D365. Deux cylindres
Deux cylindres semblables(1) ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leurs volumes égale à 2π.
Démontrer qu'il existe une solution unique qui donne les dimensions des deux cylindres.
(1)Nota: deux solides sont semblables lorsqu'il y a un agrandissement, une réduction, une reproduction à l'échelle.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On parviendra à l’équation , où est le coefficient d’homothétie. En particulier le gros cylindre est fois le petit ; et le petit a comme hauteur et comme rayon.
On notera la hauteur et le rayon de base d’un des cylindres ; seront les analogues grandeurs de l’autre. Si est le rapport des hauteurs, le rapport des surfaces vaut , et celui des surfaces vaut . Les correspondantes équations donnent alors le système :
On remarquera que, si l’un des deux cylindres est homothétique à l’autre suivant le facteur , le deuxième est homothétique au premier suivant le facteur ; ceux qui ont encore quelques souvenirs des Maths apprises à l’école peuvent donc s’attendre que le tour final sera jouer avec la variable
…
Le traitement des trois équations obtenues demande uniquement un peu d’attention pour éviter de devoir travailler avec des radicaux : une fois remplacé dans les deux dernières équations par la valeur donnée par la première, on déduira de la troisième équation la valeur , qu’on remplacera dans la deuxième ; celle-ci devient alors un’équation de premier degré en , dont la solution sera réinjectée dans la troisième équation. Après quelques simplifications on aboutit à la recherche des racines d’un polynôme de degré 6 en :
polynôme dont les coefficients, comme prévu, satisfont . Divisant par et groupant convenablement les termes on obtient :
Maintenant on évalue les quantités en termes de la variable :
ce qui transforme notre problème en dont la seule solution est
; il faut se borner aux solutions plus grandes que 2 car on a posé et pour tout
on a . Il ne reste qu’à résoudre et choisir l’une des deux solutions (qui, comme prévu, sont la réciproque l’une de l’autre). Par exemple le choix , donne
.
