D 365. Deux cylindres. ***
Deux cylindres semblables (1) ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8π et la somme de leurs volumes égale à 2π.
Démontrer qu'il existe une solution unique qui donne les dimensions des deux cylindres.
Solution proposée par Daniel Collignon
Le petit cylindre est de rayon r et de hauteur h.
Le grand cylindre est de rayon kr et de hauteur kh, avec k>=1.
Nous avons les 3 relations : (hauteur) h(1+k)=1 => 1/h=1+k
(surfaces) 2pi*r*(r+h)*(1+k^2)=8pi => r(r+h)(1+k^2)=4
(volumes) pi*r^2*h*(1+k^3)=2pi => r^2*h(1+k)(k^2-k+1)=2 => r^2 = 2/(k^2-k+1)
Par ailleurs r(r+h)(1+k^2)=2*r^2*h(1+k^3) D'où 1/r+1/h=2(1+k^3)/(1+k^2)
Ou encore 1/r=2(1+k^3)/(1+k^2)-(1+k) Soit r=(1+k^2)/(1+k)(k-1)^2
D'où (1+k^2)^2*(k^2-k+1)=2*(1+k)^2*(k-1)^4
k^6-k^5+3k^4-2k^3+3k^2-k+1=2k^6-4k^5-2k^4+8k^3-2k^2-4k+2 k^6-3k^5-5k^4+10k^3-5k^2-3k+1=0
L'équation étant symétrique, posons y=k+1/k>=2, de sorte que y^3-3y^2-8y+16=0.
Une solution évidente est y=4, de sorte que (y-4)(y^2+y-4)=0 Les autres racines ne vérifient pas y>=2.
Alors k+1/k=4, et k=2+sqrt(3) est alors l'unique solution réelle telle que k>=1.
Finalement h=(3-sqrt(3))/6 et r=2h.
