D365 − Deux cylindres [*** à la main]
Deux cylindres semblables(1) ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leurs volumes égale à 2π.
Démontrer qu'il existe une solution unique qui donne les dimensions des deux cylindres.
(1)Nota: deux solides sont semblables lorsqu'il y a un agrandissement, une réduction, une reproduction à l'échelle.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Soient h et H les hauteurs et r et R les rayons respectifs des deux cylindres, de rapport H/h et R/r égaux à s.
Les conditions données par l’énoncé fournissent les trois équations suivantes h.(1+s)=1 ; (1+s²).(h.r + r²)= 4 et (1+s*3).r².h = 2.
La première équation donne h=1/(1+s), la troisième r²= 2.(1+s)/(1+s*3).
On tire une autre expression de r avec la troisième équation soit r=2.(1-s²)²/((1+s²).(1+s*3)).
En égalisant les deux expressions de r, on obtient une équation du 6ème degré : (E) 1 -3.s -5.s² +10s*3 -5.s*4 -3.s*5 +s*6 =0
Les coefficients de E sont symétriques par rapport au coefficient de s*3. Par ailleurs les solutions sont telles que si x est une solution, 1/x le sera aussi, les dimensions de h et r d’une part et H et R seront alors inversées. En regroupant deux par deux ces solutions de E, celles-ci sont solution d’une équation du second degré de la forme 1+ax+x²= 0.
E peut se mettre sous la forme (1+ax+x²).(1+bx+x²).(1+cx+x²).En développant et en identifiant à E on trouve les combinaisons suivantes des coefficients a , b et c : a+b+c=-3 ; ab+ac+bc +3= -5 et 2(a+b+c) +abc=10., soit a+b+c=-3 ; ab+ac+bc=-8 ; abc=16.
Ces trois nombres a, b, c sont donc racines de l’équation du troisième degré suivante : X*3 + 3.X² – 8.X - 16 =0. Une des solutions de cette équation est -4. Les deux autres sont solution de l’équation du second degré X²-X-4, soit (1+√17)/2 et (1-+√17)/2.
Seule la première racine peut fournir une solution valide pour s. Les deux autres fournissant des solutions soit négatives soit complexes.
On obtient au final s1=2+√3 et s2= 1/s1 =2-√3 et les dimensions h= (3-√3)/6 (H=(3+√3)/6)et r= (3-√3)/3=2.h (R=(9+√3)/3 ).
