D365. Deux cylindres

Partager "D365. Deux cylindres "

N/A

Protected

Année scolaire: 2022

Info

Télécharger

Protected

Academic year: 2022

Partager "D365. Deux cylindres "

Copied!

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

En savoir plus ( Page)

Télécharger maintenant (1 Page)

Texte intégral

(1)

D365. Deux cylindres

Deux cylindres semblables(1) ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leurs volumes égale à 2π.

Démontrer qu'il existe une solution unique qui donne les dimensions des deux cylindres.

Solution

Soit H et R la hauteur et le rayon pour le plus grand des cylindres, h et r pour le plus petit.

Soit k le facteur de proportionnalité (k ≥ 1) Alors H=kh et R=kr

Les conditions sont donc les suivantes :

h+H=1 S = 2πr²+2πrh + 2πR²+2πRH = 8π V = πr²h + πR²H = 2𝜋 soit :

h(k+1) = 1 r(r+h)(k²+1) = 4 r²h(k³+1) = 2 Donc en isolant h dans chaque équation :

h= 1/(k+1) [1] h = 4/(r(k²+1)) - r [2] h = 2/( r²(k³+1)) [3]

Eliminons h entre [1] et [3] pour avoir r en fonction de k : r=√{2(k+1)/(k³+1)} [4]

Ainsi pour une valeur déterminée de k, il existe une seule valeur pour r et h (formules [1] et [4] ) Mais il faut en outre que l’équation [2] soit vérifiée.

Eliminons h entre [1] et [2], on obtient une équation qui donne la ou les valeurs de k : 1/(k+1) = 4/(r(k²+1)) - r = { 4/(k²+1) – r²}/r = { 4/(k²+1) – 2(k+1)/(k³+1}* √{(k³+1)/(2(k+1))}

En développant et en élevant au carré les 2 membres pour faire disparaître les racines, on arrive à l’équation :

k⁷-2k⁶-8k⁵+5k⁴+5k³-8k²-2k+1 = 0 [5]

Il faut maintenant déterminer le nombre de solutions pour k dans la plage [1,

∞

] Pour cela on va étudier les variations en dérivant plusieurs fois :

Dérivée 6^ème de l’équation [5] :

3600 pour k=1 ; toujours croissante et positive ;

∞

pour k=

∞

Dérivée 5^ème de l’équation [5] :

120 pour k=1 ; toujours croissante et positive ;

∞

pour k=

∞

Dérivée 4^ème de l’équation [5] :

-720 pour k=1 ; toujours croissante ; d’abord négative ; 0 pour k=1,54 ; puis positive jusqu’à

∞

Dérivée 3^ème de l’équation [5] :

-360 pour k=1 ; décroissante ; minimum -619 pour k=1,54 ; croissante ; 0 pour k=2,09 ; positive jusqu’à

∞

Dérivée 2^ème de l’équation [5] :

-104 pour k=1 ; décroissante ; minimum -622 pour k=2,09 ; croissante ; 0 pour k=2,64 ; positive jusqu’à

∞

Dérivée 1^ère de l’équation [5] :

-28 pour k=1 ; décroissante ; minimum -684 pour k=2,64 ; croissante ; 0 pour k=3,185 ; positive jusqu’à

∞

Fonction définie par équation [5] :

-8 pour k=1 ; décroissante ; minimum -795 pour k=3,185 ; croissante ; 0 pour k=3,732 ; positive jusqu’à

∞

On a ainsi démontré que sur la plage [1,

∞

] pour k, il n’y a que la valeur k=3,732 qui annule la fonction [5]

Connaissant ce résultat trouvé par approximation successive, on peut vérifier que cette solution de [5] est : k= 2+√3

En effet [5] peut s’écrire :

(k-2-√3) {k⁶+√3k⁵+(-5+2√3)k⁴+(1-√3)k³+(4-√3)k²+(-3+2√3)k+(-2+√3) = 0

Dimension des 2 cylindres :

r = √{2(2-√3)/3} = 0,423 R = √{2(2+√3)/3} = 1,577 h = 1/(3+√3) = 0,211 H = (2+√3)/(3+√3) = 0,789

Références

Télécharger (PDF - 1 Page - 672.15KB)

Documents relatifs

I-L’inégalité triangulaire.1-Propriété : Dans un triangle la longueur d’un côté est toujours inférieure ou égale à la somme des deux autres côtés.Soient

Dans un triangle les trois hauteurs sont concourantes, leur point d’intersection noté souvent H est appelé l’orthocentre du triangle..

D365. Deux cylindres

Le traitement des trois équations obtenues demande uniquement un peu d’attention pour éviter de devoir travailler avec des radicaux : une fois remplacé dans les deux

D 365. Deux cylindres. ***