Corrigé sujet IV congruences
1. Démontrer que, pour tout entier naturel p : 23p−1 est un multiple de 7. En déduire que 23p1−2 est un multiple de 7 et que 23p2−4 est un multiple de 7.
Correction :
23=8 et 8≡1[7], d'où 23≡1[7], soit 23p≡1[7] ou encore 23p−1≡0[7]. ce qui signifie que 23p−1 est un multiple de 7.
De même façon, on démontre que : 23p1≡23p×2≡2[7], d'où 23p1−2≡0[7], c'est à dire que 23p1−2 est un multiple de 7.
De même façon, on démontre que : 23p2≡23p×22≡4[7], d'où 23p1−4≡0[7], c'est à dire que 23p1−2 est un multiple de 7.
2. Déterminer, selon les valeurs de n, les restes de la division de 2n par 7.
Correction : D'après la question précédente, 23p≡1[7], dans ce cas le reste est 1.
23p1≡2[7], dans ce cas le reste est 2.
23p2≡4[7], dans ce cas le reste est 4.
3. Le nombre n étant un entier naturel, on considère le nombre entier An=2n22n23n. a. Si n=3p, quel est le reste de la division de An, par 7?
Correction : An=2n22n23n=23p22×3p23×3p, et donc, d'après la question précédente, An≡111[7] ce qui prouve que le reste de la division euclidienne de An par 7 est 3 b. Démontrer que si n=3p1 alors An est divisible par 7.
Correction : An=2n22n23n=23p122×3p123×3p1, et donc, d'après la question précédente, An≡241[7], c'est à dire que An≡0[7]et donc que An est divisible par 7.
c. Étudier le cas oùn=3p2 .
An=2n22n23n=23p222×3p223×3p2=23p223×2p1123×3p2, et donc, d'après la question précédente, An≡421[7], c'est à dire que An≡0[7]et donc que An est divisible par 7.
4. On considère les nombres entiers a et b écrits dans le système binaire : a=1001001000, b=1000100010000.
Vérifier que ces deux nombres sont des nombres de la forme An.
a=1001001000=292623=A3 de la forme A3p d' où a n'est pas divisible par 7.
b=1000100010000=2122824=A4,de la forme A3p1 d' où b est pas divisible par 7.