D205 – L’échiquier oblique Solution
1) Echiquier oblique 3x 3
On démontre tout d’abord une propriété du quadrilatère connue sous le nom de théorème de Varignon selon laquelle les milieux des côtés d’un quadrilatère déterminent un
parallélogramme :
Les points E et F partageant respectivement AB et BC en leur milieu, EF est parallèle à AC avec EF=AC/2. De la même manière, GH est parallèle à AC avec GH=AC/2. Le quadrilatère EFGH est bien un parallélogramme.
Il en résulte que les diagonales EG et FH du parallélogramme qui sont également les droites joignant les milieux des côtés opposés du quadrilatère, se coupent en leur milieu.
Par ailleurs la somme des aires des blocs diagonaux AEIH et CFIG est égale à la somme des aires des blocs diagonaux BEIF et DGIH. En effet aire(AEH) = aire(ABD)/4 et aire(CFG) = aire(CBD)/4, aire(BEF) = aire(ABC)/4 et aire(DGH) = aire(ACD)/4. Il en découle :
aire(AEH) + aire(CFG) = aire(BEF) + aire(DGH) = aire(ABCD)/4.
En outre aire(EFGH) + aire(AEH) + aire(CFG) + aire(BEF) + aire(DGH) = aire(ABCD)
aire(EFGH) = aire(ABCD)/2. Comme EFGH est un parallélogramme, les quatre triangles EIF, FIG, GIH et EIH sont égaux et ont pour surface commune aire(ABCD)/8 aire(AEIH) + aire(CFIG) = aire(AEH) + aire(EIH) + aire(FIG) + aire(CFG) = aire(ABCD)/2 = aire(BEIF) + aire(DGIH).
Revenons à l’échiquier oblique 3x3. On constate des propriétés de même nature que ci-dessus.
En traçant les segments EL,BD et GJ en couleur rouge d’une part et les segments JK,AC et EH en couleur verte d’autre part, on a les propriétés suivantes : EL,BD et GJ sont parallèles et EL=GJ/2=BD/3 ; JK,AC et EH sont également parallèles et JK=EH/2=AC/3. On en déduit que P point d’intersection de EJ et GL est tel que EP=EJ/3 et S point d’intersection de EJ et HK est tel que JS=JE/3. Il en résulte que le segments EJ est divisé en trois segments égaux EP, PS et SJ. Cette propriété est vraie pour les autres segments FI,GL et HK qui sont partagés en trois respectivement par les point Q et R, P et Q, R et S.
Considérons maintenant le quadrilatère ABGL qui est partagé en trois blocs AEPL, EFQP et FBGQ.
On démontre tout d’abord que la surface du bloc médian EFPG est la moyenne arithmétique des surfaces des blocs adjacents AEPL et FBGQ.
Comme LP=LG/3, AE=EF, FB=AB/3 et PQ=QG d’une part et que l’aire de deux triangles qui ont même hauteur est proportionnelle à leur base, on les relations : aire(AEPL) + aire(FBGQ)
= aire(ALP) + aire(AEP) + aire(BFG) + aire(FGQ) = aire(AGL)/3 + aire(FEP) + aire(ABG)/3 + aire(FPQ) = (aire(AGL) + aire(ABG))/3 + aire(EFQP) = aire(ABGL)/3 + aire(EFPQ) = (aire(AEPL) + aire(FBGQ) + aire(EFPQ))/3 + aire(EFPQ).
Il en résulte aire(EFPQ) = (aire(AEPL) + aire(FBGQ))/2.
L’équation qui exprime que l’aire S du quadrilatère ABCD est la somme des aires des neuf blocs AEPL,EFQP,…. peut alors faire l’objet des regroupements suivants :
S = aire(AEPL) + aire(EFPQ) + aire(FBGQ) + aire(LPSK) + aire(PQRS) + aire(QGHR) + aire(KSJD) + aire(SRIJ) + aire(RHCI)
S= [aire(AEPL) + aire(KSJD)] + [aire(FBGQ) + aire(RHCI)] + [aire(EFPQ) + aire(SRIJ)] + [aire(LPSK) + aire(QGHR)] + aire(PQRS)
S=2*aire(LPKS) + 2*aire(QGHR) + 2*aire(PQRS) + 2*aire(PQRS) + aire(PQRS)
=2*(aire(LPKS) + aire(QGHR))+ 5*aire(PQRS) = 2*2*aire(PQRS) + 5*aire(PQRS) = 9*aire(PQRS)
On en conclut que : aire(PQRS) = S/9
2) Généralisation avec des échiquiers obliques de dimensions 5x5, 7x7,….(2n+1) x (2n+1) 2-1 Echiquier 5 x 5
On utilise deux propriétés déjà mentionnées précédemment :
- si on considère trois blocs adjacents appartenant à une même rangée ou à une même colonne, l’aire du bloc médian est égale à la moyenne arithmétique des aires des deux autres blocs ;
- dans quatre blocs qui partagent un sommet commun, les sommes des aires des blocs diagonaux sont égales entre elles.
Si on désigne par a, b et c les aires des blocs situés dans la partie supérieure droite de l’échiquier (représentation simplifiée ci-dessous), on peut ainsi calculer les aires des 22 autres blocs :
La somme des aires des 25 blocs est égale à –75a + 50b + 50c tandis que celle de la case centrale PQRS repérée en jaune est de –3a+2b+2C.
On en conclut que : aire(PQRS) = S/25
2-2 Echiquier (2n+1) x (2n+1)
On généralise sans peine les écritures ci-dessus pour démontrer que l’aire de la case centrale est égale à S/(2n1)2
a b -a+2b -2a+3b -3a+4b
c -a+b+c -2a+2b+c -3a+3b+c -4a+4b+c -a+2c -2a+b+2c -3a+2b+2c -4a+3b+2c -5a+4b+2c -2a+3c -3a+b+3c -4a+2b+3c -5a+3b+3c -6a+4b+3c -3a+4c -4a+b+4c -5a+2b+4c -6a+3b+4c -7a+4b+4c
