D365. Deux cylindres ***
Deux cylindres semblables(1) ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leurs volumes égale à 2π.
Démontrer qu'il existe une solution unique qui donne les dimensions des deux cylindres.
PROPOSITION Th Eveilleau
Soit k le rapport de similitude entre le cylindre C et le cylindre C1.
Le rapport des longueurs est k, celui des surfaces est k² et celui des volumes est k3.
Soient h et h1 les hauteurs respectives des deux cylindres.
Soient S et S1 les surfaces respectives des deux cylindres.
Soient Vet V1 les volumes respectifs des deux cylindres.
Soit R le rayon du cercle de base du cylindre C.
h + h1 = 1 soit h (1 +k) = 1 donc k =
(*)
S = 2
R² + 2
R h = 2 R (R + h)
V =
R² hCherchons une relation entre R et h à partir des volumes
. V + V1 = 2
=> V(1+k3) = 2
=>
R² * h ( 1+ k3) = 2
=> R² * h ( 1+ k3 ) = 2 (**) Des deux relations (*) et (**) on déduit :R² = 2 / [h ( 1+ k3 ) ]
R² = 2 / [h ( 1+ (1-h)3 / h3 ) ] R² = 2* h3 / [h (h3 + (1-h)3) ] R² = 2* h² / [ h3 + (1-h)3 ]
R² = 2* h² / [ 3h² - 3h + 1 ] (****)
Ainsi une fois connue la hauteur h, nous connaîtrons le rayon R du cylindre et le rapport de similitude entre les deux cylindres.
Propriété des surfaces
. S + S1 = 8
=> S(1+k²) = 8
=> k² = 8
/ S - 1 => 1 + k² = 8
/ S => S*(1 + k² )= 8
S = 2
R (R + h) ET donc R (R + h) (1+k²) = 4
=> k² = - 1 +
(***)
Nous allons utiliser (*) et (***) : k² = k*k
k² = - 1 +
= (
)
²
Les calculs donnent :
R² (2h² -2h +1) +R*h(2*h² -2*h+1) – 4*h² = 0
Avec la relation (****), nous obtenons, en remplaçant R par sa valeur en fonction de h, une relation avec la seule variable h :
+
-
Nous obtenons sur le graphique deux valeurs entre 0 et 1, correspondant aux hauteurs des deux cylindres.
Les autres valeurs ne sont pas dans l’intervalle proposé dans le texte et ne sont donc pas correctes.
Les deux hauteurs sont approximativement : 0.2113 et 0.7887
Le rapport entre les longueurs des deux solides est approximativement : 3.7326 Les deux rayons (déterminés par la relation (****), sont approximativement : 0.42258 et 1.5773
