D365 − Deux cylindres [*** à la main]
Deux cylindres semblables(1) ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leurs volumes égale à 2π.
Démontrer qu'il existe une solution unique qui donne les dimensions des deux cylindres.
(1)Nota: deux solides sont semblables lorsqu'il y a un agrandissement, une réduction, une reproduction à l'échelle.
Solution par P. Gordon
Notons h et r la hauteur et le rayon de l'un des cylindres et k le rapport de similitude.
Nous avons 3 équations en h, r, k :
hauteurs h (k + 1) = 1
surfaces
(2πrh + 2πr²) (k² + 1) = 8π
volumes πr²h (k3 + 1) = 2π Soit, en simplifiant :
1) h (k + 1) = 1
2) r(h + r) (k² + 1) = 4 3) r²h (k3 + 1) = 2 De (1) on tire :
h = 1 / (k + 1)
Reportant dans (3), on tire de (3) : 4) r² = 2 (k + 1) / (k3 + 1) De (2) on tire :
h = 4 / r(k² + 1) – r
Or :
h = 1 / (k + 1) D'où :
4 / r(k² + 1) – 1 / (k + 1) = r
4 (k + 1) – r (k² + 1) = r²(k² + 1) (k + 1) 5) 4 (k + 1) = (k² + 1) [r + r²(k+1)]
En rapprochant de :
4) r² = 2 (k + 1) / (k3 + 1) il vient :
4 (k + 1) = (k² + 1) [r + 2(k+1)² / (k3 + 1)]
D'où, après quelques calculs :
6) r = 2(k² – 1)² / (k3 + 1) (k² + 1)
En reportant cette expression (6) de r, ainsi que h = 1 / (k + 1) dans : 2) r(h + r) (k² + 1) = 4
on obtient une équation en k seul.
Calculons d'abord (h + r).
(h + r) = 1 / (k + 1) + 2(k² – 1)² / (k3 + 1) (k² + 1)
= [(k3 + 1) (k² + 1) + 2(k² – 1)² (k + 1)] / (k3 + 1) (k² + 1) (k + 1)
= [k5 + k3 + k2 + 1 + 2k5 – 4k3 + 2k + 2k4 – 4k² + 2] / (k3 + 1) (k² + 1) (k + 1)
= [3k5 + 2k4 – 3k3 – 3k2 + 2k + 3] / (k3 + 1) (k² + 1) (k + 1)
= (3k4 – k3 – 2k2 – k + 3) / (k3 + 1) (k² + 1) Reportons dans (2).
[2(k² – 1)² / (k3 + 1) (k² + 1)] × [(3k4 – k3 – 2k2 – k + 3) / (k3 + 1) (k² + 1)] × [(k² + 1)] = 4 D'où, après quelques calculs :
k8 – k7– 10k6 – 3k5 + 10k4 – 3k3 – 10k2 – k + 1 = 0 Soit encore, en éliminant la racine double k = – 1 :
7) k6 – 3k5 – 5k4 + 10k3 – 5k2 – 3k + 1 = 0
On sait que l'on peut abaisser le degré d'une équation algébrique symétrique en k en posant : k + 1/k = y
Il en résulte :
k² + 1/k² = y² – 2 k3 + 1/k3 = y3 – 3y En reportant dans (7), il vient :
8) y3 – 3y² – 8y + 16 = 0
L'équation (8) admet pour racine 4, valeur à laquelle, par k + 1/k = y, correspondent les valeurs de k = 2 √3, inverses l'une de l'autre, ainsi qu'il sied s'agissant d'un rapport de similitude.
Les deux autres racines réelles de (8) s'obtiennent en divisant (8) par (y – 4), soit : y² + y – 4 = 0
D'où les racines : ½ (– 1 √17), dont une seule est > 0 : a = ½ (– 1 + √17) = 1,5615…
Par k + 1/k = y, il ne lui correspond aucune valeur de k réelle.
Il existe donc une solution unique qui donne le rapport de similitude (k = 2 √3) entre les deux cylindres.
Calculons leurs dimensions.
Notons h et r la hauteur et le rayon du petit cylindre, h' et r' les paramètres du grand. On a : h' = kh, r' = kr avec k = 2 + √3 = 3,732...
Reprenons les relations : 1) h (k + 1) = 1
2) r(h + r) (k² + 1) = 4 3) r²h (k3 + 1) = 2 De (1) on tire :
h = 1 / (k + 1) = 1 / (3+ √3) = 0,2113, d'où h' = 0,7887
De (3) on tire :
r² = 2 / h (k3 + 1) = 2 / 0,211 (3,7323 + 1) = 0,1786 d'où :
r = 0,4226 et r' = r × 3,732 = 1,5773 Calculons les surfaces :
S = 2πr(h+r) = 2×0,4226 (0,4226+0,2113) π = 0,5359 π S' = 2πr'(h'+r') = 2×1,5773 (1,5773+0,7887) π = 7,4641 π On a bien S + S' = 8π.
