D365. Deux cylindres
Deux cylindres semblables(1) ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leurs volumes égale à 2π.
Démontrer qu'il existe une solution unique qui donne les dimensions des deux cylindres.
Solution
Soit H et R la hauteur et le rayon pour le plus grand des cylindres, h et r pour le plus petit.
Soit k le facteur de proportionnalité (k ≥ 1) Alors H=kh et R=kr
Les conditions sont donc les suivantes :
h+H=1 S = 2πr²+2πrh + 2πR²+2πRH = 8π V = πr²h + πR²H = 2𝜋 soit :
h(k+1) = 1 r(r+h)(k²+1) = 4 r²h(k3+1) = 2 Donc en isolant h dans chaque équation :
h= 1/(k+1) [1] h = 4/(r(k²+1)) - r [2] h = 2/( r²(k3+1)) [3]
Eliminons h entre [1] et [3] pour avoir r en fonction de k : r=√{2(k+1)/(k3+1)} [4]
Ainsi pour une valeur déterminée de k, il existe une seule valeur pour r et h (formules [1] et [4] ) Mais il faut en outre que l’équation [2] soit vérifiée.
Eliminons h entre [1] et [2], on obtient une équation qui donne la ou les valeurs de k : 1/(k+1) = 4/(r(k²+1)) - r = { 4/(k²+1) – r²}/r = { 4/(k²+1) – 2(k+1)/(k3+1}* √{(k3+1)/(2(k+1))}
En développant et en élevant au carré les 2 membres pour faire disparaître les racines, on arrive à l’équation :
k7-2k6-8k5+5k4+5k3-8k2-2k+1 = 0 [5]
Il faut maintenant déterminer le nombre de solutions pour k dans la plage [1,
∞
] Pour cela on va étudier les variations en dérivant plusieurs fois :Dérivée 6ème de l’équation [5] :
3600 pour k=1 ; toujours croissante et positive ;
∞
pour k=∞
Dérivée 5ème de l’équation [5] :
120 pour k=1 ; toujours croissante et positive ;
∞
pour k=∞
Dérivée 4ème de l’équation [5] :
-720 pour k=1 ; toujours croissante ; d’abord négative ; 0 pour k=1,54 ; puis positive jusqu’à
∞
Dérivée 3ème de l’équation [5] :
-360 pour k=1 ; décroissante ; minimum -619 pour k=1,54 ; croissante ; 0 pour k=2,09 ; positive jusqu’à
∞
Dérivée 2ème de l’équation [5] :
-104 pour k=1 ; décroissante ; minimum -622 pour k=2,09 ; croissante ; 0 pour k=2,64 ; positive jusqu’à
∞
Dérivée 1ère de l’équation [5] :
-28 pour k=1 ; décroissante ; minimum -684 pour k=2,64 ; croissante ; 0 pour k=3,185 ; positive jusqu’à
∞
Fonction définie par équation [5] :
-8 pour k=1 ; décroissante ; minimum -795 pour k=3,185 ; croissante ; 0 pour k=3,732 ; positive jusqu’à
∞
On a ainsi démontré que sur la plage [1,
∞
] pour k, il n’y a que la valeur k=3,732 qui annule la fonction [5]Connaissant ce résultat trouvé par approximation successive, on peut vérifier que cette solution de [5] est : k= 2+√3
En effet [5] peut s’écrire :
(k-2-√3) {k6+√3k5+(-5+2√3)k4+(1-√3)k3+(4-√3)k2+(-3+2√3)k+(-2+√3) = 0
Dimension des 2 cylindres :
r = √{2(2-√3)/3} = 0,423 R = √{2(2+√3)/3} = 1,577 h = 1/(3+√3) = 0,211 H = (2+√3)/(3+√3) = 0,789
