EXERCICE 2
Voir figure à la fin de l’exercice.
1. Ω est le milieu du segment [AB] et donc
z
Ω= z
A+ z
B2 = 1
2 (1 − 2i − 2 + 2i) = − 1 2 . D’autre part, en notant R le rayon du cercle (C),
R = AB 2 = 1
2 |z
B− z
A| = 1
2 |(−2 + 2i) − (1 − 2i)| = 1
2 | − 3 + 4i| = 1 2
p (−3)
2+ 4
2=
√ 25 2 = 5
2 . (C) est le cercle de centre Ω(− 1
2 , 0) et de rayon 5 2 . 2.
z
D= 3 + 9i 4 + 2i = 3
2 × 1 + 3i 2 + i = 3
2 × (1 + 3i)(2 − i) (2 + i)(2 − i) = 3
2 × 5 + 5i 2
2+ 1
2= 3
2 (1 + i).
z
D= 3 2 + 3
2 i ou encore D 3
2 , 3 2
.
Ensuite,
ΩD = |z
D− z
Ω| =
( 3 2 + 3
2 i) − (− 1 2 )
=
2 + 3 2 i
= 1
2 |4 + 3i| =
√ 25 2 = 5
2 = R.
D appartient au cercle (C).
3. a. On sait que z
E− z
Ω= Re
iπ/4ou encore z + 1 2 = 5
2 e
iπ/4ou enfin z + 1
2 est le nombre complexe de module 5 2 et d’argument π
4 . b.
z
E= − 1 2 + 5
2
√ 2 2 + i
√ 2 2
!
= − 1 2 + 5 √
2 4 + 5 √
2 4 i = 5 √
2 − 2 4 + 5 √
2 4 i.
z
E= 5 √ 2 − 2
4 + 5 √ 2 4 i.
4. a. On sait que si f est la rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle θ, l’expression complexe de f est z
′− ω = e
iθ(z − ω).
Donc
r est la rotation de centre Ω
− 1 2 , 0
et d’angle π 4 .
b. Si z = z
K= 2, d’après le calcul fait à la question 3.b., z
′= − 1
2 + e
iπ/4(z
K+ 1 2 ) = − 1
2 + 5
2 e
iπ/4= − 1
2 + Re
iπ/4= z
E.
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c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.Géométriquement, puisque z
K= 2 = − 1
2 + R, E est l’image du point K par la rotation de centre Ω et d’angle π
4 et donc E = r(K).
r(K) = E.
1 2
−1
−2
−3
1 2
−1
−2
b
b b
b
b b
I
bA B
Ω
D E
K
π4
