D 365. Deux cylindres. ***
Deux cylindres semblables (1) ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leurs volumes égale à 2π.
Démontrer qu'il existe une solution unique qui donne les dimensions des deux cylindres.
Solution proposée par Michel Lafond
Réponse:
pour le petit cylindre, et les quantités conjuguées pour le grand cylindre.Notons pour le petit cylindre : r le rayon de la base et h la hauteur.
Par hypothèse :
Il existe k > 1 tel que le grand cylindre ait un rayon de base égal à R = k.r et une hauteur H = k.h.
On a
qui se simplifie en
qui se simplifie en
(1) et (2) impliquent
(4)
(3) implique donc d’après (1) d’où
(4) implique
qui avec (5) donne
. On tire de (6)
(5) et (7) impliquent
En posant
est au moins égal à 2 donc x = 4 ou qui ne convient pas.
Donc d’où on tire puis d’après (5) d’où
Enfin d’après (1)
.
Pour le grand cylindre, on obtient les quantités conjuguées : .
