{ Chapitre I : Suites, partie 1/2

(1)

Chapitre I : Suites, partie 1/2

Objectifs :

1. → Savoir mener un raisonnement par récurrence.

2. → Savoir déterminer, dans le cas d'une limite infinie pour une suite croissante, à l'aide d'un algorithme, un rang à partir duquel u

_n

est supérieur à A.

3. → Savoir démontrer que si u

_n

< v

_n

à partir d'un certain rang et si lim

n

→+∞ u

_n

= +∞, alors lim

n

→+∞ v

_n

= +∞.

4. → Savoir étudier les limites d'une somme, d'un produit et d'un quotient de deux suites.

5. → Savoir déterminer la limite éventuelle d'une suite géométrique.

Référence du manuel : Bordas, indice TS prgm 2012

Activité d'approche n°1 : construction du raisonnement par récurrence.

On considère la suite définie par { ^u ⁿ⁺¹ ^=u ^u ⁰ ⁼¹ ⁿ ⁺ ² ⁿ⁻¹

1. Calculer les trois premiers termes de la suite.

…...

...

2. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, afficher les termes de la suite de u

₀

à u

₁₁

…...

...

3. Représenter graphiquement

l'ensemble des points (n; u _n )

pour n ∈ [0;11] :

(2)

4. Conjecturer l’expression de u _n en fonction de n. Vérifier cette conjecture pour des grandes valeurs de n (par exemple : n = 100, n= 557 …)

…...

5. On définit, pour tout entier n , la propriété P(n) par : u _n =(n – 1)

²

. a. Qu'est-ce que l'étude précédente laisse penser de la propriété P ?

…...

b. Démontrer, en utilisant la définition de la suite donnée au départ, que, si P(n)

est vraie, alors P(n+1) est aussi vraie (on dit que P est héréditaire) :

…...

c. Démontrer que P(0) est vraie.

…...

d. On sait maintenant que P(0) est vraie, et que, si P(n) est vraie, alors P(n+1) est aussi vraie. Que peut-on en déduire, et pourquoi ?

…...

Activité d'approche n°2 : construction du raisonnement par récurrence (suite)

On considère la suite définie par { ^u ⁿ⁺¹ ^=u ^u ⁰ ⁼² ⁿ ⁺ ² ⁿ⁻¹

1. On définit, pour tout entier n, la propriété P(n) par : u _n =(n – 1)

²

. Conjecture-t-on

toujours que, pour tout entier n, P(n) est vraie ? Argumenter.

…...

...

(3)

2. Démontrer que P est cependant toujours héréditaire.

…...

...

…...

...

…...

3. Que faudrait-il pour que le raisonnement par récurrence « fonctionne » ?

…...

(4)

(5)

Cours n°1

Chapitre n°1 : Suite, partie 1/2

Remarque :

Toutes les notions relatives aux suites vues en 1ère sont nécessaires (croissance et décroissance, suites arithmétiques, géométriques, somme des premiers termes, etc.)

I) Le raisonnement par récurrence

Définition n°1 :

On dit que la propriété P est héréditaire à partir du rang n ₀ si elle possède la

propriété : si pour un entier n supérieur ou égal à n ₀ , …... est vraie

alors …...

P(n) s'appelle l'hypothèse de récurrence.

Axiome de récurrence :

Si la propriété P(n ₀ ) est vraie (initialisation) et la propriété P est héréditaire

à partir de n ₀ , alors …...

…...

Remarques :

a. L’entier n ₀ , rang initial est souvent 0 ou 1, mais pas toujours.

b. Une démonstration par récurrence comporte trois étapes, l’initialisation, l’hérédité de la propriété et la conclusion.

c. L’initialisation est importante. Une propriété peut être héréditaire sans pour

autant être vraie. Par exemple, pour n entier naturel, la propriété : « (10 ⁿ +1) est

divisible par 9 » est héréditaire, mais fausse. Il manque l’initialisation.

(6)

Exemple n°1 (Inégalité de Bernoulli)

Démontrer l'assertion suivante : Soit a un réel strictement positif. Alors, pour tout n entier naturel, (1+a)

ⁿ

1 + na.

1) I... :

…...

...

2) H... :

…...

...

3) C... :

…...

...

Exercice n°1 Ex.1 p.22

…...

...

(7)

...

Exercice n°2*

Ex.4 p.22

…...

...

…...

...

Exercice n°3*

Ex.42 p.24

…...

...

…...

...

(8)

...

Exercice n°4**

Ex.44 p.24

…...

...

…...

...

…...

...

(9)

Activité d'approche n°3 : Convergence ou non

Un éditeur veut faire paraitre un nouveau magazine mensuel intitulé

«SESAMATH », sachant qu’un nouveau magazine reste rentable pour lui, dès lorsque le nombre d’abonnés reste supérieur ou égal à 3000. Il réalise une étude de marché qui révèle que le nombre d’abonnés serait de 8000 la première année, que le taux de réabonnement serait de 80 % et que chaque année, il y aurait 600 nouveaux abonnés.

n étant un entier naturel non nul, on note, dans cette activité, a _n le nombre

d’abonnés à l’année n. On suppose que : a ₁ = 8000.

1. Estimation

À l’aide d’un tableur,

a. Déterminer le nombre d’abonnés des premières années. En colonne B, on

donnera le résultat de a _n et en colonne C le résultat arrondi à l’entier.

…...

...

b. Représenter graphiquement le nombre d’abonnés en fonction de l’année.

c. Conjecturer alors le comportement de ce nombre d’abonnés au fur et à mesure que les années s’écoulent.

…...…...

(10)

…...

d. Le magazine semble-t-il pérenne ?

…...

2. Point de vue mathématique

Dans cette partie, n est un entier naturel supérieur ou égal à 1.

a. Expliciter une relation entre a _n+1 et a _n .

…...

b. On définit, pour tout n entier naturel non nul, la suite (b _n ) par b _n = a _n – 3000. Montrer que la suite (b _n ) est géométrique, puis déterminer les éléments

caractéristiques de cette suite ainsi qu’une formule explicite de b _n .

…...

c. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, a _n en fonction de n.

…...

d. Justifier que la suite (a _n ) est strictement décroissante et qu’elle est minorée par 3000.

…...

(11)

…...

e. La suite (a _n ) peut-elle atteindre 3000 ? Pourquoi le tableur affiche-t-il

pour autant a _n = 3000, à partir d’un certain rang ?

…...

f. Écrire un algorithme permettant de savoir à partir de quel rang (a _n - 3000)0,5 .

…...

(12)

…...

g. Pour ou contre ? Commenter la phrase suivante : « Tout intervalle ouvert

contenant 3000 contient toutes les valeurs a _n , à partir d’un certain rang ».

…...

h. Conclure sur l’évolution dans le temps du nombre d’abonnés au magazine

« SESAMATH ».

…...

Exercice n°5*

Ex.8 p.22

…...

...

…...

...

(13)

...

Exercice n°6*

Ex.9 p.22

…...

...

…...

...

Exercice n°7*

Ex.11 p.22

…...

...

(14)

...

…...

...

Exercice n°8*

Ex.12 p.22

…...

...

…...

...

(15)

Cours n°2

II) Limite finie d'une suite Définition n°2

La suite ( u

_n

) admet pour limite le

nombre réel L si, quand on choisit un intervalle ouvert contenant L, il

existe toujours un n

0

à partir duquel

…...

À partir d'un certain rang, les termes de la suite « s'accumulent » autour de L.

Notation

On dit que la suite ( u

_n

) converge vers L et on note : …...

…...

Remarque :

Une suite qui ne converge pas est une suite qui diverge, soit vers + ∞ ou - ∞, soit parce qu'elle oscille continuellement de manière aléatoire ou non exemple : (-1)

ⁿ

)

Exemple n°2 :

Soit la suite ( u

n

) définie par u

_n

= 5

n

²

. Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

Intuitivement, on voit que u

_n

converge et que L = ...

Soit un intervalle ouvert du type ]-a;+a[ , a étant un réel strictement positif.

Cherchons à partir de quel rang n

0

on aura 5

n

²

< a :

(16)

…...

Conclusion :

…...

Exemple n°3

Soit la suite ( v

_n

) définie par v

_n+1

= 5

v

_n

. et v

₀

=−1 . Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

Intuitivement, on voit que v

_n

…...

Démonstration par récurrence :

…...

III) Limite infinie d'une suite Définition n°3

La suite ( u

_n

) admet pour limite l'infini si , quand on choisit un intervalle ou-

vert de la forme ]A;+∞[ , il existe toujours un n

0

à partir duquel ...

...

…...

Exemple n°4

Soit la suite ( w

n

) définie par w

_n+1

=5+ n

²

. Déterminer la limite de cette suite.

(17)

Intuitivement, on voit que w

_n

…...

Soit un intervalle ouvert du type ]A;+∞[ , A étant un réel strictement plus grand que 5.

Cherchons à partir de quel rang n

0

on aura 5+ n

²

> A :

…...

Conclusion :

…...

Exercice n°9*

Ex.54 p.25

…...

...

…...

...

Exercice n°10*

Ex.55 p.25

(18)

…...

...

…...

...

Activité d'approche n°3 : opérations sur les suites

1. De façon intuitive, compléter les tableaux suivants : Somme de deux suites

u _n v _n _lim

n

→+∞ u

_n

lim

n

→+∞ v

_n

u _n + v _n _lim

n

→+∞ u

_n

+ v

_n

2n² –n² … … … …

n² –n² … … … …

n + 1

n –n … … … …

n² – 1 –2n² … … … …

Produit de deux suites

u _n v _n

lim

n

→+∞ u

_n

lim

n

→+∞ v

_n

u _n v _n

lim

n

→+∞ u

_n

v

_n

2n² 1

n … … … …

n²

2 n

²

… … … …

(19)

3n 1

n

²

… … … …

Quotient de deux suites

u _n v _n lim

n

→+∞ u

_n

lim

n

→+∞ v

_n

u

_n

v

_n

lim

n

→+∞

u

_n

v

_n

2n² n … … … …

n² -n² … … … …

n -n² … … … …

1 n

²

… … … …

1 n

²

1 n

²

… … … …

1 n

²

1 n … … … …

2. Généralisation

On considère deux suites (u _n ) et (v _n ) . On connait les limites de ces deux suites.

L et L’ sont des nombres réels.

1. Addition lim

n

→+∞ u

_n

L L L +∞ -∞ +∞

lim

n

→+∞ v

_n

L’ +∞ -∞ +∞ -∞ -∞

lim

n

→+∞ u

_n

+ v

_n

… … … … … …

2. Produit lim

n

→+∞ u

_n

L≠ 0 L>0 ou +∞ L<0 ou -∞ L>0 ou +∞ L<0 ou -∞ 0 lim

n

→+∞ v

_n

L’ +∞ +∞ -∞ -∞ -∞ ou +∞

lim

n

→+∞ u

_n

×v

_n

… … … … … …

3. Quotient

On suppose que pour tout entier naturel n, v _n est différent de zéro.

lim

n

→+∞ u

_n

L L L>0 L>0 L<0 L<0 -∞ ou +∞ 0

lim

n

→+∞ v

_n

L’≠0 -∞ ou +∞ 0 et v _n >0 0 et v _n <0 0 et v _n >0 0 et v _n <0 -∞ ou +∞ 0 lim

n

→+∞

u

_n

v

_n

… … … … … … … …

(20)

Cours n°3

IV) Opérations sur les limites Propriété n°1

Si lim

n

→+∞ u

_n

= +∞ et u

_n

≠0 à partir d'un certain rang, alors lim

n

→+∞

1 u

_n

=....

Si lim

n

→+∞ u

_n

= −∞ et u

_n

≠0 à partir d'un certain rang, alors lim

n

→+∞

1 u

_n

=....

Démonstration :

Si lim

n

→+∞ u

_n

= +∞ , quelque soit le nombre A positif choisi, il existe n

0

tel que,

quelque soit n>n

0

, u

_n

> A .

Donc, il existe n

0

tel que, quelque soit n>n

0

, 1 u

_n

< 1

A .

Donc, si l'on choisit un nombre quelconque a, il suffit de prendre A= 1

a : il y

aura un rang à partir duquel u

_n

> A , et donc à partir duquel 1

u

_n

< 1

A soit 1

u

_n

< a .

Donc lim

n

→+∞

1 u

_n

=0 .

Propriété n°2 : somme de limites

Propriété n°3 : produit de limites

(21)

Propriété n°4 : quotient de limites

ⁿ

^→+∞ ^lim ^u

ⁿ

lim

n

→+∞ v

_n

Exemple n°5 :

Soit u

n

= –2n

²

– 5n. Déterminer lim

n

→+∞ u

_n

...

Exemple n°6 :

Soit v

n

= –2n

²

+ 5n. Déterminer lim

n

→+∞ v

_n

...

(22)

...

Exemple n°7 :

Soit w

n

= n

²

– 1

n . Déterminer lim

n

→+∞ w

_n

...

Exercice n°11*

Ex.13 p.22

…...

...

…...

...

Exercice n°12*

Ex.14 p.22

(23)

…...

...

…...

...

Exercice n°13*

Ex.15 p.22

…...

...

…...

...

(24)

...

Exercice n°14**

Ex.67 p.26

…...

...

…...

...

…...

...

Exercice n°15*

Ex.68 p.26

…...

...

(25)

...

…...

...

Exercice n°16**

Ex.69 p.26

…...

...

…...

...

…...

...

(26)

...

Cours n°4

V) Limites et comparaison de suites

Propriété n°5 :

1. Si (u

n

) et (v

n

) sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang n

1

, v

n

 u

n

, et

lim

n

→+∞ u

_n

=+∞ , alors …...

2. Si (u

n

) et (v

n

) sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang n

1

, v

n

 u

n

, et

lim

n

→+∞ u

_n

=−∞ , alors …...

Démonstration (exigible) :

Démontrons le 1 : choisissons un nombre réel A, on a lim

n

→+∞ u

_n

=+∞ . Donc il

existe un rang n

0

à partir duquel u

n

est dans l'intervalle ]A;+∞[.

De plus, à partir d'un certain rang n

1

, …...

...

Donc, choisissons un rang n

2

tel que …...

Alors …...

Donc : …...

Le 2 se démontre de façon équivalente.

Exemple n°8 :

Soit la suite (v

n

) définie par v

n

=2n + 1 + sinn. Déterminer lim

n

→+∞ v

_n

.

...

(27)

...

Propriété n°6 : le théorème des « gendarmes »

Si (u

n

), (v

n

) et (w

n

) sont trois suites telles que, à partir d'un certain rang n

1

, u

n

v

n

w

n

, et lim

n

→+∞ u

_n

= lim

n

→+∞ w

_n

= L , alors

Exemple n°9 :

Soit la suite (v

n

) définie par v

_n

= sin n

n . Déterminer lim

n

→+∞ v

_n

.

...

Exercice n°17

Ex.18 p.22

(28)

Exercice n°18 Ex.20 p.22

…...

...

Exercice n°19 Ex.71 p.26

…...

...

Exercice n°20*

Ex.23 p.22

…...

...

…...

...

(29)

...

Cours n°5

VI) Limite des suites géométriques

Propriété n°7

Soit q la raison d'une suite géométrique : a. Si q-1 alors ^lim

n

→+∞ q

ⁿ

... . b. Si -1<q<1 alors ^lim

n

→+∞ q

ⁿ

... . c. Si q=1 alors ^lim

n

→+∞ q

ⁿ

... . d. Si q>1 alors ^lim

n

→+∞ q

ⁿ

... .

Démonstration (exigible) : On ne démontre que le d.

...

Exemple n°10 :

Soit la suite (w

n

) définie par w

_n

= 2

3

ⁿ

. Étudier la convergence de (w

n

) .

...

(30)

Exemple n°11 :

Soit la suite (u

n

) définie par u

_n

= −3( √ ²⁾

ⁿ

. Étudier la convergence de (u

n

).

...

Exemple n°12 :

Soit la suite (v

n

) définie par v

_n

= (−3)

ⁿ

5 . Étudier la convergence de (v

n

).

...

Exemple n°13 :

Soit la suite (z

n

) définie par z

_n

= ∑

p=0 n−1

q

^p

. Étudier la convergence de (z

n

) en fonction de q.

...

Exercice n°21

Ex.25 p.23

(31)

…...

...

Exercice n°22*

Ex.29 p.23

…...

...

…...

...

Exercice n°23**

Ex.73 p.26

…...

...

(32)

...

…...

...

…...

...

Exercice n°24**

Ex.74 p.26

…...

...

…...

...

(33)

...

Exercice n°25**

Ex.77 p.26

…...

...

…...

...

Exercice n°26***

Sujet B p.35

…...

...

(34)

…...

...

…...

...

Exercice n°27***

Sujet E p.36

…...

...

…...

...

(35)

...

…...

...

Exercice n°28***

Ex.135 p.37

…...

...

…...

...

…...

...

(36)

...

…...

...

(37)

Résultats

Ex.1 (1 p.22) : p(n):il existe p tel que (xy)

^p

=...

Ex.2 (4 p.22) : initialisation : u 0 =....

Ex.3 (42 p.24) : récurrence.

Ex.4 (44 p.24) : u

n

=2.

Ex.5 (8 p.22) : rang 20.

Ex.6 (9 p.22) : 1. rang 6. 2. rang 71.

Ex.7 (11 p.22) : 1. rang 10 001 2. rang 100 001.

Ex.8 (12 p.22) : 1. rang 202. 2. rang 2 002.

Ex.9 (54 p.25) : 1. lim

n→+∞

v

n

=2. 2. n> 1 a

²

.

Ex.10 (55 p.25) : 1. À partir du rang 10. 2. n> 1

√ a . Ex.11 (13 p.22) : 1. +∞ 2. +∞ 3. +∞ 4. -30 5. -∞ 6. +∞

Ex.12 (14 p.22) : 1. 4 2. 0 3. 0 4. - lim

n→+∞

S

_n

=+∞

Ex.13 (15 p.22) : 1. +∞ 2. -∞ 3. +∞ 4. -∞

Ex.14 (67 p.26) : 1. -∞ 2. 0 3. +∞ 4. 4 Ex.16 (69 p.26) : 1. -∞ 2. -∞ 3. 0 4. - 2

3 5. +∞ 6. -∞

Ex.17 (18 p.22) : lim

n→+∞

u

_n

=+∞

Ex.18 (20 p.22) : lim

n→+∞

u

_n

=−∞

Ex.19 (71 p.26) : 1. lim

n→+∞

u

_n

=+∞ 2. lim

n→+∞

u

_n

=0 3. lim

n→+∞

u

_n

=+∞ 4. lim

n→+∞

u

_n

=−∞

Ex.20 (23 p.22) : a. lim

n→+∞

u

_n

=0 b. lim

n→+∞

u

_n

=0

Ex.21 (25 p.23) : 1. 0 2. +∞ 3. Diverge sans limite.

Ex.22 (29 p.23) : 1. lim

n→+∞

u

_n

=0 2. lim

n→+∞

u

_n

=−∞

Ex.23 (73 p.26) : 1. +∞ 2. + ∞ 3.+ ∞ 4. Diverge sans limite.

Ex.24 (74 p.26) : 1. -∞ 2. 0 3.+∞ 4. 2 5. +∞ 6.+∞

Ex.25 (77 p.26) : 1.a. Le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l’intervalle [n;n + 1]

est proportionnel à u

n

... 1.b. géométrique, raison 1+a. 1.c. a=2,5. 1.d. u

n

=100×3,5

ⁿ

. 2.a. lim

n→+∞

u

_n

=+∞

2.b. 4h;5h;5h.

(38)

Ex.26 (Sujet B p.35) : P.A. cf cours, exemple 1 P.B.1. lim

n→+∞

u

_n

=1 P.B.2.a. (S

n

) est croissante.

P.B.2.b. S

n

=n+1+15 ( ¹⁻ ⁽ ¹ ⁵ ⁾

ⁿ⁺¹

) P.B.2.c. lim

n→+∞

S

_n

=+∞ P.C.1. F P.C.2.F.

Ex.27 (Sujet E p.36) : 1. u

1

= - 5

3 ; u

2

= - 14

9 ; u

3

= - 14

27 2. pour n 71. 3. par récurrence. 4.a.

raison : 1

3 , premier terme : v

0

= - 25

2 . 4.b. v

n

= - 25

2 × ( ¹ 3 )

ⁿ

^{5.a. S}

ⁿ

^{= -} ⁷⁵ 8 ( ¹⁻ ⁽ ¹ ³ ⁾

ⁿ⁺¹

) ^5.b.T

ⁿ

⁼ ⁷⁵ ⁸ ( ¹⁻ ⁽ ¹ ³ ⁾

ⁿ⁺¹

) ⁺ ³ ⁴ (n+1)(n – 7).

Ex.28 (Ex.135 p.37) : 1. (a

n

) semble croissante, (b

n

) semble décroissante, et il semble que

n→+∞

lim a

n

= lim

n→+∞

b

n

=4 . 2. 3.a. raison 1

3 , premier terme 6 3.b. u

n

= - 6×

( ¹ 3 )

ⁿ

^{4 a} ^{. .} ^a

ⁿ

^<b

ⁿ

^{4.b. (a}

ⁿ

) est croissante, (b

n

) est décroissante. 5. décroissante et minorée, croissante et majorée... 6.c. lim

n→+∞

a

_n

= lim

n→+∞

b

_n

=4 .

(39)

(40)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Travail à faire pour la prochaine fois :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :

- Act n° …. Cours n° :... Ex.n° : … / … / … / ...

Travail à faire pour la prochaine fois :

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{ Chapitre I : Suites, partie 1/2