D365. Deux cylindres ***
Deux cylindres semblables(1)ont la somme de leurs hauteurs respectives égale à 1, la somme de leurs surfaces (y compris leurs bases circulaires) égale à 8πet la somme de leurs volumes égale à 2π.
Démontrer qu’il existe une solution unique qui donne les dimensions des deux cylindres.
(1)Nota : deux solides sont semblables lorsqu’il y a un agrandissement, une réduction, une reproduction à l’échelle.
Solution de Claude Felloneau
Soientr le rayon du plus grand cylindre,hsa hauteur etkle coefficient de réduction (0<k<1) permet- tant de passer du plus grand cylindre au plus petit, les longueurs sont multipliées park, les aires park2et les volumes park3donc le problème se ramène à la résolution du système :
(S)
h(1+k)=1
¡2πr2+2πr h¢ ¡ 1+k2¢
=8π πr2h¡
1+k3¢
=2π On a
(S)⇐⇒
h= 1 1+k r(r+h)¡
1+k2¢
=4 r2h¡
1+k3¢
=2 En effectuant le quotient des deux dernières équations, on obtient 1
h+1
r =r+h r h =2¡
1+k3¢
1+k2 et compte tenu de la première équation1
r =2¡ 1+k3¢
1+k2 −(1+k)=(1+k)
µ(2−2k+2k2−1−k2 1+k2
¶
=(1+k)(1−k)2 1+k2 soit r= 1+k2
(1+k)(1−k)2.
Par substitution dans la troisième équation, on obtient :
¡1+k2¢2¡ 1+k3¢ (1+k)3(1−k)4 =2.
Finalement
(S)⇐⇒
h= 1 1+k r= 1+k2
(1+k)(1−k)2 f(k)=2
où f(x)=
¡1+x2¢2¡ 1+x3¢
(1+x)3(1−x)4 pour 06x<1
Pour démontrer l’existence d’une unique solution qui donne les dimensions des deux cylindresr,het kr,kh, il suffit de prouver que l’équationf(x)=2 admet une unique solution dans l’intervalle ]0, 1[.
Pour toutx∈]0, 1[, f(x)>0 et f0(x) f(x) = 4x
1+x2+ 3x2 1+x3− 3
1+x+ 4
1−x = 4x
1+x2+ 3x2
1+x3+1+7x
1−x2 >0 donc f0(x)>0. Ainsif est strictement croissante sur l’intervalle ]0, 1[.
De plus,f(0)=1 et lim
x→1f(x)= +∞doncf est une bijection de ]0, 1[ sur ]1,+∞[. L’équationf(x)=2 admet donc une unique solutionkdans l’intervalle ]0,1[.
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