−1)p(C_n|ABC_n−1) = 1 9ⁿ⁻¹

4 9 = 4

9ⁿ

Soit A est éliminé puis B. NotonsCn,B cet événement.

C'est l'union disjointe, pour0≤k≤n−2, des événements ABC1∩ · · · ∩ABCk∩BCk+1∩ · · · ∩BC_n−1∩Cn

p(ABC1∩ · · · ∩ABCk∩BCk+1∩ · · · ∩BCn−1∩Cn)

=p(ABC1∩ · · · ∩ABCk∩BCk+1∩ · · · ∩BC_n−1)p(Cn|BC_n−1))

= 2

3^n+k 1 6 = 1

3^n+k+1 La probabilité deC_n,B est donc :

1 2( 1

3ⁿ − 1 3²ⁿ⁻¹)

Soit B est éliminé puis A. NotonsCn,Acet événement. C'est l'union disjointe, pour0≤k≤n−2, des événements

ABC1∩ · · · ∩ABCk∩CAk+1∩ · · · ∩CAn−1∩Cn

p(ABC1∩ · · · ∩ABCk∩CAk+1∩ · · · ∩CAn−1∩Cn)

=p(ABC1∩ · · · ∩ABCk∩CAk+1∩ · · · ∩CA_n−1)p(Cn|CA_n−1)

= 2^n−k−1 9ⁿ⁻¹

1

9 =2^n−1−k 9ⁿ La probabilité deC_n,Aest donc

n−2

X

k=0

2^n−1−k 9ⁿ = 1

9ⁿ(2ⁿ−2)

L'événementC_n est l'union disjointe des C_n,AB, C_n,B et C_n,A Doncp(C)est la limite quandntend vers+∞de

n

X

k=1

p(C_n,AB) +

n

X

k=2

p(C_n,B) +

n

X

k=2

p(C_n,A)

(5)

On obtient :

n

X

k=1

p(Cn,AB) tend vers 1 2

n

X

k=2

p(Cn,B) tend vers 1 16

n

X

k=2

p(Cn,A) tend vers 1 28











⇒p(C) = 67 112

PARTIE II

1. Expression de la matrice de transitionM a. On trouve

M =





 1

9 0 0 0 0 0 0 2

9 1

3 0 0 0 0 0

2

9 0 2

9 0 0 0 0

0 0 4

9 1 0 0 0 0 1

3 0 0 1 0 0

4 9

1 6

1

9 0 0 1 0 0 1

6 2

9 0 0 0 1







b. Soitn∈N. Par récurrence,En =MⁿE0. 2. Calcul des puissances de la matriceM.

a. Vérication évidente à l'aide du produit par blocs.

b. En lisant dans la matrice de transition, on trouve

U =





 1

9 0 0

2 9

1 3 0 2

9 0 2

9







V =







0 0 4

9 0 1

3 0 4

9 1 6

1 9 0 1

6 2 9







c.

3. Diagonalisation de la matriceU

a. Le système considéré admet une solution non nulle si la matriceU−λI3n'est pas inversible. NotonsP(λ)le déterminant de cette matrice.

P(λ) =

1

9−λ 0 0

2 9

1

3−λ 0

2

9 0 ²₉−λ

= (1 9−λ)(1

3 −λ)(2 9−λ)

D'oùλ1=¹₉,λ2=²₉ etλ3=¹₃.

La résolution des systèmes donneV1= (1,−1,−2),V2= (0,0,1)etV3= (0,1,0). b. D'après la formule de changement de base, on obtient le résultat cherché, en

formant la matrice des vecteurs propres trouvés soit :

P =







1 0 0

−1 0 1

−2 1 0







et D=







1

9 0 0

0 ²₉ 0 0 0 ¹₃







avec P⁻¹=







1 0 0 2 0 1 1 1 0







4. Calcul de la limite des puissances de la matriceM. a. Soitn∈N,

Dⁿ =





1

9ⁿ 0 0 0 ²₉ⁿn 0 0 0 ₃¹n





(6)

et

I3+D+· · ·+Dⁿ=





9

8−_8.9¹_n 0 0

0 ⁹₇ −²_7.9ⁿ⁺¹n 0 0 0 ³₂−_2.3¹n





b. On obtient que (Dⁿ) converge vers la matrice nulle et que(I3+D+· · ·+Dⁿ) converge vers la matrice





 9

8 0 0

0 9 7 0

0 0 3

2







De U =P DP⁻¹, on tireUⁿ = P DⁿP⁻¹ pour n ∈ N. On en déduit que (Uⁿ) converge versP0P⁻¹ie vers la matrice nulle et(I3+U+· · ·+Uⁿ)converge vers la matrice

P





 9

8 0 0

0 9 7 0

0 0 3

2





 P⁻¹=





 9

8 0 0

3 8

3 2 0 9

28 0 9 7







c. D'après l'expression deMⁿtrouvée en 2)c) et en utilisant que(V+V U+· · ·+V Uⁿ) converge vers la matrice

V





 9

8 0 0

3 8

3 2 0 9

28 0 9 7







=





 1

7 0 4

7 1

8

1 2 0 67

112 1 4

1 7 15

112 1 4

2 7







Donc

E_n=MⁿE₀=





 0 0 0 1 7 1 8 67 112

15 112







d. On retrouve bien que(p(ABCn)), (p(BCn))et(p(CAn))convergent vers0, que (p(An))converge vers 1

7, que(p(Bn))converge vers 1

8, que(p(Cn)converge vers 67

112 et que(p(∅n)converge vers 15 112.