D365. Deux cylindres
Deux cylindres semblables ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leur volume égale à 2π.
Démontrer qu'il existe une solution unique qui donne les dimensions des deux cylindres.
Solution proposée par Gaston Parrour
Le facteur d'échelle (relatif aux longueurs) est noté e dans ce qui suit.
hi et ri sont la hauteur et le rayon du cylindre ''i'' (i = 1,2)
→ Selon l'énoncé [avec (par exemple ) h2 = e x h1 et r2 = e x r1 ] : h1 + h2 = 1 → h1(1+e) = 1 (1) S1 + S2 = 8π → 2πr1(h1+r1)(1+e²) = 8π (2) V1 + V2 = 2π → πr1² h1(1+e3) = 2π (3)
Dans ce système de 3 équations à trois inconnues (h1, r1, e) , on peut par exemple éliminer h1 et r1 : Le quotient de (3) par (1) donne r1² = 2(1+e) / (1+e3) (3')
Le produit de (3) par (1) donne r1² h1² (1+e) (1+e3) = 2 Cela reporté dans (2) conduit à
[ sqrt ( 2 / (1+e) (1+e3) ) + ( 2(1+e) / (1+e3) ) ] (1+e²) = 4 (E)
Remarque : Si cette équation (E) admet une solution e , Par substitution dans (E) , e' = 1/e est aussi solution.
Et en effet : si e est le facteur d'échelle (linéaire) qui fait passer du cylindre 1 (cyl 1) au cylindre 2 (cyl 2), alors le passage de cyl 2 à cyl 1 se fait par le facteur d'échelle e' = 1/e
A partir de cela, on peut rechercher une solution de (E) indifféremment entre 0 et 1 , ou entre 1 et l'infini.
Recherche d'une solution de (E) , e = e0 , entre 0 et 1
Tout d'abord : en notant f ( e ) la fonction de e membre de gauche de (E) ,
f(e) = [ sqrt ( 2 / (1+e) (1+e3) ) + ( 2(1+e) / (1+e3) ) ] (1+e²) , on a f(0) = sqrt(2) + 2 < 4
f(1) = sqrt(2) + 4 > 4
Dans l'intervalle [0 , 1] on vérifie (par dérivation ou tracé de la courbe) que f(e) est monotone croissante Et puisque f(e) ne présente pas de singularité dans cet intervalle,
→ il existe une seule valeur e0 dans [0 , 1] qui satisfait à f ( e0) = 4
En procédant par dichotomie (comme amorcé ci-dessus) on obtient (en environ cinq opérations à la calculette) pour e0' = 0,268 ... → f(e0) = 4,000145 …
→ En choisissant cette valeur approchée e'0 = 0,268 … pour la solution e0 de (E) recherchée ; ==> on obtient 2 couples (ri, hi) [un pour chaque cylindre]
Avec (1) → h1 = 0,7886 … d'où h2 = e0 x h1 = 0,2113 …
Avec (3') → r1² = 2(1+e0) / (1+e03) = 2,488 … d'où r1 = 1,5774 … et r2 = 0,4227 … ==> (r1, h1) = (1,5774 … , 0,7886 … ) et (r2, h2) = (0,4227 … , 0,2113 ...)
N.B. Avec ces deux couples (ri , hi) → r1² h1 + r2² h2 = 1,96622 … + 0,03776 ≈ 2 (attendu dans (3) ) Remarque sur ce qui précède : on peut mettre à profit le fait que e et 1/e sont solutions de f(e)
Dans ce cas e et 1/e sont présents de façon homogène dans f(e)
On peut alors considérer la substitution d'une variable x à tout couple (e + 1/e) : Avec l'identité a3+b3 = (a+b)(a²-ab+b²) → e3+1 = (e+1)(e²-e+1) Dans f(e) le radical devient (1/(1+e)) sqrt (2/(e²-e+1))
le terme suivant devient 2/(e²-e+1)
Alors avec e² – e + 1 = e(e+1/e -1) = e(x-1) , 1+e² = e x , (1+e)² = e(x+2) La relation (E) s'écrit après cette substitution
sqrt [2(x-1)/(x+2) ] = 2 (x-2)/x dont une racine positive évidente est x = 4
Donc e + 1/e = 4 → e² – 4e + 1 = 0 soit e1 = 2 + sqrt(3) e2 = 2 – sqrt(3) ( e2 =1/e1) → L'expression approchée ci-dessus par dichotomie est en fait e2 = 2 – sqrt(3)
