• Aucun résultat trouvé

23p1≡2[7], dans ce cas le reste est 2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "23p1≡2[7], dans ce cas le reste est 2"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

Corrigé sujet IV congruences

1. Démontrer que, pour tout entier naturel p : 23p1 est un multiple de 7. En déduire que 23p12 est un multiple de 7 et que 23p24 est un multiple de 7.

Correction :

23=8 et 8≡1[7], d'où 23≡1[7], soit 23p≡1[7] ou encore 23p−1≡0[7]. ce qui signifie que 23p−1 est un multiple de 7.

De même façon, on démontre que : 23p1≡23p×2≡2[7], d'où 23p1−2≡0[7], c'est à dire que 23p12 est un multiple de 7.

De même façon, on démontre que : 23p2≡23p×22≡4[7], d'où 23p1−4≡0[7], c'est à dire que 23p12 est un multiple de 7.

2. Déterminer, selon les valeurs de n, les restes de la division de 2n par 7.

Correction : D'après la question précédente, 23p≡1[7], dans ce cas le reste est 1.

23p1≡2[7], dans ce cas le reste est 2.

23p2≡4[7], dans ce cas le reste est 4.

3. Le nombre n étant un entier naturel, on considère le nombre entier An=2n22n23n. a. Si n=3p, quel est le reste de la division de An, par 7?

Correction : An=2n22n23n=23p22×3p23×3p, et donc, d'après la question précédente, An≡111[7] ce qui prouve que le reste de la division euclidienne de An par 7 est 3 b. Démontrer que si n=3p1 alors An est divisible par 7.

Correction : An=2n22n23n=23p122×3p123×3p1, et donc, d'après la question précédente, An≡241[7], c'est à dire que An≡0[7]et donc que An est divisible par 7.

c. Étudier le cas oùn=3p2 .

An=2n22n23n=23p222×3p223×3p2=23p223×2p1123×3p2, et donc, d'après la question précédente, An≡421[7], c'est à dire que An≡0[7]et donc que An est divisible par 7.

4. On considère les nombres entiers a et b écrits dans le système binaire : a=1001001000, b=1000100010000.

Vérifier que ces deux nombres sont des nombres de la forme An.

a=1001001000=292623=A3 de la forme A3p d' où a n'est pas divisible par 7.

b=1000100010000=2122824=A4,de la forme A3p1 d' où b est pas divisible par 7.

Références

Documents relatifs

Ces différentes cellules ont tendance à se télescoper dans le sens méridien au m des saisons, la zone de liaison des deux cellules de Hadley (hémisphères nord et sud)

[r]

[r]

La méthode à froid est plus intéressante car la viabilité à 24 h est supérieure (cellules qui se conservent mieux) et car le nombre total de cellules viables

En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple (n , m) vérifie la relation (F) alors n est divisible par

L’oiseau plonge donc sous l’eau jusqu’à une profondeur de 4 mètres et ceci lorsqu’il se trouve à 3 mètres de

[r]

W i t wollen nun zeigen, dass auch noch in einem anderen Falle, nSmlieh, wenn es sich um eine complexe Gr6sse a handelt, welche Wurzel einer irreducibeln