TS spécialité Exercices congruences (2) 2012-2013
EXERCICE 1 :aet bsont des entiers naturels tels quea≡5(7) etb≡3(7).
Déterminez les restes de la division euclidienne par 7 de : 1. 2a+ 5b
2. a2+ 11b 3. a2+ 3b2
EXERCICE 2 :
1. Quel est le reste de la division euclidienne de 6943 par 7 ? 2. Quel est le reste de la division euclidienne de 247349 par 7 ?
EXERCICE 3 : Démontrer que 24n+1+ 34n+1 est divisible par 5 quel que soit l’entier natureln.
EXERCICE 4 :
1. Prouver que 33≡1(13).
Déduisez-en que pour tout entier natureln, 33n≡1(13).
2. Démontrez que pour tout entier natureln, 36n+2+ 33n+1+ 1 est un multiple de 13.
EXERCICE 5 :ndésigne un entier naturel.
1. Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de 3n par 11 ? 2. Déduisez-en que 3n+ 7≡0(11) si, et seulement si,n= 5k+ 4 aveck∈N.
EXERCICE 6 : Quels sont les entiers naturelsnpour lesquels 2n−1 est divisible par 9 ?
EXERCICE 7 :
1. Complétez le tableau des restes dans la congruence modulo 5.
n≡ 0 1 2 3 4 n2≡
2. Déduisez-en que l’équationx2−5y2= 3, avecxety entiers naturels, n’a pas de solution.
EXERCICE 8 : A la pointe ouest de l’Île de Ré, se situe le grand phare des baleines. L’escalier qui mène au sommet a un nombre de marches compris entre 240 et 260.
Teddy et Laure sont deux sportifs de haut niveau. Laure monte l’escalier trois marches par trois marches ; à la fin, il lui reste deux marches. Teddy, lui, monte l’escalier quatre marches par quatre marches ; à la fin, il lui reste une marche.
Combien de marches l’escalier comporte-t-il ?
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