Résistance électrique de l'espace compris entre deux cylindres

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Submitted on 1 Jan 1874

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cylindres

M. Blavier

To cite this version:

M. Blavier. Résistance électrique de l’espace compris entre deux cylindres. J. Phys. Theor. Appl.,

1874, 3 (1), pp.115-123. �10.1051/jphystap:018740030011500�. �jpa-00236922�

RÉSISTANCE ÉLECTRIQUE DE L’ESPACE COMPRIS ENTRE DEUX CYLINDRES;

PAR M. BLAVIER,

Inspecteur divisionnaire des lignes télégraphiques.

Lorsqu’on étudie (1)

^la

propagation

^de l’électricité dans un espace

conducteur,

^{on est}

conduit,

^en

appliquant

la loi élémentaire

d’Ohm,

et si l’on suppose l’état permanent

établi,

^à

l’équation

^ditféren-

tielle

dans

laquelle

x, y ^{et z sont} les coordonnées d’un

point quelconque

dont la

tension,

^{ou le}

potentiel,

^{est u. Son}

llltégrale générale

peut

être donnée sous

plusieurs formes; mais, lorsqu’on

^{veut déterminer}

la valeur des constantes, ^on est, sauf ^dans

quelques

^cas

particuliers,

arrêté par des difficultés

insurmontables,

et, _par

suite,

^{il est} presque

toujours impossible

^de calculer la résistance

qu’oppose

^{à l’écoule-}

ment de l’électricité un espace conducteur

compris

^{entre deux sur-}

faces maintenues à des tensions différentes.

Il est un cas où le calcul se fait facilement : c’est celui où les deux surfaces données sont deux

cylindres

^{à base} circulaire assez

longs

pour

qu’on puisse

^les considérer comme indéfinis. La propa-

gation

s’effectue alors normalement aux axes, ^et l’on peut ^{se borner} à

envisager

^la transmission de l’électricité dans une

plaque

^{ou un}

plan d’épaisseur

^constante.

Ce cas est intéressant à

examiner,

parce que c’cst celui

qu’a

choisi AI.

Gaugain

^{dans les}

expériences qu’il

^a faites pour comparer les lois de la

propagation

^de l’électricité à celles de la condensation

(Annales

^{de Chimie et}

de Physique,

^février

1862).

On considère les deux

cylindres

^{comme étant} formés d’une ^ma- tière

très-conductrice,

^{dont on} peut

négliger

^la

résistance,

^tandis que

l’espace qui

^les

sépare

^est relativement

beaucoup plus

^résistant.

L’équation

difiérentielle de la

propagation

^{dans un}

plan

^{se ré-}

(’ ) Cette étude a été faite, pour ^la première fois, par M. Kirchhoff (Annales ^de Pog- gendorff, 1845); voir les Annales de Chitnie et de Phj s ique, ^{1858, et} les Annales téle-

graphiques, 1859.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018740030011500

L’une des formes de

l’intégrale générale

^est

M,

^,

A, A’, A", ...

^{étant des} constantes

arbitraires,

^et r,

r’, r’’,..

les distances d’un

point quelconque,

^{dont la tension est u, à un}

certain nombre de

points

^fixes

qu’on

doit choisir convenablement.

Si l’on peut déterminer les constantes de

façon

^à satisfaire aux

conditions du

problème, l’équation (3)

donnera la valeur de u en tous les

points

^du

plan.

En faisant il ⁼ const., ^{on a une} série de courbes pour

lesquelles

la tension est la même ^en

chaque point,

^et

qu’on

^{nomme courbes}

d’égale

^tension. L’élpctricité ^se meut normalement à ces courbes.

Les conditions à

remplir

^se rapportent ^aux électrodes et aux li- niites du

plan.

Dans le cas que ^nous

considérons,

^le

plan

^{est limité} par deux circonférences

excentriques ;

^le courant entre par l’une

d’elles,

^et

sort par l’autre. Ces deux circonférences sont maintenues à des tensions constantes par leur communication avec les deux

pôles

d’une source

électrique;

^{chacune d’elles est une courbe}

d’égale

tension.

On connaît à l’avancc soit la valeur absolue des tcnsions

U, et U2

aux deux

circonférences,

^{soit la force} électro-motrice et la _coinpo- sition du circuit extérieur a la

plaque,

^{en même} temps que

l’épais-

seur et la conductibilité de cette dernière.

Soient

E la force électromotrice de la

pile;

L la résistance

extérieure;

L celle de !a

plaque,

^{limitée aux deux} circonférences

données;

1 l’intcnbité du. courant.

On a

7’i,

r’1, r"1,...

^{étant les distances des}

origines

^des rayons ^vecteurs

aux divers

points

^{de la courbe}

qui

^a pour tension

U1,

^et

,.’2’ r’2, r"2,...

^{leurs distances aux}

points

^{de la courbe}

qui

^a pour ^tension

U2.

Ces deux

équations représentent

^deux

circonférences,

^{si l’on ne}

prend

^{que les trois}

premiers

termes, ^{et si l’on fait A’ = -}

Ai,

^ce

qui

^donne

ou

En effet

sont les

équations

^{de deux} circonférences

qu’on

peut rendre iden-

tiques

^{avec celles}

qui

^{sont données en} choisissant convenablement les constantes C et C’ et les

points

^{d’où doivent}

partir

les rayons

vecteurs ri ^et

r’1,

^{rz et}

112.

On peut y ^arriver par ^de

simples

considérations

géométriques ;

mais on

parvient

^aussi

rapidement

^{au résultat en}

appliquant

^{la mé-}

thode

générale.

Soient 0 et C les centres des deux cercles donnés

( fig. i ),

^dont

les rayons ^sont R

et p,

^{et d leur} excentricité OC.

Fig. ^1.

Si l’on

prend

pour coordonnées la

ligne

^{des centres}

^{OC x,}

^{et une}

perpendiculaire

^{à cette}

ligne,

passant par le ^centre

0,

^les

équations

Les deux

points

^{d’où doivent}

partir

^les rayons vecteurs sont éyi- demment bitués sur la

ligne

des centres; soient 1B1 ^et N ces deux

points,

^a et x’ lcurs distances du

point

^O.

Les deux

équations

des courbes

peuvent

^{se mettre sous la forme}

équations qu’il

faut ideiitifier aux deux

précédentes,

^ce

qui

^conduit

aux quatre ^relations

De ces quatre

équations

^{on tire}

Il résulte des deux dernières

équations

que l’un des

points

^de

départ

^des rayons ^{vecteurs se trouve à} l’intérieur du

petit cercle,

^et

l’autre à 1 extérieur du

grand.

Si les deux cercles étaient extérieurs l’un à

l’autre,

^{l’un des}

points

^{serait situé à} l’intérieur de l’un des

cercles,

^{et l’autre à l’in-}

térieur de l’autre.

Des

équations ( 8 )

^et

(9)

^{on tire}

l’une des racines

représente

^{la valeur de a ct} l’autre celle de a’ :

C et C’ sont donnés par les

équations (8),

^dans

lesquelles

^{il suffit}

de

remplacer

^{a et a’} par les valeurs ci-dessus.

La tension u aux divers

points

^{de la}

plaque

^{est donc}

ou

dans

laquelle

^{M et A sont} les seules inconnues.

Les courbes

d’égale

^{tension sont} des circonférences données par

l’équation

Il est facile de trouver

géométriduement

^{leurs centres}

lorsque

^la

position

^dcs

points

^{1B1 et N a} été déterminée.

Pour chacume de ces

circonférences,

le rayon ^{est une} moyennc

proportionnelle

^entre les distances de ^son centre aux

points

^{31 et}

^N;

si l’on élève en M une

perpendiculaire

^{31L à l’axe Ox et si,} par le

poimt ^X,

^{on tire une}

ligne quelconque qui

coupe ^en K la

ligne ML,

la normale RII à cette

ligne

donnera le centre 11 de la circonférence

tension

F, G,

^I,...

(fig. 2).

Fi;j..2.

Les courbes

qui représentent

^en

chaque point

^la direction du flux

électrique

^sont

perpendiculaires

^{aux courbes}

d’égale tension ;

^dans

le cas

actuel,

^{ces courbes sont une série de} circonférences

P, Q, R,

^S

qui

passent par les deux

points

^{31 et}

^N,

^{et dont la}

ligne

^{des cen-}

tres ED fait actuellement

partie.

Nous avons encore à

déterminer,

^dans

l’équation (13),

^{la valeur}

des comstantes 31 et A.

U1

^étant la tension aux divers

points

de la circonférence

ED,

pour

laquelle

^{on a}

r1/r’1= _C,

^et

U 2

^{la tension} pour la circonférence ^inté-

rieure,

pour

laquelle r2/r’2 =C’,

^{on a}

et

Nous supposons duc

U,

^est

plus grand

que

Ui

et, _par

conséquent,

(pic le ^courant marche de la circonférence intérieure à la circon- fércIH (’ ectérieure.

Or dinairement ^on ne connait pas les tensions

Ui

^et Ut ^{ni même} leur

dil1ërence;

^{mais on} peut

exprimer

^{A en fonction de} l’intensité du courant

qui

^{traverse la}

plaque.

L’intensité de ^ce courant 1 est la

quantité

d’électricité

qui

^passe

d une circonférence à l’autre dans l’unité de temps.

Un élément

quelconque

de courbe ds est traversé par ^une quand- tité d’électricité dI

qui

^a pour

expression (1)

K étant la conductibilité et a

l’épaisseur

^{de la}

plaque,

^{clcc est}

l’aug-

mentation de la tension à une distance infiniment

petite dN, coniptée

sur la normale. C’est

l’expression

élémentaire de la loi

d Ohm, lorsque

l’électricité se meut normalement à l’élémcnt; ^{mais on} démontre facilement que la ^même formule

5’ applique

^{à un élément}

situé d’une manière

quelconque.

^{On a la}

quantité

totale d’électri- cité ou l’intensité totale du courant

qui

^{traverse une courbe en}

prenant

^{dans toute son étendue}

l’intégrale

qui

peut ^{se mcttre sous la forme}

(2)

Si l’on

applique

^cette

intégrale

^{a l’un}

quelconque

^{des termes de}

la valcur

générale (3)

^{de u,}

(1) ^{Le flux} électrique ^{est considéré comme} positif lorsque ^la valeur absolue de la tension va en diminuant. C’est pour ^{cette raison} que l’on donne le signe negatif ^{à la}

valeur de dI.

(’l) ^{On a, en} effet,

Or

Nx état l’angle de la normale avec l’axe des x, et comme des cos Nx= ds sinN2=-dx,

du/dN ds devient du/dx

^{dy -}

dy

^dx.

(rx)

^étant

l’angle

^{formé avec l’axe des x} par les rayons ^vecteurs

partamt

^du

point

^{dont les} coordonnées sont a et b.

Si la ourbe est fermée et si

l’origine

^des rayons ^vecteurs lui est

extérieure,

l’intégrale

^est

nulle, puisque

^le rayon ^vecteur revient

au

point

^(lt’

départ

^en passant par les mêmes

positions.

Si,

^au contraire, la courbe entoure le

point

^d’où partent ^les rayons vecteurs,

fd (rx)

^{= 27:’.}

Dans le cas

qui

^nous occupe, la valeur de u est

Le centre des rayons ^vecteurs

qui correspond à

^{n est} a l’intéricur du

pL’tit

^{cercle, et celui}

qui correspond

^{à r’ à} l’extérieur du

grand;

pour ^{une courbe tracée entre les deux}

circonférences, l’intégrale correspondante Alogi-

sera 2T, ^et celle

qui correspond

^à

A log r

sera nulle.

La

(piantité

totale d’électricité

Q qui

^{traverse la}

courbe,

^{ou l’in-}

tensité du courant, ^est donc

ou,

d’âpres l’équation (15),

Fn nommant L la résistance du courant de la

plaque,

Du ces dciir valeurs de 1 om tire

et, ^cm

remplaçant

^{C’ et C’?} par leurs valeurs

[équations (8)],

Enfin,

^en substituant à la

place

^{de oc et} a’ leurs valeurs

(11)

et

(12),

^{on trouve}

Si les deux

cylindres

^sont

concentriques, d =

o, et L devient

formule bicn connue.

Quant

^à l’intensité du courant, elle ^a pour

valeur,

^{en nommant}

E la force électromotrice de la

pile

^{et L} la résistance extérieure de la

plaque,

C’est la valeur de L _{que M.}

Gaugain

^a déterminée _par

l’expé-

rence en

remplissant,

^d’une dissolution de sulfate de cuivre

1 espace compris

^{entre deux}

cylindres

^{et en faisant varicr} 1 excentricité.

Après

^{avoir enlevé le sulfate de}

cuivre,

^31.

Gaugaiii

^{forma des}

deux

cylindres

^un condensateur dont 1 armature intérieure était en

communication avec une source

électromotrice, tandis que

^l’arma-

tire extérieure

communiquait

^{avec la terre.}

La

charge

donnait la mesure de

pouvoir condensant ;

^{il a été}

constaté que ^ce

pouvoir

^{suit la même loi} que la

conductibilité,

^c’cst-

à-dire que, ^en

déplaçant

^lcs

cylindres,

^la

eliarge

^{varie en raison}

inverse de la valeur de la résistance L. Dans un

prochain ^articlc,

^.

nous verrons

qu’en appliquant l’analyse

^à

l’hypothèse

^{des deux}

fluides on

pouvait prévoir

^{ce résultat.}

(A suivre.)